Foci of an Ellipse

Giả sử ta có công thức một hình elip,
x bình phương trên

a bình phương cộng y bình phương
trên b bình phương bằng 1.

Và để cho dễ thảo luận,
chúng ta sẽ giả sử

a lớn hơn b.

Và từ tất cả những gì ta có,
chúng ta sẽ có

là một hình elip
hơi ngắn và mập

Hoặc là bán trục lớn,
hoặc trục lớn sẽ nằm

theo chiều ngang

Và trục bé sẽ
nằm theo chiều dọc

Và hãy vẽ nó

Vẽ hình elip.

Toi muốn vẽ một
hình elip dày hơn.

Giả sử, đây là hình elip của tôi
và để tôi vẽ các trục.

Được rồi, ở đây là
trục ngang.

Và ở dây ta có trục dọc.

Và ta đã học về hình elip
khá chi tiết.

Chúng ta biết làm thế nào để chỉ ra
bán trục bé, mà

trong trường hợp này ta biết là b.

Nó cũng là b ở ngay đây.

Và đó là bán kính nhỏ
duy nhất.

Bởi vì b bé hơn a.

Nếu b lớn hơn, nó sẽ là trục lớn.

Và sau đó, tất nhiên,
bán kính trục lớn là a.

Và khoảng cách này
ngay đây

Bây giờ, một siêu thú vị khác,
và có lẽ nhiều nhất

tính chất thú vị của một hình elip,
đó là nếu bạn lấy

bất kỳ điểm nào trên một hình elip,
và đo khoảng cách từ

điểm đó tới hai điểm đặc biệt
mà chúng ta, để dễ

thảo luận hơn, và không chỉ
dễ thảo luận

vấn đề này, mà cho khá nhiều
sau này, chúng ta sẽ gọi

tiêu cự, hoặc tiêu điểm
của hình elip

Và hai điểm này,
chúng luôn cùng nằm trên

trục dài.

Vậy nên, trong trường hợp này,
nó sẽ nằm ở trục ngang.

Và chúng luôn đối xứng nhau
qua tâm của elip.

Vậy hãy gọi hai điểm này,
để tôi

gọi điểm này là f1.

Và điểm này là f2

Và nó cho tiêu cự.

Tiêu cự.

f2.

Vậy tính chất siêu thú vị
và đặc sắc

của một hình elip.

Và nó thường được dùng
để định nghĩa đường elip là, nếu

bạn lấy bất kỳ điểm nào trên đường
elip, và đo

khoảng cách từ nó
tới mỗi điểm này.

Giả sử tôi có
khoảng cách này ở đây.

Hãy gọi là khoảng cách d1

Và sau đó tôi có khoảng cách
này ở đây, vậy tôi lấy bất kỳ

điểm nào trên đường elip, hoặc
điểm cụ thể này, và tôi

đo khoảng các từ
điểm này tới mỗi hai tiêu điểm.

Và nó là d2.

Để tôi thực hiện
bằng màu khác.

Vậy đây là d2.

Đường thẳng này ở đây.

Nó là d2.

Vậy khi bạn tìm hai khoảng cách này,
cộng lại với nhau.

Vậy d2 này cộng d1, nó sẽ
là một hằng số

mà thực ra sẽ
bằng với 2a.

Nhưng thực ra nó sẽ đúng
với bấy kỳ vị trí nào trên đường elip.

Hãy để tôi làm điểm đó rõ hơn.

Và tôi thực sự sẽ chứng minh
với bạn rằng hằng số

khoảng cách này thực sự là 2a,
với a giống với

a ở đây.

Vì vậy, chỉ để chắc chắn rằng
bạn hiểu những gì tôi đang nói.

Vậy để tôi lấy cái khác điểm tùy ý

trên đường elip này.

Hãy lấy nó ngay đây.

Và nếu tôi đã đo
khoản cách từ điểm này

tới tiêu điểm, hãy gọi điểm đó là
d3, và sau đó đo

khoảng cách từ điểm này
tới tiêu điểm -- hãy

goi điểm đó là d4.

d4.

Nếu tôi đã cộng hai điểm này
với nhau, nó sẽ

bằn với 2a.

Hãy để tôi viết xuống.

d3 cộng d4 vẫn sẽ
bằng 2a.

Nó chỉ có vậy.

Và, thực ra, điều này thường
được dùng để định nghĩa cho

một đường elip, với elip
là một tập hợp tất cả

các điểm, hoặc đôi khi họ
sẽ sử dụng từ quỹ tích,

loại đồ thị
biểu thị tập hợp của

tất cả các điểm, khi cộng lại
các khoảng cách tới mỗi điểm

tiêu cự ở đây
bằng với một hằng số

Và chúng ta sẽ nghịch nó
một chút, và chúng ta sẽ tìm ra,

làm thế nào để tìm ra
tiêu cự của một đường elip

Nhưng điều đầu tiên cần làm
là cần thỏa mãn

khoảng cách, nếu nó đúng,
nó bằng với 2a.

Và cách dễ nhất để tìm đó
là để chọn những thứ này, tôi

đoán bạn sẽ phải gọi chúng,
những điểm tận cùng

nằm trên trục x ở đây và ở kia.

Chúng ta đã đưa ra nhận định rằng
khoảng cách từ đây

tới đây, hãy để tôi vẽ nó bằng màu khác.

Rằng khoảng cách này cộng với
khoảng cách ở đây, sẽ

bằng với một số
hằng số.

Và sử dụng điểm tận cùng này,
tôi sẽ chỉ cho bạn thất

hằng số đó bằng với 2a,
Vậy nên hãy tìm

cách nào để làm điều đó.

Vì vậy, một điều cần nhận ra là hai tiêu điểm này

đối xứng qua tâm.

Vì vậy, bất kể khoảng cách này là gì, ngay tại đây, nó sẽ

the same as this distance.

Ngay tại đó.

Vì hai điểm này là đối xứng qua gốc tọa độ.

Vì vậy, đây, ngay tại đây, là cùng khoảng cách đó.

Và, tất nhiên, chúng ta có -- những gì chúng tôi muốn làm là tìm ra