Ейлер продовжив досліджувати
властивості чисел,

особливо - розподіл простих чисел.

Одна важлива функція,
яку він визначив,

називається "функція Фі".

Вона вимірює перервність числа

Отже, маємо число,
скажімо 'n',

воно дорівнює кількості цілих чисел, які є
меншими за n ,або дорівнюють n

і не мають з ним ніяких
спільних дільників (СД).

Наприклад, якщо ми хочемо
знайти Фі від 8-ми,

ми переглядаємо усі величини від 1 до 8

і рахуємо, зі скількома цілими числами

8 не має більше 1-го
спільного дільника.

Зверніть увагу, що
6 не рахується,

тому що 6 і 8 мають
спільний дільник 2,

а 1, 3, 5 і 7 - рахуються,

тому що їхній СД з числом 8 - 
лише число 1.

Отже, Фі(8) = 4).

Цікаво, що

розрахунок функції Фі - складний,
крім одного випадку.

Погляньте на графік.

Це - ділянка значень Фі за
цілими числами від 1 до 1000.

Тепер, помічаєте якийсь
передбачуваний шаблон?

Пряма лінія точок згори

відображає усі прості числа.

Так як прості числа не мають дільників,
більших за 1,

фі будь-якого простого
числа 'p' - це просто p - 1.

Щоб розрахувати фі простого числа 7,

ми рахуємо усі цілі числа крім числа 7,

оскільки жодне з них не має
спільного дільника з 7.

Фі числа 7 = 6.

Отже, якщо вам треба знайти фі
простого числа 21,337,

вам треба лише відняти 1,
і ви матимете відповідь -

21,376.

Фі будь-якого простого
числа легко порахувати.

Це приводить до цікавих
результатів, заснованих на тому, що

функція фі також є "мультиплікативною".

Тобто, фі(A x B)=фі(A) x фі(B).

Якщо ми знаємо, що деяке число N

є добутком двох простих чисел, P1 і P2,

то фі(N) це просто добуток

значень фі для кожного
простого числа,

або (P1 - 1) x (P2 - 1).

Переклад на українську: Роман Берла, рев’ювер Оксана Кузьменко, благодійний фонд “Magneticone.org”