Foci of an Ellipse

Giả sử ta có công thức một hình elip,
x bình phương

trên a bình phương cộng y bình phương
trên b bình phương bằng 1.

Và để cho dễ thảo luận,
chúng ta sẽ giả sử

a lớn hơn b.

Và từ tất cả những gì ta có,
chúng ta sẽ có

là một đường elip
hơi ngắn và mập

Hoặc là bán trục lớn sẽ nằm,
hoặc trục lớn sẽ nằm

theo chiều ngang

Và trục bé sẽ
nằm theo chiều dọc

Và hãy vẽ nó

Vẽ hình elip.

Tôi muốn vẽ một
hình elip dày hơn.

Đây là hình elip của tôi
và để tôi vẽ các trục.

Được rồi, ở đây là
trục ngang.

Và ở dây ta có trục dọc.

Và ta đã học về hình elip
khá chi tiết.

Chúng ta biết làm thế nào để chỉ ra
bán kính trục bé,

trong trường hợp này ta biết là b.

Ở đây cũng là b giống vậy.

Và nó chỉ có thể là bán trục nhỏ.

Bởi vì b bé hơn a.

Nếu b lớn hơn, nó sẽ là bán kính trục lớn.

Và sau đó, tất nhiên,
bán kính trục lớn là a.

Và chính là đoạn này.

Bây giờ, một siêu thú vị khác,
và có lẽ nhiều nhất

tính chất thú vị của một hình elip,
đó là nếu bạn lấy

bất kỳ điểm nào trên một hình elip,
và đo khoảng cách từ

điểm đó tới hai điểm đặc biệt
mà..., để dễ

thảo luận hơn, và không chỉ
dễ thảo luận

vấn đề này, mà cho khá nhiều
sau này, chúng ta sẽ gọi

tiêu cự, hoặc tiêu điểm
của hình elip

Và hai điểm này,
chúng luôn cùng nằm trên

trục dài.

Vậy nên, trong trường hợp này,
nó sẽ nằm ở trục ngang.

Và chúng luôn đối xứng nhau
qua tâm của elip.

Vậy hãy gọi hai điểm này,
để tôi

gọi điểm này là f1.

Và điểm này là f2

Và nó cho tiêu cự.

các tiêu cự.

f2.

Vậy tính chất siêu thú vị
và đặc sắc

của một hình elip.

Và nó thường được dùng
để định nghĩa đường elip là, nếu

bạn lấy bất kỳ điểm nào trên đường
elip, và đo

khoảng cách từ nó tới mỗi
một trong hai điểm này.

Giả sử tôi có
khoảng cách này ở đây.

Hãy gọi là khoảng cách d1

Và sau đó tôi có khoảng cách
này ở đây,

vậy tôi lấy bất kỳ điểm nào trên đường elip,
hoặc điểm cụ thể này, và tôi

đo khoảng các từ
tới mỗi hai tiêu điểm.

Và nó là d2.

Để tôi thực hiện
bằng màu khác.

Vậy đây là d2.

Đường thẳng này ở đây.

Nó là d2.

Vậy, khi bạn tìm hai khoảng cách này,
cộng lại với nhau.

Vậy d2 này cộng d1, nó sẽ
là một hằng số

mà sẽ
bằng với 2a.

Nhưng thực ra nó sẽ đúng
với bấy kỳ vị trí nào trên đường elip.

Hãy để tôi làm điểm đó rõ hơn.

Và tôi sẽ chứng minh
với bạn rằng khoảng cách

này thực sự bằng 2a,
với a giống với a ở đây.

Vì vậy, chỉ để chắc chắn rằng
bạn hiểu những gì tôi đang nói.

Vậy để tôi lấy điểm tùy ý khác

trên đường elip này.

Hãy lấy nó ngay đây.

Và nếu tôi lấy khoảng cách
từ điểm này tới tiêu điểm ở đây,

hãy gọi khoảng cách đó là

hãy gọi khoảng cách đó là d3,
d3.

Và sau đó đo khoảng cách từ điểm này
tới tiêu điểm kia

Hãy gọi khoảng cách đó là d4.

d4.

Nếu tôi đã cộng hai điểm này
với nhau, nó vẫn sẽ bằng với 2a.

Hãy để tôi viết xuống.

d3 cộng d4 vẫn sẽ
bằng 2a.

Nó chỉ có vậy.

Và, thực ra, điều này thường
được dùng để định nghĩa cho đường elip,

với elip là một tập hợp tất cả các điểm,

hoặc đôi khi họ
sẽ sử dụng từ quỹ tích,

loại đồ thị biểu thị tập hợp
của tất cả các điểm,

mà khi cộng lại các khoảng cách
tới mỗi tiêu cự ở đây

bằng với một hằng số

Và chúng ta sẽ tìm hiểu nó
một chút, và tìm ra,

làm thế nào để tìm ra
tiêu cự của một đường elip

Nhưng điều đầu tiên cần làm
là cần thỏa mãn

khoảng cách, nếu nó đúng,
nó bằng với 2a.

Cách dễ nhất để tìm đó
là để chọn những thứ này

tôi đoán bạn có thể gọi chúng,
những đỉnh elip

nằm trên trục x ở đây và ở kia.

Chúng ta đã đưa ra nhận định rằng
khoảng cách từ đây tới đây

hãy để tôi vẽ nó bằng màu khác.

Rằng khoảng cách này cộng với
khoảng cách ở đây,

sẽ bằng với một hằng số.

Và sử dụng những đỉnh này,
tôi sẽ chỉ cho bạn thấy

hằng số đó bằng với 2a,

Vậy nên hãy tìm cách nào để làm điều đó.

Vậy một điều nhận ra
là hai tiêu điểm này

đối xứng qua tâm.

Vì vậy, bất kể khoảng cách ở đây là gì

nó sẽ bằng với khoảng cách này.

Ở đây.

Vì hai điểm này đối xứng
qua gốc tọa độ.

Vì vậy, đoạn này ở đây,
là cùng khoảng cách với đoạn này.

Và, tất nhiên, chúng ta có --
những gì chúng tôi muốn làm là tìm ra

tổng của khoảng cách này và
khoảng cách dài hơn ở đây.

Vậy, tổng của đoạn nhỏ này
cộng đoạn màu xanh này là bao nhiêu?

Đoạn nhỏ ở đây bằng đoạn này.

Vậy đoạn nhỏ này cộng đường xanh ----

Để tôi viết nó xuống.

Để tôi viết nó xuống đây,
hãy gọi nó là g,

chỉ để gọi, hãy gọi nó là g,
và gọi đường này là h.

Nếu đây là g và đây là h,
thì ta biết đoạn này cũng bằng g

bởi vì mọi thứ đều đối xứng.

Vậy g cộng với h là gì?

Vâng, đó là như nhau khi g cộng với h.

Đó là toàn bộ đường kính
trục dài của hình elip này.

Bao gồm những gì?

Vâng, chúng ta biết bán kính trục bé là a,
vì vậy chiều dài ở đây cũng là a.

Vì vậy, khoảng cách, hoặc tổng của
khoảng cách từ điểm này ở trên đường elip

tới tiêu điểm này, cộng với điểm này
trên đường elip tới tiêu điểm kia

bằng với g cộng h,
hoặc phần màu xanh lớn này,

bằng với đường kính trục lớn
của đường elip này,

bằng với 2a.

Đủ công bằng.

Hy vọng rằng đó là đủ tốt cho bạn.

Bây giờ, điều tiếp theo, chúng ta đã
nhận ra rằng, đó là cách làm để tìm ra

nơi những tiêu điểm này đứng.

Hoặc, nếu chúng ta có phương trình này,
làm thế nào ta có thể tìm ra hai điểm này?

Hãy cùng tìm hiểu xem.

Vì vậy, điều đầu tiên chúng ta nhận ra,
đột nhiên là

không quan trọng ta ở đâu,
nó dễ chứng minh với những điểm này.

Nhưng ngay cả khi chúng ta lấy điểm này
ngay đây và chúng ta nói,

khoảng cách này là bao nhiêu,
và sau đó cộng nó với khoảng cách này,

nó cũng nên bằng 2a.

Và chúng ta có thể sử dụng thông tin đó
để tìm ra tiêu điểm nằm ở đâu.

Vì vậy, giả sử tôi có --
để tôi vẽ cái khác.

Để tôi vẽ cái khác.

Đó là đường elip của tôi.

Và sau đó chúng ta muốn vẽ các trục.

Cho rõ ràng.

Hãy để tôi viết ra lại phương trình.

Để chúng ta không quên nó.
x bình phương trên a bình phương

cộng y bình phương trên
b bình phương bằng 1.

Hãy lấy cái này điểm ngay tại đây.

Các đỉnh này luôn hữu ích
khi bạn đang cố gắng

để chứng minh điều gì đó.

Hoặc họ có thể, tôi không muốn nói luôn.

Bây giờ, chúng ta nói rằng chúng ta có
hai tiêu điểm đối xứng qua tâm của hình elip.

Đây là f1, đây là f2.

Và chúng tôi đã nói rằng một elip
là quỹ tích của tất cả các điểm

rằng nếu bạn lấy mỗi

khoảng cách của các điểm này
tới mỗi tiêu điểm, và cộng lại

bạn nhận được một hằng số.

Và chúng tôi đã tìm ra
rằng hằng số đó là 2a.

Vì vậy, chúng ta đã tìm ra rằng
nếu bạn lấy khoảng cách ở đây

cộng nó vào đây khoảng cách ngay tại đây,

nó sẽ bằng 2a.

Vì vậy, chúng ta có thể nói rằng
nếu chúng ta gọi đây là d, d1, đây là d2.

Chúng tôi biết rằng d1
cộng với d2 bằng 2a.

Và một điều thú vị đây là đây là
tất cả đều đối xứng, phải không?

Chiều dài này sẽ tương tự,
d1 sẽ giống như d2,

bởi vì mọi thứ chúng ta đang làm
đều đối xứng.

Hai tiêu cự
này đối xứng nhau.

Khoảng cách này
bằng khoảng cách này, ngay đó.

Vì vậy, d1 và d2 phải
giống nhau.

Không có cách nào mà bạn
có thể -- đây chính là tâm của hình elip.

Hình elip đối xứng
quanh trục y.

Vì vậy, nếu d1 bằng d2 và
bằng 2a, thì chúng ta biết

cái này phải bằng a.

Và điều này phải bằng a.

Đủ rồi. Tôi nghĩ chúng ta đang đi đúng

Và điều khác để suy nghĩ,
và chúng ta đã làm điều đó rồi

trong bản vẽ trước của
hình elip

khoảng cách này là gì?

Khoảng cách này là
bán kính bán nhỏ.

Mà chúng ta đã học là b.

Và đây tất nhiên là
độ dài tiêu cự

mà chúng ta đang
cố gắng để tìm ra.

Điều này nên xuất hiện trong đầu bạn
như dạng toán Pythagore

Vì vậy, chúng tôi có độ dài tiêu cự.

Và ta có thể thực hiện trên
tam giác này hoặc tam giác này.

Tôi sẽ làm trên hình bên này

Tiêu cự này là f.

Hãy gọi đó là f.

f bình cộng b bình phương
sẽ bằng bình phương cạnh huyền,

trong trường hợp này là d2 hoặc a.

Bằng a bình phương.

Và bây giờ chúng ta có một
phương trình hay theo b và a.

Chúng ta biết b và a là gì,
từ phương trình chúng tôi đã

đã cho cho hình elip này.

Vậy hãy giải bài để tìm
độ dài tiêu cự.

Tiêu cự, f bình phương,
bằng a bình phương

trừ b bình phương.

Vì vậy, f, độ dài tiêu cự,
sẽ bằng với

căn bậc hai của a bình
trừ b bình phương.

Khá gọn gàng và sạch sẽ, và
một cách khá trực quan để suy nghĩ.

Vì vậy, bạn chỉ cần lấy sự khác biệt
của hai số này

tùy theo số nào lớn hơn
hoặc số nào nhỏ hơn bạn trừ đi số kia.

Bạn lấy căn bậc hai, và
đó là tiêu cự.

Bây giờ, hãy xem liệu ta có thể áp dụng
điều đó cho một số

một số bài toán thực tế khác họ có thể
hỏi bạn,

này, hãy tìm tiêu cự.

Hoặc tìm tọa độ
các tiêu điểm.

Vì vậy, hãy thêm phương trình x
trừ 1 bình trên 9

cộng y cộng 2 bình trên
4 bằng 1.

Vậy trước hết hãy vẽ đồ thị
này.

Điều này có thể thú vị.

Tôi sẽ vẽ các trục.

Đây là trục x.

Đây là trục y.

Và chúng ta ngay lập tức thấy,
tâm của hình này là gì?

Tâm sẽ ở
điểm 1, âm 2.

Và nếu điều đó gây nhầm lẫn, bạn
có thể muốn xem lại video trước.

Tâm tại 1, x bằng 1.

y bằng trừ 2.

Đó là tâm.

Và sau đó, trục lớn chính là trục x,
bởi vì nó lớn hơn.

Và như vậy, b bình phương là -- hay
một bình phương, bằng 9.

Và bán kính bán kính trục nhỏ
sẽ bằng 3.

Vì vậy, nếu bạn đi 1, 2, 3.

Tới đó.

Không.

1, 2, 3.

1, 2, 3.

Tôi nghĩ là - xem nào.

1, 2, 3.

Được rồi, đại khái.

Và sau đó theo hướng y,
bán kính bán kính trục nhỏ là

sẽ là 2, phải không?

Căn bậc hai của cái đó.

Vậy b bằng 2.

Nên bạn đi lên 2, sau đó
bạn đi xuống 2.

Và hình elip này sẽ
trông giống như

- chọn một màu.

Nó sẽ trông
giống như thế này.

Và điều chúng tôi muốn làm là,
chúng tôi muốn tìm hiểu

tọa độ của các tiêu điểm.

Vì vậy, các tiêu điểm
sẽ nằm trên bán trục lớn

Và chúng ta cần tìm ra
những tiêu cự này.

Và sau đó về cơ bản chúng ta
chỉ có thể cộng và trừ chúng từ tâm.

Và sau đó chúng ta sẽ có
tọa độ.

Những gì tôi vừa trình bày, hoặc
hy vọng tôi đã trình bày,

là tiêu cự hoặc
khoảng cách f này,

tiêu cự bằng
căn bậc hai của hiệu giữa

hai con số này phải không?

Nó chỉ là
căn bậc hai của 9 trừ 4.

Vậy tiêu cự bằng
căn bậc hai của 5.

Vì vậy, nếu điểm này ngay tại đây,
là điểm mà tôi đã trình bày,

điểm này là tâm của đường elip,

tọa độ 1, chấm phẩy trừ 2.

Tọa độ của tiêu điểm này tại đó
sẽ là 1 cộng căn bậc hai của 5,

chấm phẩy trừ 2.

Và tọa độ của tiêu điểm này sẽ là

là 1 trừ căn bậc hai của 5,
chấm phẩy trừ 2

Và tất cả những gì tôi làm là lấy
tiêu cự và trừ đi

-- vì chúng nằm dọc theo các
trục chính hoặc trục x,

tôi chỉ cần cộng và trừ cái này khỏi
tọa độ x để có được hai tọa độ ở đây.

Vì vậy, dù sao đi nữa,
đây là phần thực sự thú vị về hình nón,

chúng có những
thuộc tính thú vị này

liên quan đến các tiêu điểm này hoặc
liên quan đến các điểm tiêu cự này.

Và trong các video tới, tôi sẽ cho
bạn thấy tiêu điểm của một đường hypebol

hoặc tiêu điểm của một -- vâng, nó
chỉ có một tiêu điểm của một parabol.

Nhưng điều này thực sự bắt đầu
để hiểu sao phần conic này hay.

Mọi thứ chúng ta đã làm tới giờ
là nhiều hơn

về cơ chế vẽ đồ thị và vẽ đồ thị
và tìm ra tâm của các tiết diện cônic.

Nhưng bây giờ ta đang tìm hiểu một chút
về các phần toán học thú vị của conic

Dẫu sao thì. Hẹn gặp lại các bạn
trong video tiếp theo.