1
00:00:00,840 --> 00:00:03,270
Sıfırdan farklı iki vektöre sahip olduğumu varsayalım.

2
00:00:05,137 --> 00:00:07,005
İlk vektör x ve ikinci vektör y.

3
00:00:09,920 --> 00:00:10,757
Her ikisi de kümemizin bir parçası.

4
00:00:11,595 --> 00:00:13,270
Her ikisi de Rn kümesinin bir elemenı ve sıfıra eşit değiller.

5
00:00:17,450 --> 00:00:22,133
Sonuç olarak onların mutlak değerlerinin-- bunu başka bir renkle yazalım.

6
00:00:22,133 --> 00:00:25,320
-

7
00:00:25,320 --> 00:00:26,800
-

8
00:00:26,800 --> 00:00:31,080
İki vektörün nokta çarpımlarının mutlak değerleri--unutmayın bu sadece bir sayıl nicelik-- uzunluklarının çarpımlarına eşit veya küçüktür.

9
00:00:31,080 --> 00:00:35,280
-

10
00:00:35,280 --> 00:00:40,840
-

11
00:00:40,840 --> 00:00:43,140
Nokta çarpımını ve uzunlukları çoktan tanımlamıştık.

12
00:00:43,140 --> 00:00:44,230
-

13
00:00:44,230 --> 00:00:47,390
Bu iki vektörün nokta çarpımları onların uzunluklarına küçük eşittir ve bu durum--bunu not edelim-- ancak bu iki vektörün doğrudaş veya birbirlerinin skaler(iç) çarpımları oldukları zaman gerçekleşir.

14
00:00:47,390 --> 00:00:50,730
-

15
00:00:50,730 --> 00:00:57,930
-

16
00:00:57,930 --> 00:01:01,575
-

17
00:01:01,575 --> 00:01:05,470
-

18
00:01:05,470 --> 00:01:11,460
-

19
00:01:11,460 --> 00:01:11,920
-

20
00:01:11,920 --> 00:01:13,580
-

21
00:01:13,580 --> 00:01:16,430
Bilirsiniz,birbirilerinin daha kısa veya daha uzun biçimleri olanlar.

22
00:01:16,430 --> 00:01:17,530
-

23
00:01:17,530 --> 00:01:22,250
Yani,bu eşitlik sadece x'in; y'nin skaler(iç) çarpımı olduğu durumlarda gerçekleşir.

24
00:01:22,250 --> 00:01:24,875
.

25
00:01:27,970 --> 00:01:30,760
Bu eşitsizlikler yani bu eşitsizliğin eşitliği Cauchy-Shwarz eşitsizliği olarak adlandırılır.

26
00:01:30,760 --> 00:01:33,215
.

27
00:01:33,215 --> 00:01:43,200
-

28
00:01:43,200 --> 00:01:45,580
Şimdi bunu kanıtlayalım çünkü böyle bir şeyi ilk görüşte kabullenemezsiniz.

29
00:01:45,580 --> 00:01:46,680
-

30
00:01:46,680 --> 00:01:49,040
Öylece kabullenmemelisiniz.

31
00:01:49,040 --> 00:01:53,280
Şimdi, herhangi bir yapay işlev kuralım.

32
00:01:53,280 --> 00:01:58,180
Bu fonksiyon bazı değişkenlerin,bazı sayısal t'lerin işlevi.

33
00:01:58,180 --> 00:02:00,410
-

34
00:02:00,410 --> 00:02:04,710
p'nin t kümesini t'nin herhangi bir sayısal değeri ile y vektörününün çarpımlarından x vektörünün farkı şeklinde tanımlalayalım.

35
00:02:04,710 --> 00:02:12,420
-

36
00:02:12,420 --> 00:02:15,880
-

37
00:02:15,880 --> 00:02:17,300
Bu vektörün uzunluğunu gösteriyor.

38
00:02:17,300 --> 00:02:19,320
Birazdan vektör olacak.

39
00:02:19,320 --> 00:02:20,920
Ve karesini alıyoruz.

40
00:02:20,920 --> 00:02:23,130
Şİmdi,ilerlemeden önce küçük bir noktaya değinmek istiyorum.

41
00:02:23,130 --> 00:02:23,790
-

42
00:02:23,790 --> 00:02:29,740
Eğer bir vektörün uzunluğunu ele alırsam,bunu burada yapacağım.

43
00:02:29,740 --> 00:02:32,890
v vektörünün bir uzunluğunu aldığımı farz edelim.

44
00:02:32,890 --> 00:02:36,820
Sonucun pozitif bir sayı olacağını veya o'dan büyük veya ona eşit olacağını anlamanızı istiyorum.

45
00:02:36,820 --> 00:02:39,150
-

46
00:02:39,150 --> 00:02:42,940
Çünkü bu onun tüm terimlerinin karesine eşit olacak.

47
00:02:42,940 --> 00:02:45,340
v2'dan vn'e kadar ki tüm sayıların karesi.

48
00:02:45,340 --> 00:02:46,640
Bunların hepsi birer gerçek sayı.

49
00:02:46,640 --> 00:02:49,550
Bir gerçek sayının karesini aldığınızda,sonuç sıfırdan büyük veya eşit olur.

50
00:02:49,550 --> 00:02:50,770
-

51
00:02:50,770 --> 00:02:52,290
İki gerçek sayıyı topladığınızda,sonuç 0'dan büyük veya eşit olacak.

52
00:02:52,290 --> 00:02:53,670
-

53
00:02:53,670 --> 00:02:55,840
Ve siz bu sonucun karekökünü aldığınızda,sonuç yine 0'dan büyük veya ona eşit olacak.

54
00:02:55,840 --> 00:02:57,370
-

55
00:02:57,370 --> 00:02:59,270
-

56
00:02:59,270 --> 00:03:02,930
Bu nedenle herhangi bir gerçek vektörün uzunluğu 0'dan büyük veya eşit olacaktır.

57
00:03:02,930 --> 00:03:04,180
-

58
00:03:04,180 --> 00:03:06,690
İşte bu gerçek bir vektörün uzunluğu.

59
00:03:06,690 --> 00:03:11,230
Bu yüzden bu da 0'dan büyük veya eşit olacaktır.

60
00:03:11,230 --> 00:03:14,400
Şimdi,önceki videolardan birinde,sanırım iki video önce,bir vektörün uzunluğunun veya büyüklüğünün karesinin, onun kendisiyle olan nokta çarpımı olarak da yazılabileceğini göstermiştim.

61
00:03:14,400 --> 00:03:18,860
-

62
00:03:18,860 --> 00:03:22,950
-

63
00:03:22,950 --> 00:03:24,570
-

64
00:03:24,570 --> 00:03:26,830
İşte şimdi bu vektörü o yolla tekrar yazalım.

65
00:03:29,920 --> 00:03:32,750
Bu vektörün uzunluğunun karesi aynı vektörün kendisi ile olan nokta çarpımına eşittir.

66
00:03:32,750 --> 00:03:34,230
-

67
00:03:34,230 --> 00:03:44,880
Bu yüzden sonuç ty eksi x nokta ty eksi x şeklinde yazılır.

68
00:03:44,880 --> 00:03:49,120
Bir önceki videoda,size bir çarpma işlemini veya nokta çarpımını konu birleşme,dağılma ve değişme özellikleri olduğunda düzenli bir çarpma işlemi olarak ele alabileceğinizi göstermiştim.

69
00:03:49,120 --> 00:03:52,050
-

70
00:03:52,050 --> 00:03:54,330
-

71
00:03:54,330 --> 00:03:57,420
-

72
00:03:57,420 --> 00:03:58,330
-

73
00:03:58,330 --> 00:04:00,200
Yani bunları çarptığınızda,sonucu iki farklı iki bilinmeyenli denklemi çarptığınızı düşenebilirsiniz.

74
00:04:00,200 --> 00:04:02,340
-

75
00:04:02,340 --> 00:04:05,440
Bunu aynı şekilde iki farklı iki bilinmeyenli cebirsel denklemi çarparak da yapabilirsiniz.

76
00:04:05,440 --> 00:04:07,360
-

77
00:04:07,360 --> 00:04:11,030
Aslında şuan dağılma özelliğini kullanıyorsunuz.

78
00:04:11,030 --> 00:04:13,760
Ama unutmayın,bu sadece standart bir çarpma işlemi değil.

79
00:04:13,760 --> 00:04:15,480
Bu yaptığımız nokta çarpımı.

80
00:04:15,480 --> 00:04:18,149
Bu bir vektör çarpma işlemi ya da bir çeşit vektör çarpma işlemidir.

81
00:04:18,149 --> 00:04:19,220
-

82
00:04:19,220 --> 00:04:24,730
Yani eğer bunu dağıtırsak,sonuç ty nokta ty olacak.

83
00:04:24,730 --> 00:04:25,850
Şimdi bunu not edelim.

84
00:04:25,850 --> 00:04:30,850
Sonuç ty nokta ty.

85
00:04:30,850 --> 00:04:36,430
Ve sonra eksi-- bunu bu yoldan yapmama izin verin.

86
00:04:36,430 --> 00:04:42,580
Sonra sonuç olarak eksi x çarpı ty.

87
00:04:42,580 --> 00:04:44,640
Çarpı demek yerine,nokta demek konusunda dikkatli olmalıyım.

88
00:04:44,640 --> 00:04:45,720
-

89
00:04:45,720 --> 00:04:52,400
Yani eksi x nokta ty.

90
00:04:52,400 --> 00:04:58,810
Ve sonuç olarak ty çarpı eksi x elde ederiz.

91
00:04:58,810 --> 00:05:04,860
Bunu -ty nokta x şeklinde yazabiliriz

92
00:05:04,860 --> 00:05:08,900
Sonuç olarak x'in birbiriyle çarpımını elde ederiz.

93
00:05:08,900 --> 00:05:12,680
Ve bunu eksi 1x nokta 1x şeklinde düşünebilirsiniz.

94
00:05:12,680 --> 00:05:16,080
Artı eksi 1 diyebilirsiniz.

95
00:05:16,080 --> 00:05:21,500
Her iki x'in önünde artı eksi 1 olduğunu düşünebiliriz

96
00:05:21,500 --> 00:05:26,260
Yani sonuç olarak bu eksi1x nokta eksi 1x

97
00:05:26,260 --> 00:05:26,860
İşte şimdi bakalım.

98
00:05:26,860 --> 00:05:29,940
Bu benim tüm denklemimin basitleştirilmiş veya genişletilmiş hali.

99
00:05:29,940 --> 00:05:30,710
-

100
00:05:30,710 --> 00:05:32,890
Bunu gerçekten bir basitleştirme olarak tanımlayamam.

101
00:05:32,890 --> 00:05:35,410
Fakat bu denklemi buraya tekrar yazmak için bunun bir değişme ve birleşme olduğu gerçeğini kullanabilirsiniz.

102
00:05:35,410 --> 00:05:38,230
-

103
00:05:38,230 --> 00:05:45,430
Bu eşittir y nokta y çarpı t'nin karesi

104
00:05:45,430 --> 00:05:46,680
t sadece bir skalerdir.

105
00:05:49,270 --> 00:05:50,750
Eksi-- ve aslında bu ikiye eşitir.

106
00:05:50,750 --> 00:05:52,810
Bu iki şey birbirine eşit.

107
00:05:52,810 --> 00:05:55,370
Bunlar aynı şeyin farklı düzenlemeleri ve görüyoruz ki nokta çarpımı birleşmeli bir işlemdir.

108
00:05:55,370 --> 00:05:57,290
-

109
00:05:57,290 --> 00:06:06,260
Yani bu eşiittir 2 çarpı parantez içinde x nokta y çarpı t.

110
00:06:06,260 --> 00:06:09,230
Bunu belki de farklı bir renkle yazmalıyım.

111
00:06:09,230 --> 00:06:13,080
Bu iki terimin çarpımının sonucu buradaki terimdir.

112
00:06:13,080 --> 00:06:16,570
Ve eğer bunları yeniden düzenlerseniz,sonuç olarak eksi 1 çarpı eksi 1 elde edersiniz.

113
00:06:16,570 --> 00:06:17,400
-

114
00:06:17,400 --> 00:06:20,070
Onlar da birbirilerini götürürler bu yüzden sonuç artı olur ve elinizde sadece artı x nokta x kalır.

115
00:06:20,070 --> 00:06:25,140
-

116
00:06:25,140 --> 00:06:27,740
Bunu da başka bir renkle yazmalıyım.

117
00:06:27,740 --> 00:06:29,690
-

118
00:06:29,690 --> 00:06:32,820
Yani o terimler bu terimle sonuçlanır.

119
00:06:32,820 --> 00:06:35,620
Tabi ki,bu terim de bu terimle sonuçlanır.

120
00:06:35,620 --> 00:06:37,880
Ve unutmayın,tüm yaptığım bunu tekrar yazmak ve söylemekti, bakın.

121
00:06:37,880 --> 00:06:38,490
-

122
00:06:38,490 --> 00:06:41,990
Bu 0'dan büyük veya eşit olmalı.

123
00:06:41,990 --> 00:06:44,620
Yani bunu buraya tekrar yazabilirim.

124
00:06:44,620 --> 00:06:46,070
Bu şey hala aynı.

125
00:06:46,070 --> 00:06:47,450
Ben sadece onu tekrar yazdım.

126
00:06:47,450 --> 00:06:52,620
İşte bunun hepsi 0'dan büyük veya 0'a eşit olacak.

127
00:06:52,620 --> 00:06:54,990
Şimdi denklemimizi toparlamak için yerine koyma yöntemini kullanalım.

128
00:06:54,990 --> 00:06:56,590
-

129
00:06:56,590 --> 00:06:59,280
Daha sonra tekrar yerine koymak için geri döneceğiz.

130
00:06:59,280 --> 00:07:02,480
Bunu a olarak tanımlayalım.

131
00:07:02,480 --> 00:07:07,860
Bu parçayı da b olarak tanımlayalım

132
00:07:07,860 --> 00:07:10,380
Yani tüm parça eksi 2x nokta y.

133
00:07:10,380 --> 00:07:11,780
t'yi orada bırakacağım.

134
00:07:11,780 --> 00:07:17,020
Ve bunu c olarak tanımlayalım.

135
00:07:17,020 --> 00:07:17,825
-

136
00:07:17,825 --> 00:07:20,130
x nokta x c'ye eşittir.

137
00:07:20,130 --> 00:07:22,060
Şimdi,denklemimiz ne olur?

138
00:07:22,060 --> 00:07:29,910
Denklemimiz a çarpı t'nin karesi eksi-renklerle ilgili dikkatli olmalıyım- b çarpı t artı c.

139
00:07:29,910 --> 00:07:35,480
-

140
00:07:39,180 --> 00:07:41,050
Ve tabi ki,biliyoruz ki bu 0'dan büyük veya 0'a eşit olacak.

141
00:07:41,050 --> 00:07:41,780
-

142
00:07:41,780 --> 00:07:43,660
Bu yukarıdakiyle aynı şey,0'dan büyük veya 0' a eşittir.

143
00:07:43,660 --> 00:07:44,270
-

144
00:07:44,270 --> 00:07:47,125
t'nin p'sini buraya yazabilirim.

145
00:07:47,125 --> 00:07:50,890
Şimdi sonuç,buraya koyacağım herhangi bir t için 0'a eşit veya 0'dan büyük olacak.

146
00:07:50,890 --> 00:07:51,530
-

147
00:07:51,530 --> 00:07:53,995
Oraya koyduğum herhangi gerçek t için.

148
00:08:00,640 --> 00:08:05,190
Fonksiyonumuzu b bölü 2a olarak değerlendirmeme izin verin.

149
00:08:05,190 --> 00:08:07,570
Ve bunu kesinlikle yapabilirim çünkü a neydi?

150
00:08:07,570 --> 00:08:10,700
Sadece herhangi bir yerde 0'la bölmediğime emin olmalıyım.

151
00:08:10,700 --> 00:08:13,850
Yani a kendisiyle çarpılan bu vektördü.

152
00:08:13,850 --> 00:08:16,290
Ve bunun sıfır olmayan bir vektör olduğunu söylemiştik.

153
00:08:16,290 --> 00:08:18,680
Yani bu onun uzunluğunun karesi.

154
00:08:18,680 --> 00:08:21,610
Bu sıfır olmayan bir vektör,bu yüzden uzunluğunu aldığınızda bu terimlerin bazıları pozitif olarak sonuçlanır.

155
00:08:21,610 --> 00:08:23,790
-

156
00:08:23,790 --> 00:08:25,710
İşte tam buradaki şey sıfır değil.

157
00:08:25,710 --> 00:08:27,310
Bu sıfır olmayan bir vektör.

158
00:08:27,310 --> 00:08:30,880
Böylece 2 çarpı kendisiyle olan nokta çarpımı da sıfırdan farklı bir sayı olacaktır.

159
00:08:30,880 --> 00:08:31,450
-

160
00:08:31,450 --> 00:08:32,309
Yani bunu yapabiliriz.

161
00:08:32,309 --> 00:08:34,990
0'la bölme hakkında endişelenmiyoruz,başka her ne olursa olsun.

162
00:08:34,990 --> 00:08:37,049
Fakat bu neye eşit olacak?

163
00:08:37,049 --> 00:08:39,200
Bu eşittir--ve tekrar yeşile bağlı kalacağım.

164
00:08:39,200 --> 00:08:42,110
Sürekli renkleri değiştirmek çok zaman alıyor.

165
00:08:42,110 --> 00:08:45,230
Bu eşittir a çarpı denklemin karesi.

166
00:08:45,230 --> 00:08:49,340
Yani bu b'nin karesi bölü dört a karedir.

167
00:08:49,340 --> 00:08:52,090
Dört a kareyi elde etmek için iki a'nın karesini aldım.

168
00:08:52,090 --> 00:08:55,270
eksi b çarpı bu.

169
00:08:55,270 --> 00:08:58,760
Yani b çarpı-bu sadece sıradan bir çarpma işlemi.

170
00:08:58,760 --> 00:09:01,650
b çarpı b bölü 2a.

171
00:09:01,650 --> 00:09:03,780
Sadece sıradan bir çapma işlemi yazdık buraya.

172
00:09:03,780 --> 00:09:05,130
Artı c.

173
00:09:05,130 --> 00:09:07,870
Ve biliyoruz ki bunun tamamı 0'dan büyük veya sıfıra eşit.

174
00:09:07,870 --> 00:09:12,080
Şimdi eğer bunu sadeleştirirsek,ne elde ederiz?

175
00:09:12,080 --> 00:09:15,290
Buradaki a buradaki sayının üssünü götürür ve elimizde sonuç olarak b kare kalır.

176
00:09:15,290 --> 00:09:18,480
-

177
00:09:18,480 --> 00:09:26,150
Şuan sonucumuz b kare bölü 4a eksi b kare bölü 2a.

178
00:09:26,150 --> 00:09:27,650
Bu,oradaki terim.

179
00:09:27,650 --> 00:09:31,730
Artı c büyük eşittir 0.

180
00:09:31,730 --> 00:09:33,440
Bunu tekrar yazalım.

181
00:09:33,440 --> 00:09:36,810
Eğer bu işlemdeki payı ve paydayı 2 ile çarparsam,ne elde ederim?

182
00:09:36,810 --> 00:09:38,010
-

183
00:09:38,010 --> 00:09:41,110
Sonuç 2b'nin karesi bölü 4a olur.

184
00:09:41,110 --> 00:09:43,050
Bunu yapmamın tüm nedeni ortak bir payda elde etmekti.

185
00:09:43,050 --> 00:09:44,660
-

186
00:09:44,660 --> 00:09:45,670
Yani sonuç olarak ne elde ettiniz?

187
00:09:45,670 --> 00:09:50,050
b kare bölü 4a eksi 2b'nin karesi bölü 4a elde ettiniz.

188
00:09:50,050 --> 00:09:52,600
Bu iki terim kaç ile sadeleşir?

189
00:09:52,600 --> 00:09:54,930
Kesirdeki paydamız b kare eksi 2b'nin karesi.

190
00:09:54,930 --> 00:10:01,200
Böylece eksi b kare bölü 4a artı c 0'dan büyük veya 0' eşittir.

191
00:10:01,200 --> 00:10:02,710
-

192
00:10:02,710 --> 00:10:06,570
Bu iki terim toplanarak tam buradaki toplama ulaşırlar.

193
00:10:06,570 --> 00:10:11,490
Şimdi eğer bunu denklemin her iki tarafına da eklersek,sonuç c büyüktür veya eşittir b kare bölü 4a olur.

194
00:10:11,490 --> 00:10:16,260
-

195
00:10:16,260 --> 00:10:17,720
Soldaki terim negatifti.

196
00:10:17,720 --> 00:10:19,570
Eğer bu terimi her iki tarafa da eklersem,sağdaki terim pozitif olur.

197
00:10:19,570 --> 00:10:21,760
-

198
00:10:21,760 --> 00:10:24,470
Eşitsizlik gibi görünen bir şeye yaklaşıyoruz,şuan elimizde ne olduğunu görmek için yerine koyma yöntemini uyguladığımız asıl denklemimize geri dönelim.

199
00:10:24,470 --> 00:10:28,380
-

200
00:10:28,380 --> 00:10:30,060
-

201
00:10:30,060 --> 00:10:32,660
Şimdi yerine koyma yöntemini uyguladığım denklemim neredeydi?

202
00:10:32,660 --> 00:10:35,790
Tam buradaydı.

203
00:10:35,790 --> 00:10:37,970
Ve aslında,daha çok sadeleştirmek için her iki tarafı da 4a ile çarpalım.

204
00:10:37,970 --> 00:10:39,220
-

205
00:10:41,440 --> 00:10:43,020
a yalnızca sıfırdan farklı bir sayı değil aynı zamanda pozitif bir sayı olur.

206
00:10:43,020 --> 00:10:44,130
-

207
00:10:44,130 --> 00:10:46,070
Bu onun uzunluğunun karesidir.

208
00:10:46,070 --> 00:10:49,670
Ve size herhangi bir gerçek vektörün uzunluğunun pozitif olacağını çoktan göstermiştim.

209
00:10:49,670 --> 00:10:51,170
-

210
00:10:51,170 --> 00:10:53,460
Ve a'nın pozitif olduğunu göstermek için bu kadar zahmet çekmemin sebebi,eğer her iki tarafını da çarparsam,eşitsizlik işaretini değiştirmek istememem.

211
00:10:53,460 --> 00:10:55,510
-

212
00:10:55,510 --> 00:10:57,690
-

213
00:10:57,690 --> 00:10:59,910
Şimdi ,yerine koymadan önce her iki tarafını da a ile çarpalım.

214
00:10:59,910 --> 00:11:00,380
-

215
00:11:00,380 --> 00:11:07,750
Yani sonuç 4ac büyük eşittir b kare olur.

216
00:11:07,750 --> 00:11:08,160
İşte!

217
00:11:08,160 --> 00:11:09,890
Unutmayın, çok zahmet çektim.

218
00:11:09,890 --> 00:11:13,400
Daha demin a'nın kesinlikle pozitif sayı olduğunu çünkü aslında uzunluğun karesi olduğunu söyledim.

219
00:11:13,400 --> 00:11:16,830
y çarpı y, y'nin uzunluğunun karesine eşittir ve pozitif bir sayıdır.

220
00:11:16,830 --> 00:11:19,450
-

221
00:11:19,450 --> 00:11:20,320
Pozitif olmalı.

222
00:11:20,320 --> 00:11:21,970
Şimdi gerçek vektörlerle ilgileniyoruz.

223
00:11:21,970 --> 00:11:24,470
Şimdi bunu yerine koymaya geri dönelim.

224
00:11:24,470 --> 00:11:30,030
Yani 4 çarpı a,4 çarpı y nokta y.

225
00:11:30,030 --> 00:11:33,420
y nokta y ayrıca--Bunu da buraya yazabilirim.

226
00:11:33,420 --> 00:11:39,470
y nokta y,y'nin karesinin büyüklüğüyle aynı şeydir.

227
00:11:39,470 --> 00:11:40,490
Bu y nokta y.

228
00:11:40,490 --> 00:11:42,760
Bu a.

229
00:11:42,760 --> 00:11:45,690
y nokta y,Bunu bir önceki videoda göstermiştim.

230
00:11:45,690 --> 00:11:46,800
Çarpı c.

231
00:11:46,800 --> 00:11:49,760
c eşittir x nokta x

232
00:11:49,760 --> 00:11:53,640
x nokta x , vektör x'in karesinin uzunluğuyla aynı şeydir.

233
00:11:53,640 --> 00:11:56,200
-

234
00:11:56,200 --> 00:11:57,420
Yani bu c idi.

235
00:11:57,420 --> 00:12:01,030
Şimdi 4 çarpı a çarpı c ,b kare'den büyük veya ona eşit olur.

236
00:12:01,030 --> 00:12:03,920
-

237
00:12:03,920 --> 00:12:06,760
Şimdi b neydi? b denklemin bu kısmıydı.

238
00:12:06,760 --> 00:12:14,610
Yani b'nin karesi 2 çarpı x nokta y'nin karesine eşit olur.

239
00:12:14,610 --> 00:12:17,880
Şu ana kadar bu sonuca ulaştık.

240
00:12:17,880 --> 00:12:19,620
Ve şimdi bunla ne yapabiliriz?

241
00:12:19,620 --> 00:12:21,200
Ah affedersiniz,buradaki tüm parantezin karesini alıyoruz.

242
00:12:21,200 --> 00:12:23,240
Bu parantezin hepsi b'ye eşit.

243
00:12:23,240 --> 00:12:25,220
Peki,şimdi bakalım bunu sadeleştirebilir miyiz?

244
00:12:25,220 --> 00:12:27,620
Şuan elimizde

245
00:12:27,620 --> 00:12:34,870
4 çarpı y'nin karesinin uzunluğu çarpı x'in karesinin uzunluğu büyük veya eşittir-- eğer bunun karesini alırsak,4 çarpı x nokta y elde ederiz.

246
00:12:34,870 --> 00:12:37,660
-

247
00:12:37,660 --> 00:12:46,270
-

248
00:12:46,270 --> 00:12:54,620
4 çarpı x nokta y çarpı x nokta y.

249
00:12:54,620 --> 00:12:56,510
Aslında bunu bu şekilde yazarsak daha iyi olur.

250
00:12:56,510 --> 00:13:01,090
4 çarpı x nokta y 'nin karesini yazalım

251
00:13:01,090 --> 00:13:02,950
Şimdi her iki tarafı da 4 ile bölebiliriz.

252
00:13:02,950 --> 00:13:04,600
Bu eşitsizliğimizi değiştirmeyecektir.

253
00:13:04,600 --> 00:13:06,250
Bu nedenle sadece birbirini götürür.

254
00:13:06,250 --> 00:13:08,050
Ve şimdi bu denklemin her iki tarafının da karekökünü alalım.

255
00:13:08,050 --> 00:13:09,840
-

256
00:13:09,840 --> 00:13:13,040
Yani denklemin her iki tarafının karekökleri--bunlar pozitif değerler, bu yüzden denklemin bu tarafının karekökü aynı zamanda,kendisinin her bir teriminin kare köküdür.

257
00:13:13,040 --> 00:13:15,380
-

258
00:13:15,380 --> 00:13:16,840
-

259
00:13:16,840 --> 00:13:18,325
Bu sadece bir destekleyici özelliktir.

260
00:13:18,325 --> 00:13:21,150
Yani,eğer her iki tarafın karekökünü alırsanız,sonuç olarak y'nin uzunluğu çarpı x'in uzunluğu büyük eşittir bunun karekökü olduğunu elde edersiniz.

261
00:13:21,150 --> 00:13:28,010
-

262
00:13:28,010 --> 00:13:29,570
-

263
00:13:29,570 --> 00:13:31,650
Ve biz pozitif karekökünü alacağız.

264
00:13:31,650 --> 00:13:33,480
Bu denklemin her iki tarafının da pozitif karekökünü alacağız.

265
00:13:33,480 --> 00:13:34,400
-

266
00:13:34,400 --> 00:13:36,600
Bu kafamızın eşitsizlik veya ona benzer bir şeyle karışmasına engel olur.

267
00:13:36,600 --> 00:13:38,260
-

268
00:13:38,260 --> 00:13:42,640
Yani,pozitif karekök,x çarpı y 'nin mutlak değerine eşit olur.

269
00:13:42,640 --> 00:13:44,370
-

270
00:13:44,370 --> 00:13:46,060
Ve bunun mutlak değer olduğunu söylemek konusunda dikkatli olmak istiyorum çünkü buradaki sonucun negatif olması mümkün.

271
00:13:46,060 --> 00:13:51,060
-

272
00:13:51,060 --> 00:13:51,755
-

273
00:13:51,755 --> 00:13:55,520
Fakat, bunun karesini aldığınızda,karekökünü alırken pozitif bir değer olmasına dikkat edersiniz.

274
00:13:55,520 --> 00:13:56,710
-

275
00:13:56,710 --> 00:13:57,960
-

276
00:13:57,960 --> 00:14:02,050
Çünkü bir yandan asıl karekökünü aldığımızda,eşitsizliklerle kafamız karışabilir.

277
00:14:02,050 --> 00:14:04,070
-

278
00:14:04,070 --> 00:14:07,130
Pozitif karekökü alıyoruz--yani eğer mutlak değeri alırsanız,sonucun pozitif olmasını sağlarsınız.

279
00:14:07,130 --> 00:14:08,965
-

280
00:14:08,965 --> 00:14:10,590
-

281
00:14:10,590 --> 00:14:12,000
Fakat bizim sonucumuz bu.

282
00:14:12,000 --> 00:14:15,800
Vektörlerimizin nokta çarpımlarının mutlak değeri,bu iki vektörün uzunluklarının çarpımlarından daha az.

283
00:14:15,800 --> 00:14:19,510
-

284
00:14:19,510 --> 00:14:21,586
İşte Cauchy-Shwarz eşitsiziğimizi anladık.

285
00:14:27,600 --> 00:14:36,630
Şimdi söylediğim son şey,bakın eğer x,y'nin herhangi bir skaler çarpımına eşitse ne olur?

286
00:14:36,630 --> 00:14:39,640
-

287
00:14:39,640 --> 00:14:41,385
Öyle bir durumda,mutlak değer nedir?

288
00:14:41,385 --> 00:14:45,930
x nokta y'nin mutlak değeri?

289
00:14:45,930 --> 00:14:48,520
O eşittir--Neye eşittir?

290
00:14:48,520 --> 00:14:51,080
Eğer yerine koyma yöntemini uygularsak,sonuç c çarpı y'nin mutlak değerine eşit olur.

291
00:14:51,080 --> 00:14:52,850
-

292
00:14:52,850 --> 00:14:59,160
x nokta y 'nin neye eşit olduğunu Birleşme Özelliği'nden bulduk.

293
00:14:59,160 --> 00:15:00,730
-

294
00:15:00,730 --> 00:15:04,800
x nokta y c çarpı--mutlak değerimizden ve her şeyin pozitif değerde olduğundan emin olmak istiyoruz.

295
00:15:04,800 --> 00:15:07,910
-

296
00:15:07,910 --> 00:15:10,970
y nokta y

297
00:15:10,970 --> 00:15:22,320
y nokta y , c çarpı y'nin büyüklüğüne eşittir.--y'nin karesinin uzunluğu.

298
00:15:22,320 --> 00:15:24,210
-

299
00:15:24,210 --> 00:15:31,260
Bu c çarpı--veya skaler c'nin mutlak değeri çarpı y'nin uzunluğuna eşittir.

300
00:15:31,260 --> 00:15:34,986
-

301
00:15:40,000 --> 00:15:44,290
Peki burada,bunu tekrar yazabilirim.

302
00:15:44,290 --> 00:15:46,610
Demek istediğim,eğer inanmazsanız,bunu kendinize kanıtlayabilirsiniz.--c'yi büyüklüğün içine koyabilirdik,bu sizin bunu kanıtlamanız için iyi bir egzersiz olurdu.

303
00:15:46,610 --> 00:15:49,790
-

304
00:15:49,790 --> 00:15:51,630
-

305
00:15:51,630 --> 00:15:52,300
Fakat bunun anlaşılması oldukça kolay.

306
00:15:52,300 --> 00:15:54,180
Sadece uzunluğun tanımını yapıyorsunuz.

307
00:15:54,180 --> 00:15:56,050
Ve onu c ile çarpıyorsunuz.

308
00:15:56,050 --> 00:16:01,530
Bu cy çarpı--cy'nin uzunluğuna,cy'nin uzunluğu çarpı y'nin uzunluğu diyelim.

309
00:16:01,530 --> 00:16:06,600
-

310
00:16:06,600 --> 00:16:10,620
-

311
00:16:10,620 --> 00:16:11,580
-

312
00:16:11,580 --> 00:16:13,920
Şimdi bu x'tir.

313
00:16:13,920 --> 00:16:19,370
Bu nedenle,bu x'in uzunluğu çarpı y'nin uzunluğuna eşittir.

314
00:16:19,370 --> 00:16:21,360
Yani,eğer içlerinden biri diğerinin skaler çarpımı olursa,eşitliğin sağlandığı Cauchy-Shwarz eşitsizliğinin ikinci bölümünü gösterdim.

315
00:16:21,360 --> 00:16:24,650
Cauchy-Shwarz eşitsizliği,eğer içlerinden biri diğerinin skaler çarpımı olursa bu diğerine eşittir.

316
00:16:24,650 --> 00:16:28,510
-

317
00:16:28,510 --> 00:16:29,540
Eğer çözdüğümüz adımların bazılarında sorun yaşadıysanız,bunu kanıtlamak iyi bir egzersiz olur.

318
00:16:29,540 --> 00:16:31,600
-

319
00:16:31,600 --> 00:16:32,370
-

320
00:16:32,370 --> 00:16:35,720
Örneğin, c'nin mutlak değeri çarpı vektör y'nin uzunluğu,c çarpı y'nin uzunluğuyla aynı şeydir.

321
00:16:35,720 --> 00:16:39,270
-

322
00:16:39,270 --> 00:16:41,890
-

323
00:16:41,890 --> 00:16:43,790
Her neyse,umarım bunu yararlı bulmuşsunuzdur.

324
00:16:43,790 --> 00:16:47,180
Cauchy-Shwarz eşitsizliğini,doğrusal cebirde başka sonuçları kanıtlarken çok kullanacağız.

325
00:16:47,180 --> 00:16:49,580
-

326
00:16:49,580 --> 00:16:51,250
Ve gelecek videoda,sizlere bunun neden nokta çarpımıyla alakalı olduğuyla ilgili ön bilgi vereceğim.

327
00:16:51,250 --> 00:16:53,960
-

328
00:16:53,960 --> 00:16:55,500
-