WEBVTT

00:00:02.011 --> 00:00:05.150
Ейлер продовжив досліджувати
властивості чисел,

00:00:05.150 --> 00:00:09.007
особливо - розподіл простих чисел.

00:00:09.007 --> 00:00:10.919
Одна важлива функція,
яку він визначив,

00:00:10.919 --> 00:00:12.733
називається "функція Фі".

00:00:12.733 --> 00:00:15.885
Вона вимірює перервність числа

00:00:15.885 --> 00:00:17.879
Отже, маємо число,
скажімо 'n',

00:00:17.879 --> 00:00:21.439
воно дорівнює кількості цілих чисел, які є
меншими за n ,або дорівнюють n

00:00:21.439 --> 00:00:24.921
і не мають з ним ніяких
спільних дільників (СД).

00:00:24.921 --> 00:00:28.375
Наприклад, якщо ми хочемо
знайти Фі від 8-ми,

00:00:28.375 --> 00:00:30.868
ми переглядаємо усі величини від 1 до 8

00:00:30.883 --> 00:00:32.983
і рахуємо, зі скількома цілими числами

00:00:32.983 --> 00:00:35.954
8 не має більше 1-го
спільного дільника.

00:00:35.954 --> 00:00:37.371
Зверніть увагу, що
6 не рахується,

00:00:37.371 --> 00:00:39.302
тому що 6 і 8 мають
спільний дільник 2,

00:00:39.302 --> 00:00:42.002
а 1, 3, 5 і 7 - рахуються,

00:00:42.002 --> 00:00:44.528
тому що їхній СД з числом 8 - 
лише число 1.

00:00:44.528 --> 00:00:48.855
Отже, Фі(8) = 4).

00:00:48.855 --> 00:00:50.271
Цікаво, що

00:00:50.271 --> 00:00:54.523
розрахунок функції Фі - складний,
крім одного випадку.

00:00:54.523 --> 00:00:56.061
Погляньте на графік.

00:00:56.061 --> 00:01:01.307
Це - ділянка значень Фі за
цілими числами від 1 до 1000.

00:01:01.307 --> 00:01:04.891
Тепер, помічаєте якийсь
передбачуваний шаблон?

00:01:04.891 --> 00:01:07.749
Пряма лінія точок згори

00:01:07.749 --> 00:01:11.016
відображає усі прості числа.

00:01:11.016 --> 00:01:14.463
Так як прості числа не мають дільників,
більших за 1,

00:01:14.463 --> 00:01:19.991
фі будь-якого простого
числа 'p' - це просто p - 1.

00:01:19.991 --> 00:01:22.616
Щоб розрахувати фі простого числа 7,

00:01:22.616 --> 00:01:24.984
ми рахуємо усі цілі числа крім числа 7,

00:01:24.984 --> 00:01:27.575
оскільки жодне з них не має
спільного дільника з 7.

00:01:27.575 --> 00:01:31.536
Фі числа 7 = 6.

00:01:31.536 --> 00:01:37.905
Отже, якщо вам треба знайти фі
простого числа 21,337,

00:01:37.905 --> 00:01:41.356
вам треба лише відняти 1,
і ви матимете відповідь -

00:01:41.356 --> 00:01:44.132
21,376.

00:01:44.132 --> 00:01:48.090
Фі будь-якого простого
числа легко порахувати.

00:01:48.090 --> 00:01:50.766
Це приводить до цікавих
результатів, заснованих на тому, що

00:01:50.766 --> 00:01:53.875
функція фі також є "мультиплікативною".

00:01:53.875 --> 00:02:00.899
Тобто, фі(A x B)=фі(A) x фі(B).

00:02:00.899 --> 00:02:02.792
Якщо ми знаємо, що деяке число N

00:02:02.792 --> 00:02:06.666
є добутком двох простих чисел, P1 і P2,

00:02:06.666 --> 00:02:09.637
то фі(N) це просто добуток

00:02:09.637 --> 00:02:12.918
значень фі для кожного
простого числа,

00:02:12.918 --> 00:02:16.508
або (P1 - 1) x (P2 - 1).

00:02:16.508 --> 00:02:17.160
Переклад на українську: Роман Берла, рев’ювер Оксана Кузьменко, благодійний фонд “Magneticone.org”