Proof of the Cauchy-Schwarz Inequality

Proof of the Cauchy-Schwarz Inequality

Sıfırdan farklı iki vektöre sahip olduğumu varsayalım.

İlk vektör x ve ikinci vektör y.

Her ikisi de kümemizin bir parçası.

Her ikisi de Rn kümesinin bir elemenı ve sıfıra eşit değiller.

Sonuç olarak onların mutlak değerlerinin-- bunu başka bir renkle yazalım.

-

-

İki vektörün nokta çarpımlarının mutlak değerleri--unutmayın bu sadece bir sayıl nicelik-- uzunluklarının çarpımlarına eşit veya küçüktür.

-

-

Nokta çarpımını ve uzunlukları çoktan tanımlamıştık.

-

Bu iki vektörün nokta çarpımları onların uzunluklarına küçük eşittir ve bu durum--bunu not edelim-- ancak bu iki vektörün doğrudaş veya birbirlerinin skaler(iç) çarpımları oldukları zaman gerçekleşir.

-

-

-

-

-

-

-

Bilirsiniz,birbirilerinin daha kısa veya daha uzun biçimleri olanlar.

-

Yani,bu eşitlik sadece x'in; y'nin skaler(iç) çarpımı olduğu durumlarda gerçekleşir.

.

Bu eşitsizlikler yani bu eşitsizliğin eşitliği Cauchy-Shwarz eşitsizliği olarak adlandırılır.

.

-

Şimdi bunu kanıtlayalım çünkü böyle bir şeyi ilk görüşte kabullenemezsiniz.

-

Öylece kabullenmemelisiniz.

Şimdi, herhangi bir yapay işlev kuralım.

Bu fonksiyon bazı değişkenlerin,bazı sayısal t'lerin işlevi.

-

p'nin t kümesini t'nin herhangi bir sayısal değeri ile y vektörününün çarpımlarından x vektörünün farkı şeklinde tanımlalayalım.

-

-

Bu vektörün uzunluğunu gösteriyor.

Birazdan vektör olacak.

Ve karesini alıyoruz.

Şİmdi,ilerlemeden önce küçük bir noktaya değinmek istiyorum.

-

Eğer bir vektörün uzunluğunu ele alırsam,bunu burada yapacağım.

v vektörünün bir uzunluğunu aldığımı farz edelim.

Sonucun pozitif bir sayı olacağını veya o'dan büyük veya ona eşit olacağını anlamanızı istiyorum.

-

Çünkü bu onun tüm terimlerinin karesine eşit olacak.

v2'dan vn'e kadar ki tüm sayıların karesi.

Bunların hepsi birer gerçek sayı.

Bir gerçek sayının karesini aldığınızda,sonuç sıfırdan büyük veya eşit olur.

-

İki gerçek sayıyı topladığınızda,sonuç 0'dan büyük veya eşit olacak.

-

Ve siz bu sonucun karekökünü aldığınızda,sonuç yine 0'dan büyük veya ona eşit olacak.

-

-

Bu nedenle herhangi bir gerçek vektörün uzunluğu 0'dan büyük veya eşit olacaktır.

-

İşte bu gerçek bir vektörün uzunluğu.

Bu yüzden bu da 0'dan büyük veya eşit olacaktır.

Şimdi,önceki videolardan birinde,sanırım iki video önce,bir vektörün uzunluğunun veya büyüklüğünün karesinin, onun kendisiyle olan nokta çarpımı olarak da yazılabileceğini göstermiştim.

-

-

-

İşte şimdi bu vektörü o yolla tekrar yazalım.

Bu vektörün uzunluğunun karesi aynı vektörün kendisi ile olan nokta çarpımına eşittir.

-

Bu yüzden sonuç ty eksi x nokta ty eksi x şeklinde yazılır.

Bir önceki videoda,size bir çarpma işlemini veya nokta çarpımını konu birleşme,dağılma ve değişme özellikleri olduğunda düzenli bir çarpma işlemi olarak ele alabileceğinizi göstermiştim.

-

-

-

-

Yani bunları çarptığınızda,sonucu iki farklı iki bilinmeyenli denklemi çarptığınızı düşenebilirsiniz.

-

Bunu aynı şekilde iki farklı iki bilinmeyenli cebirsel denklemi çarparak da yapabilirsiniz.

-

Aslında şuan dağılma özelliğini kullanıyorsunuz.

Ama unutmayın,bu sadece standart bir çarpma işlemi değil.

Bu yaptığımız nokta çarpımı.

Bu bir vektör çarpma işlemi ya da bir çeşit vektör çarpma işlemidir.

-

Yani eğer bunu dağıtırsak,sonuç ty nokta ty olacak.

Şimdi bunu not edelim.

Sonuç ty nokta ty.

Ve sonra eksi-- bunu bu yoldan yapmama izin verin.

Sonra sonuç olarak eksi x çarpı ty.

Çarpı demek yerine,nokta demek konusunda dikkatli olmalıyım.

-

Yani eksi x nokta ty.

Ve sonuç olarak ty çarpı eksi x elde ederiz.

Bunu -ty nokta x şeklinde yazabiliriz

Sonuç olarak x'in birbiriyle çarpımını elde ederiz.

Ve bunu eksi 1x nokta 1x şeklinde düşünebilirsiniz.

Artı eksi 1 diyebilirsiniz.

Her iki x'in önünde artı eksi 1 olduğunu düşünebiliriz

Yani sonuç olarak bu eksi1x nokta eksi 1x

İşte şimdi bakalım.

Bu benim tüm denklemimin basitleştirilmiş veya genişletilmiş hali.

-

Bunu gerçekten bir basitleştirme olarak tanımlayamam.

Fakat bu denklemi buraya tekrar yazmak için bunun bir değişme ve birleşme olduğu gerçeğini kullanabilirsiniz.

-

Bu eşittir y nokta y çarpı t'nin karesi

t sadece bir skalerdir.

Eksi-- ve aslında bu ikiye eşitir.

Bu iki şey birbirine eşit.

Bunlar aynı şeyin farklı düzenlemeleri ve görüyoruz ki nokta çarpımı birleşmeli bir işlemdir.

-

Yani bu eşiittir 2 çarpı parantez içinde x nokta y çarpı t.

Bunu belki de farklı bir renkle yazmalıyım.

Bu iki terimin çarpımının sonucu buradaki terimdir.

Ve eğer bunları yeniden düzenlerseniz,sonuç olarak eksi 1 çarpı eksi 1 elde edersiniz.

-

Onlar da birbirilerini götürürler bu yüzden sonuç artı olur ve elinizde sadece artı x nokta x kalır.

-

Bunu da başka bir renkle yazmalıyım.

-

Yani o terimler bu terimle sonuçlanır.

Tabi ki,bu terim de bu terimle sonuçlanır.

Ve unutmayın,tüm yaptığım bunu tekrar yazmak ve söylemekti, bakın.

-

Bu 0'dan büyük veya eşit olmalı.

Yani bunu buraya tekrar yazabilirim.

Bu şey hala aynı.

Ben sadece onu tekrar yazdım.

İşte bunun hepsi 0'dan büyük veya 0'a eşit olacak.

Şimdi denklemimizi toparlamak için yerine koyma yöntemini kullanalım.

-

Daha sonra tekrar yerine koymak için geri döneceğiz.

Bunu a olarak tanımlayalım.

Bu parçayı da b olarak tanımlayalım

Yani tüm parça eksi 2x nokta y.

t'yi orada bırakacağım.

Ve bunu c olarak tanımlayalım.

-

x nokta x c'ye eşittir.

Şimdi,denklemimiz ne olur?

Denklemimiz a çarpı t'nin karesi eksi-renklerle ilgili dikkatli olmalıyım- b çarpı t artı c.

-

Ve tabi ki,biliyoruz ki bu 0'dan büyük veya 0'a eşit olacak.

-

Bu yukarıdakiyle aynı şey,0'dan büyük veya 0' a eşittir.

-

t'nin p'sini buraya yazabilirim.

Şimdi sonuç,buraya koyacağım herhangi bir t için 0'a eşit veya 0'dan büyük olacak.

-

Oraya koyduğum herhangi gerçek t için.

Fonksiyonumuzu b bölü 2a olarak değerlendirmeme izin verin.

Ve bunu kesinlikle yapabilirim çünkü a neydi?

Sadece herhangi bir yerde 0'la bölmediğime emin olmalıyım.

Yani a kendisiyle çarpılan bu vektördü.

Ve bunun sıfır olmayan bir vektör olduğunu söylemiştik.

Yani bu onun uzunluğunun karesi.

Bu sıfır olmayan bir vektör,bu yüzden uzunluğunu aldığınızda bu terimlerin bazıları pozitif olarak sonuçlanır.

-

İşte tam buradaki şey sıfır değil.

Bu sıfır olmayan bir vektör.

Böylece 2 çarpı kendisiyle olan nokta çarpımı da sıfırdan farklı bir sayı olacaktır.

-

Yani bunu yapabiliriz.

0'la bölme hakkında endişelenmiyoruz,başka her ne olursa olsun.

Fakat bu neye eşit olacak?

Bu eşittir--ve tekrar yeşile bağlı kalacağım.

Sürekli renkleri değiştirmek çok zaman alıyor.

Bu eşittir a çarpı denklemin karesi.

Yani bu b'nin karesi bölü dört a karedir.

Dört a kareyi elde etmek için iki a'nın karesini aldım.

eksi b çarpı bu.

Yani b çarpı-bu sadece sıradan bir çarpma işlemi.

b çarpı b bölü 2a.

Sadece sıradan bir çapma işlemi yazdık buraya.

Artı c.

Ve biliyoruz ki bunun tamamı 0'dan büyük veya sıfıra eşit.

Şimdi eğer bunu sadeleştirirsek,ne elde ederiz?

Buradaki a buradaki sayının üssünü götürür ve elimizde sonuç olarak b kare kalır.

-

Şuan sonucumuz b kare bölü 4a eksi b kare bölü 2a.

Bu,oradaki terim.

Artı c büyük eşittir 0.

Bunu tekrar yazalım.

Eğer bu işlemdeki payı ve paydayı 2 ile çarparsam,ne elde ederim?

-

Sonuç 2b'nin karesi bölü 4a olur.

Bunu yapmamın tüm nedeni ortak bir payda elde etmekti.

-

Yani sonuç olarak ne elde ettiniz?

b kare bölü 4a eksi 2b'nin karesi bölü 4a elde ettiniz.

Bu iki terim kaç ile sadeleşir?

Kesirdeki paydamız b kare eksi 2b'nin karesi.

Böylece eksi b kare bölü 4a artı c 0'dan büyük veya 0' eşittir.

-

Bu iki terim toplanarak tam buradaki toplama ulaşırlar.

Şimdi eğer bunu denklemin her iki tarafına da eklersek,sonuç c büyüktür veya eşittir b kare bölü 4a olur.

-

Soldaki terim negatifti.

Eğer bu terimi her iki tarafa da eklersem,sağdaki terim pozitif olur.

-

Eşitsizlik gibi görünen bir şeye yaklaşıyoruz,şuan elimizde ne olduğunu görmek için yerine koyma yöntemini uyguladığımız asıl denklemimize geri dönelim.

-

-

Şimdi yerine koyma yöntemini uyguladığım denklemim neredeydi?

Tam buradaydı.

Ve aslında,daha çok sadeleştirmek için her iki tarafı da 4a ile çarpalım.

-

a yalnızca sıfırdan farklı bir sayı değil aynı zamanda pozitif bir sayı olur.

-

Bu onun uzunluğunun karesidir.

Ve size herhangi bir gerçek vektörün uzunluğunun pozitif olacağını çoktan göstermiştim.

-

Ve a'nın pozitif olduğunu göstermek için bu kadar zahmet çekmemin sebebi,eğer her iki tarafını da çarparsam,eşitsizlik işaretini değiştirmek istememem.

-

-

Şimdi ,yerine koymadan önce her iki tarafını da a ile çarpalım.

-

Yani sonuç 4ac büyük eşittir b kare olur.

İşte!

Unutmayın, çok zahmet çektim.

Daha demin a'nın kesinlikle pozitif sayı olduğunu çünkü aslında uzunluğun karesi olduğunu söyledim.

y çarpı y, y'nin uzunluğunun karesine eşittir ve pozitif bir sayıdır.

-

Pozitif olmalı.

Şimdi gerçek vektörlerle ilgileniyoruz.

Şimdi bunu yerine koymaya geri dönelim.

Yani 4 çarpı a,4 çarpı y nokta y.

y nokta y ayrıca--Bunu da buraya yazabilirim.

y nokta y,y'nin karesinin büyüklüğüyle aynı şeydir.

Bu y nokta y.

Bu a.

y nokta y,Bunu bir önceki videoda göstermiştim.

Çarpı c.

c eşittir x nokta x

x nokta x , vektör x'in karesinin uzunluğuyla aynı şeydir.

-

Yani bu c idi.

Şimdi 4 çarpı a çarpı c ,b kare'den büyük veya ona eşit olur.

-

Şimdi b neydi? b denklemin bu kısmıydı.

Yani b'nin karesi 2 çarpı x nokta y'nin karesine eşit olur.

Şu ana kadar bu sonuca ulaştık.

Ve şimdi bunla ne yapabiliriz?

Ah affedersiniz,buradaki tüm parantezin karesini alıyoruz.

Bu parantezin hepsi b'ye eşit.

Peki,şimdi bakalım bunu sadeleştirebilir miyiz?

Şuan elimizde

4 çarpı y'nin karesinin uzunluğu çarpı x'in karesinin uzunluğu büyük veya eşittir-- eğer bunun karesini alırsak,4 çarpı x nokta y elde ederiz.

-

-

4 çarpı x nokta y çarpı x nokta y.

Aslında bunu bu şekilde yazarsak daha iyi olur.

4 çarpı x nokta y 'nin karesini yazalım

Şimdi her iki tarafı da 4 ile bölebiliriz.

Bu eşitsizliğimizi değiştirmeyecektir.

Bu nedenle sadece birbirini götürür.

Ve şimdi bu denklemin her iki tarafının da karekökünü alalım.

-

Yani denklemin her iki tarafının karekökleri--bunlar pozitif değerler, bu yüzden denklemin bu tarafının karekökü aynı zamanda,kendisinin her bir teriminin kare köküdür.

-

-

Bu sadece bir destekleyici özelliktir.

Yani,eğer her iki tarafın karekökünü alırsanız,sonuç olarak y'nin uzunluğu çarpı x'in uzunluğu büyük eşittir bunun karekökü olduğunu elde edersiniz.

-

-

Ve biz pozitif karekökünü alacağız.

Bu denklemin her iki tarafının da pozitif karekökünü alacağız.

-

Bu kafamızın eşitsizlik veya ona benzer bir şeyle karışmasına engel olur.

-

Yani,pozitif karekök,x çarpı y 'nin mutlak değerine eşit olur.

-

Ve bunun mutlak değer olduğunu söylemek konusunda dikkatli olmak istiyorum çünkü buradaki sonucun negatif olması mümkün.

-

-

Fakat, bunun karesini aldığınızda,karekökünü alırken pozitif bir değer olmasına dikkat edersiniz.

-

-

Çünkü bir yandan asıl karekökünü aldığımızda,eşitsizliklerle kafamız karışabilir.

-

Pozitif karekökü alıyoruz--yani eğer mutlak değeri alırsanız,sonucun pozitif olmasını sağlarsınız.

-

-

Fakat bizim sonucumuz bu.

Vektörlerimizin nokta çarpımlarının mutlak değeri,bu iki vektörün uzunluklarının çarpımlarından daha az.

-

İşte Cauchy-Shwarz eşitsiziğimizi anladık.

Şimdi söylediğim son şey,bakın eğer x,y'nin herhangi bir skaler çarpımına eşitse ne olur?

-

Öyle bir durumda,mutlak değer nedir?

x nokta y'nin mutlak değeri?

O eşittir--Neye eşittir?

Eğer yerine koyma yöntemini uygularsak,sonuç c çarpı y'nin mutlak değerine eşit olur.

-

x nokta y 'nin neye eşit olduğunu Birleşme Özelliği'nden bulduk.

-

x nokta y c çarpı--mutlak değerimizden ve her şeyin pozitif değerde olduğundan emin olmak istiyoruz.

-

y nokta y

y nokta y , c çarpı y'nin büyüklüğüne eşittir.--y'nin karesinin uzunluğu.

-

Bu c çarpı--veya skaler c'nin mutlak değeri çarpı y'nin uzunluğuna eşittir.

-

Peki burada,bunu tekrar yazabilirim.

Demek istediğim,eğer inanmazsanız,bunu kendinize kanıtlayabilirsiniz.--c'yi büyüklüğün içine koyabilirdik,bu sizin bunu kanıtlamanız için iyi bir egzersiz olurdu.

-

-

Fakat bunun anlaşılması oldukça kolay.

Sadece uzunluğun tanımını yapıyorsunuz.

Ve onu c ile çarpıyorsunuz.

Bu cy çarpı--cy'nin uzunluğuna,cy'nin uzunluğu çarpı y'nin uzunluğu diyelim.

-

-

-

Şimdi bu x'tir.

Bu nedenle,bu x'in uzunluğu çarpı y'nin uzunluğuna eşittir.

Yani,eğer içlerinden biri diğerinin skaler çarpımı olursa,eşitliğin sağlandığı Cauchy-Shwarz eşitsizliğinin ikinci bölümünü gösterdim.

Cauchy-Shwarz eşitsizliği,eğer içlerinden biri diğerinin skaler çarpımı olursa bu diğerine eşittir.

-

Eğer çözdüğümüz adımların bazılarında sorun yaşadıysanız,bunu kanıtlamak iyi bir egzersiz olur.

-

-

Örneğin, c'nin mutlak değeri çarpı vektör y'nin uzunluğu,c çarpı y'nin uzunluğuyla aynı şeydir.

-

-

Her neyse,umarım bunu yararlı bulmuşsunuzdur.

Cauchy-Shwarz eşitsizliğini,doğrusal cebirde başka sonuçları kanıtlarken çok kullanacağız.

-

Ve gelecek videoda,sizlere bunun neden nokta çarpımıyla alakalı olduğuyla ilgili ön bilgi vereceğim.

-

-