0:00:02.011,0:00:05.150
Ейлер продовжив досліджувати[br]властивості чисел,

0:00:05.150,0:00:09.007
особливо - розподіл простих чисел.

0:00:09.007,0:00:10.919
Одна важлива функція,[br]яку він визначив,

0:00:10.919,0:00:12.733
називається "функція Фі".

0:00:12.733,0:00:15.885
Вона вимірює перервність числа

0:00:15.885,0:00:17.879
Отже, маємо число,[br]скажімо 'n',

0:00:17.879,0:00:21.439
воно дорівнює кількості цілих чисел, які є[br]меншими за n ,або дорівнюють n

0:00:21.439,0:00:24.921
і не мають з ним ніяких[br]спільних дільників (СД).

0:00:24.921,0:00:28.375
Наприклад, якщо ми хочемо[br]знайти Фі від 8-ми,

0:00:28.375,0:00:30.868
ми переглядаємо усі величини від 1 до 8

0:00:30.883,0:00:32.983
і рахуємо, зі скількома цілими числами

0:00:32.983,0:00:35.954
8 не має більше 1-го[br]спільного дільника.

0:00:35.954,0:00:37.371
Зверніть увагу, що[br]6 не рахується,

0:00:37.371,0:00:39.302
тому що 6 і 8 мають[br]спільний дільник 2,

0:00:39.302,0:00:42.002
а 1, 3, 5 і 7 - рахуються,

0:00:42.002,0:00:44.528
тому що їхній СД з числом 8 - [br]лише число 1.

0:00:44.528,0:00:48.855
Отже, Фі(8) = 4).

0:00:48.855,0:00:50.271
Цікаво, що

0:00:50.271,0:00:54.523
розрахунок функції Фі - складний,[br]крім одного випадку.

0:00:54.523,0:00:56.061
Погляньте на графік.

0:00:56.061,0:01:01.307
Це - ділянка значень Фі за[br]цілими числами від 1 до 1000.

0:01:01.307,0:01:04.891
Тепер, помічаєте якийсь[br]передбачуваний шаблон?

0:01:04.891,0:01:07.749
Пряма лінія точок згори

0:01:07.749,0:01:11.016
відображає усі прості числа.

0:01:11.016,0:01:14.463
Так як прості числа не мають дільників,[br]більших за 1,

0:01:14.463,0:01:19.991
фі будь-якого простого[br]числа 'p' - це просто p - 1.

0:01:19.991,0:01:22.616
Щоб розрахувати фі простого числа 7,

0:01:22.616,0:01:24.984
ми рахуємо усі цілі числа крім числа 7,

0:01:24.984,0:01:27.575
оскільки жодне з них не має[br]спільного дільника з 7.

0:01:27.575,0:01:31.536
Фі числа 7 = 6.

0:01:31.536,0:01:37.905
Отже, якщо вам треба знайти фі[br]простого числа 21,337,

0:01:37.905,0:01:41.356
вам треба лише відняти 1,[br]і ви матимете відповідь -

0:01:41.356,0:01:44.132
21,376.

0:01:44.132,0:01:48.090
Фі будь-якого простого[br]числа легко порахувати.

0:01:48.090,0:01:50.766
Це приводить до цікавих[br]результатів, заснованих на тому, що

0:01:50.766,0:01:53.875
функція фі також є "мультиплікативною".

0:01:53.875,0:02:00.899
Тобто, фі(A x B)=фі(A) x фі(B).

0:02:00.899,0:02:02.792
Якщо ми знаємо, що деяке число N

0:02:02.792,0:02:06.666
є добутком двох простих чисел, P1 і P2,

0:02:06.666,0:02:09.637
то фі(N) це просто добуток

0:02:09.637,0:02:12.918
значень фі для кожного[br]простого числа,

0:02:12.918,0:02:16.508
або (P1 - 1) x (P2 - 1).

0:02:16.508,0:02:17.160
Переклад на українську: Роман Берла, рев’ювер Оксана Кузьменко, благодійний фонд “Magneticone.org”