-
Ейлер продовжив досліджувати
властивості чисел,
-
особливо - розподіл простих чисел.
-
Одна важлива функція,
яку він визначив,
-
називається "функція Фі".
-
Вона вимірює перервність числа
-
Отже, маємо число,
скажімо 'n',
-
воно дорівнює кількості цілих чисел, які є
меншими за n ,або дорівнюють n
-
і не мають з ним ніяких
спільних дільників (СД).
-
Наприклад, якщо ми хочемо
знайти Фі від 8-ми,
-
ми переглядаємо усі величини від 1 до 8
-
і рахуємо, зі скількома цілими числами
-
8 не має більше 1-го
спільного дільника.
-
Зверніть увагу, що
6 не рахується,
-
тому що 6 і 8 мають
спільний дільник 2,
-
а 1, 3, 5 і 7 - рахуються,
-
тому що їхній СД з числом 8 -
лише число 1.
-
Отже, Фі(8) = 4).
-
Цікаво, що
-
розрахунок функції Фі - складний,
крім одного випадку.
-
Погляньте на графік.
-
Це - ділянка значень Фі за
цілими числами від 1 до 1000.
-
Тепер, помічаєте якийсь
передбачуваний шаблон?
-
Пряма лінія точок згори
-
відображає усі прості числа.
-
Так як прості числа не мають дільників,
більших за 1,
-
фі будь-якого простого
числа 'p' - це просто p - 1.
-
Щоб розрахувати фі простого числа 7,
-
ми рахуємо усі цілі числа крім числа 7,
-
оскільки жодне з них не має
спільного дільника з 7.
-
Фі числа 7 = 6.
-
Отже, якщо вам треба знайти фі
простого числа 21,337,
-
вам треба лише відняти 1,
і ви матимете відповідь -
-
21,376.
-
Фі будь-якого простого
числа легко порахувати.
-
Це приводить до цікавих
результатів, заснованих на тому, що
-
функція фі також є "мультиплікативною".
-
Тобто, фі(A x B)=фі(A) x фі(B).
-
Якщо ми знаємо, що деяке число N
-
є добутком двох простих чисел, P1 і P2,
-
то фі(N) це просто добуток
-
значень фі для кожного
простого числа,
-
або (P1 - 1) x (P2 - 1).
-
Переклад на українську: Роман Берла, рев’ювер Оксана Кузьменко, благодійний фонд “Magneticone.org”
