WEBVTT 00:00:00.840 --> 00:00:03.270 Sıfırdan farklı iki vektöre sahip olduğumu varsayalım. 00:00:05.137 --> 00:00:07.005 İlk vektör x ve ikinci vektör y. 00:00:09.920 --> 00:00:10.757 Her ikisi de kümemizin bir parçası. 00:00:11.595 --> 00:00:13.270 Her ikisi de Rn kümesinin bir elemenı ve sıfıra eşit değiller. 00:00:17.450 --> 00:00:22.133 Sonuç olarak onların mutlak değerlerinin-- bunu başka bir renkle yazalım. 00:00:22.133 --> 00:00:25.320 - 00:00:25.320 --> 00:00:26.800 - 00:00:26.800 --> 00:00:31.080 İki vektörün nokta çarpımlarının mutlak değerleri--unutmayın bu sadece bir sayıl nicelik-- uzunluklarının çarpımlarına eşit veya küçüktür. 00:00:31.080 --> 00:00:35.280 - 00:00:35.280 --> 00:00:40.840 - 00:00:40.840 --> 00:00:43.140 Nokta çarpımını ve uzunlukları çoktan tanımlamıştık. 00:00:43.140 --> 00:00:44.230 - 00:00:44.230 --> 00:00:47.390 Bu iki vektörün nokta çarpımları onların uzunluklarına küçük eşittir ve bu durum--bunu not edelim-- ancak bu iki vektörün doğrudaş veya birbirlerinin skaler(iç) çarpımları oldukları zaman gerçekleşir. 00:00:47.390 --> 00:00:50.730 - 00:00:50.730 --> 00:00:57.930 - 00:00:57.930 --> 00:01:01.575 - 00:01:01.575 --> 00:01:05.470 - 00:01:05.470 --> 00:01:11.460 - 00:01:11.460 --> 00:01:11.920 - 00:01:11.920 --> 00:01:13.580 - 00:01:13.580 --> 00:01:16.430 Bilirsiniz,birbirilerinin daha kısa veya daha uzun biçimleri olanlar. 00:01:16.430 --> 00:01:17.530 - 00:01:17.530 --> 00:01:22.250 Yani,bu eşitlik sadece x'in; y'nin skaler(iç) çarpımı olduğu durumlarda gerçekleşir. 00:01:22.250 --> 00:01:24.875 . 00:01:27.970 --> 00:01:30.760 Bu eşitsizlikler yani bu eşitsizliğin eşitliği Cauchy-Shwarz eşitsizliği olarak adlandırılır. 00:01:30.760 --> 00:01:33.215 . 00:01:33.215 --> 00:01:43.200 - 00:01:43.200 --> 00:01:45.580 Şimdi bunu kanıtlayalım çünkü böyle bir şeyi ilk görüşte kabullenemezsiniz. 00:01:45.580 --> 00:01:46.680 - 00:01:46.680 --> 00:01:49.040 Öylece kabullenmemelisiniz. 00:01:49.040 --> 00:01:53.280 Şimdi, herhangi bir yapay işlev kuralım. 00:01:53.280 --> 00:01:58.180 Bu fonksiyon bazı değişkenlerin,bazı sayısal t'lerin işlevi. 00:01:58.180 --> 00:02:00.410 - 00:02:00.410 --> 00:02:04.710 p'nin t kümesini t'nin herhangi bir sayısal değeri ile y vektörününün çarpımlarından x vektörünün farkı şeklinde tanımlalayalım. 00:02:04.710 --> 00:02:12.420 - 00:02:12.420 --> 00:02:15.880 - 00:02:15.880 --> 00:02:17.300 Bu vektörün uzunluğunu gösteriyor. 00:02:17.300 --> 00:02:19.320 Birazdan vektör olacak. 00:02:19.320 --> 00:02:20.920 Ve karesini alıyoruz. 00:02:20.920 --> 00:02:23.130 Şİmdi,ilerlemeden önce küçük bir noktaya değinmek istiyorum. 00:02:23.130 --> 00:02:23.790 - 00:02:23.790 --> 00:02:29.740 Eğer bir vektörün uzunluğunu ele alırsam,bunu burada yapacağım. 00:02:29.740 --> 00:02:32.890 v vektörünün bir uzunluğunu aldığımı farz edelim. 00:02:32.890 --> 00:02:36.820 Sonucun pozitif bir sayı olacağını veya o'dan büyük veya ona eşit olacağını anlamanızı istiyorum. 00:02:36.820 --> 00:02:39.150 - 00:02:39.150 --> 00:02:42.940 Çünkü bu onun tüm terimlerinin karesine eşit olacak. 00:02:42.940 --> 00:02:45.340 v2'dan vn'e kadar ki tüm sayıların karesi. 00:02:45.340 --> 00:02:46.640 Bunların hepsi birer gerçek sayı. 00:02:46.640 --> 00:02:49.550 Bir gerçek sayının karesini aldığınızda,sonuç sıfırdan büyük veya eşit olur. 00:02:49.550 --> 00:02:50.770 - 00:02:50.770 --> 00:02:52.290 İki gerçek sayıyı topladığınızda,sonuç 0'dan büyük veya eşit olacak. 00:02:52.290 --> 00:02:53.670 - 00:02:53.670 --> 00:02:55.840 Ve siz bu sonucun karekökünü aldığınızda,sonuç yine 0'dan büyük veya ona eşit olacak. 00:02:55.840 --> 00:02:57.370 - 00:02:57.370 --> 00:02:59.270 - 00:02:59.270 --> 00:03:02.930 Bu nedenle herhangi bir gerçek vektörün uzunluğu 0'dan büyük veya eşit olacaktır. 00:03:02.930 --> 00:03:04.180 - 00:03:04.180 --> 00:03:06.690 İşte bu gerçek bir vektörün uzunluğu. 00:03:06.690 --> 00:03:11.230 Bu yüzden bu da 0'dan büyük veya eşit olacaktır. 00:03:11.230 --> 00:03:14.400 Şimdi,önceki videolardan birinde,sanırım iki video önce,bir vektörün uzunluğunun veya büyüklüğünün karesinin, onun kendisiyle olan nokta çarpımı olarak da yazılabileceğini göstermiştim. 00:03:14.400 --> 00:03:18.860 - 00:03:18.860 --> 00:03:22.950 - 00:03:22.950 --> 00:03:24.570 - 00:03:24.570 --> 00:03:26.830 İşte şimdi bu vektörü o yolla tekrar yazalım. 00:03:29.920 --> 00:03:32.750 Bu vektörün uzunluğunun karesi aynı vektörün kendisi ile olan nokta çarpımına eşittir. 00:03:32.750 --> 00:03:34.230 - 00:03:34.230 --> 00:03:44.880 Bu yüzden sonuç ty eksi x nokta ty eksi x şeklinde yazılır. 00:03:44.880 --> 00:03:49.120 Bir önceki videoda,size bir çarpma işlemini veya nokta çarpımını konu birleşme,dağılma ve değişme özellikleri olduğunda düzenli bir çarpma işlemi olarak ele alabileceğinizi göstermiştim. 00:03:49.120 --> 00:03:52.050 - 00:03:52.050 --> 00:03:54.330 - 00:03:54.330 --> 00:03:57.420 - 00:03:57.420 --> 00:03:58.330 - 00:03:58.330 --> 00:04:00.200 Yani bunları çarptığınızda,sonucu iki farklı iki bilinmeyenli denklemi çarptığınızı düşenebilirsiniz. 00:04:00.200 --> 00:04:02.340 - 00:04:02.340 --> 00:04:05.440 Bunu aynı şekilde iki farklı iki bilinmeyenli cebirsel denklemi çarparak da yapabilirsiniz. 00:04:05.440 --> 00:04:07.360 - 00:04:07.360 --> 00:04:11.030 Aslında şuan dağılma özelliğini kullanıyorsunuz. 00:04:11.030 --> 00:04:13.760 Ama unutmayın,bu sadece standart bir çarpma işlemi değil. 00:04:13.760 --> 00:04:15.480 Bu yaptığımız nokta çarpımı. 00:04:15.480 --> 00:04:18.149 Bu bir vektör çarpma işlemi ya da bir çeşit vektör çarpma işlemidir. 00:04:18.149 --> 00:04:19.220 - 00:04:19.220 --> 00:04:24.730 Yani eğer bunu dağıtırsak,sonuç ty nokta ty olacak. 00:04:24.730 --> 00:04:25.850 Şimdi bunu not edelim. 00:04:25.850 --> 00:04:30.850 Sonuç ty nokta ty. 00:04:30.850 --> 00:04:36.430 Ve sonra eksi-- bunu bu yoldan yapmama izin verin. 00:04:36.430 --> 00:04:42.580 Sonra sonuç olarak eksi x çarpı ty. 00:04:42.580 --> 00:04:44.640 Çarpı demek yerine,nokta demek konusunda dikkatli olmalıyım. 00:04:44.640 --> 00:04:45.720 - 00:04:45.720 --> 00:04:52.400 Yani eksi x nokta ty. 00:04:52.400 --> 00:04:58.810 Ve sonuç olarak ty çarpı eksi x elde ederiz. 00:04:58.810 --> 00:05:04.860 Bunu -ty nokta x şeklinde yazabiliriz 00:05:04.860 --> 00:05:08.900 Sonuç olarak x'in birbiriyle çarpımını elde ederiz. 00:05:08.900 --> 00:05:12.680 Ve bunu eksi 1x nokta 1x şeklinde düşünebilirsiniz. 00:05:12.680 --> 00:05:16.080 Artı eksi 1 diyebilirsiniz. 00:05:16.080 --> 00:05:21.500 Her iki x'in önünde artı eksi 1 olduğunu düşünebiliriz 00:05:21.500 --> 00:05:26.260 Yani sonuç olarak bu eksi1x nokta eksi 1x 00:05:26.260 --> 00:05:26.860 İşte şimdi bakalım. 00:05:26.860 --> 00:05:29.940 Bu benim tüm denklemimin basitleştirilmiş veya genişletilmiş hali. 00:05:29.940 --> 00:05:30.710 - 00:05:30.710 --> 00:05:32.890 Bunu gerçekten bir basitleştirme olarak tanımlayamam. 00:05:32.890 --> 00:05:35.410 Fakat bu denklemi buraya tekrar yazmak için bunun bir değişme ve birleşme olduğu gerçeğini kullanabilirsiniz. 00:05:35.410 --> 00:05:38.230 - 00:05:38.230 --> 00:05:45.430 Bu eşittir y nokta y çarpı t'nin karesi 00:05:45.430 --> 00:05:46.680 t sadece bir skalerdir. 00:05:49.270 --> 00:05:50.750 Eksi-- ve aslında bu ikiye eşitir. 00:05:50.750 --> 00:05:52.810 Bu iki şey birbirine eşit. 00:05:52.810 --> 00:05:55.370 Bunlar aynı şeyin farklı düzenlemeleri ve görüyoruz ki nokta çarpımı birleşmeli bir işlemdir. 00:05:55.370 --> 00:05:57.290 - 00:05:57.290 --> 00:06:06.260 Yani bu eşiittir 2 çarpı parantez içinde x nokta y çarpı t. 00:06:06.260 --> 00:06:09.230 Bunu belki de farklı bir renkle yazmalıyım. 00:06:09.230 --> 00:06:13.080 Bu iki terimin çarpımının sonucu buradaki terimdir. 00:06:13.080 --> 00:06:16.570 Ve eğer bunları yeniden düzenlerseniz,sonuç olarak eksi 1 çarpı eksi 1 elde edersiniz. 00:06:16.570 --> 00:06:17.400 - 00:06:17.400 --> 00:06:20.070 Onlar da birbirilerini götürürler bu yüzden sonuç artı olur ve elinizde sadece artı x nokta x kalır. 00:06:20.070 --> 00:06:25.140 - 00:06:25.140 --> 00:06:27.740 Bunu da başka bir renkle yazmalıyım. 00:06:27.740 --> 00:06:29.690 - 00:06:29.690 --> 00:06:32.820 Yani o terimler bu terimle sonuçlanır. 00:06:32.820 --> 00:06:35.620 Tabi ki,bu terim de bu terimle sonuçlanır. 00:06:35.620 --> 00:06:37.880 Ve unutmayın,tüm yaptığım bunu tekrar yazmak ve söylemekti, bakın. 00:06:37.880 --> 00:06:38.490 - 00:06:38.490 --> 00:06:41.990 Bu 0'dan büyük veya eşit olmalı. 00:06:41.990 --> 00:06:44.620 Yani bunu buraya tekrar yazabilirim. 00:06:44.620 --> 00:06:46.070 Bu şey hala aynı. 00:06:46.070 --> 00:06:47.450 Ben sadece onu tekrar yazdım. 00:06:47.450 --> 00:06:52.620 İşte bunun hepsi 0'dan büyük veya 0'a eşit olacak. 00:06:52.620 --> 00:06:54.990 Şimdi denklemimizi toparlamak için yerine koyma yöntemini kullanalım. 00:06:54.990 --> 00:06:56.590 - 00:06:56.590 --> 00:06:59.280 Daha sonra tekrar yerine koymak için geri döneceğiz. 00:06:59.280 --> 00:07:02.480 Bunu a olarak tanımlayalım. 00:07:02.480 --> 00:07:07.860 Bu parçayı da b olarak tanımlayalım 00:07:07.860 --> 00:07:10.380 Yani tüm parça eksi 2x nokta y. 00:07:10.380 --> 00:07:11.780 t'yi orada bırakacağım. 00:07:11.780 --> 00:07:17.020 Ve bunu c olarak tanımlayalım. 00:07:17.020 --> 00:07:17.825 - 00:07:17.825 --> 00:07:20.130 x nokta x c'ye eşittir. 00:07:20.130 --> 00:07:22.060 Şimdi,denklemimiz ne olur? 00:07:22.060 --> 00:07:29.910 Denklemimiz a çarpı t'nin karesi eksi-renklerle ilgili dikkatli olmalıyım- b çarpı t artı c. 00:07:29.910 --> 00:07:35.480 - 00:07:39.180 --> 00:07:41.050 Ve tabi ki,biliyoruz ki bu 0'dan büyük veya 0'a eşit olacak. 00:07:41.050 --> 00:07:41.780 - 00:07:41.780 --> 00:07:43.660 Bu yukarıdakiyle aynı şey,0'dan büyük veya 0' a eşittir. 00:07:43.660 --> 00:07:44.270 - 00:07:44.270 --> 00:07:47.125 t'nin p'sini buraya yazabilirim. 00:07:47.125 --> 00:07:50.890 Şimdi sonuç,buraya koyacağım herhangi bir t için 0'a eşit veya 0'dan büyük olacak. 00:07:50.890 --> 00:07:51.530 - 00:07:51.530 --> 00:07:53.995 Oraya koyduğum herhangi gerçek t için. 00:08:00.640 --> 00:08:05.190 Fonksiyonumuzu b bölü 2a olarak değerlendirmeme izin verin. 00:08:05.190 --> 00:08:07.570 Ve bunu kesinlikle yapabilirim çünkü a neydi? 00:08:07.570 --> 00:08:10.700 Sadece herhangi bir yerde 0'la bölmediğime emin olmalıyım. 00:08:10.700 --> 00:08:13.850 Yani a kendisiyle çarpılan bu vektördü. 00:08:13.850 --> 00:08:16.290 Ve bunun sıfır olmayan bir vektör olduğunu söylemiştik. 00:08:16.290 --> 00:08:18.680 Yani bu onun uzunluğunun karesi. 00:08:18.680 --> 00:08:21.610 Bu sıfır olmayan bir vektör,bu yüzden uzunluğunu aldığınızda bu terimlerin bazıları pozitif olarak sonuçlanır. 00:08:21.610 --> 00:08:23.790 - 00:08:23.790 --> 00:08:25.710 İşte tam buradaki şey sıfır değil. 00:08:25.710 --> 00:08:27.310 Bu sıfır olmayan bir vektör. 00:08:27.310 --> 00:08:30.880 Böylece 2 çarpı kendisiyle olan nokta çarpımı da sıfırdan farklı bir sayı olacaktır. 00:08:30.880 --> 00:08:31.450 - 00:08:31.450 --> 00:08:32.309 Yani bunu yapabiliriz. 00:08:32.309 --> 00:08:34.990 0'la bölme hakkında endişelenmiyoruz,başka her ne olursa olsun. 00:08:34.990 --> 00:08:37.049 Fakat bu neye eşit olacak? 00:08:37.049 --> 00:08:39.200 Bu eşittir--ve tekrar yeşile bağlı kalacağım. 00:08:39.200 --> 00:08:42.110 Sürekli renkleri değiştirmek çok zaman alıyor. 00:08:42.110 --> 00:08:45.230 Bu eşittir a çarpı denklemin karesi. 00:08:45.230 --> 00:08:49.340 Yani bu b'nin karesi bölü dört a karedir. 00:08:49.340 --> 00:08:52.090 Dört a kareyi elde etmek için iki a'nın karesini aldım. 00:08:52.090 --> 00:08:55.270 eksi b çarpı bu. 00:08:55.270 --> 00:08:58.760 Yani b çarpı-bu sadece sıradan bir çarpma işlemi. 00:08:58.760 --> 00:09:01.650 b çarpı b bölü 2a. 00:09:01.650 --> 00:09:03.780 Sadece sıradan bir çapma işlemi yazdık buraya. 00:09:03.780 --> 00:09:05.130 Artı c. 00:09:05.130 --> 00:09:07.870 Ve biliyoruz ki bunun tamamı 0'dan büyük veya sıfıra eşit. 00:09:07.870 --> 00:09:12.080 Şimdi eğer bunu sadeleştirirsek,ne elde ederiz? 00:09:12.080 --> 00:09:15.290 Buradaki a buradaki sayının üssünü götürür ve elimizde sonuç olarak b kare kalır. 00:09:15.290 --> 00:09:18.480 - 00:09:18.480 --> 00:09:26.150 Şuan sonucumuz b kare bölü 4a eksi b kare bölü 2a. 00:09:26.150 --> 00:09:27.650 Bu,oradaki terim. 00:09:27.650 --> 00:09:31.730 Artı c büyük eşittir 0. 00:09:31.730 --> 00:09:33.440 Bunu tekrar yazalım. 00:09:33.440 --> 00:09:36.810 Eğer bu işlemdeki payı ve paydayı 2 ile çarparsam,ne elde ederim? 00:09:36.810 --> 00:09:38.010 - 00:09:38.010 --> 00:09:41.110 Sonuç 2b'nin karesi bölü 4a olur. 00:09:41.110 --> 00:09:43.050 Bunu yapmamın tüm nedeni ortak bir payda elde etmekti. 00:09:43.050 --> 00:09:44.660 - 00:09:44.660 --> 00:09:45.670 Yani sonuç olarak ne elde ettiniz? 00:09:45.670 --> 00:09:50.050 b kare bölü 4a eksi 2b'nin karesi bölü 4a elde ettiniz. 00:09:50.050 --> 00:09:52.600 Bu iki terim kaç ile sadeleşir? 00:09:52.600 --> 00:09:54.930 Kesirdeki paydamız b kare eksi 2b'nin karesi. 00:09:54.930 --> 00:10:01.200 Böylece eksi b kare bölü 4a artı c 0'dan büyük veya 0' eşittir. 00:10:01.200 --> 00:10:02.710 - 00:10:02.710 --> 00:10:06.570 Bu iki terim toplanarak tam buradaki toplama ulaşırlar. 00:10:06.570 --> 00:10:11.490 Şimdi eğer bunu denklemin her iki tarafına da eklersek,sonuç c büyüktür veya eşittir b kare bölü 4a olur. 00:10:11.490 --> 00:10:16.260 - 00:10:16.260 --> 00:10:17.720 Soldaki terim negatifti. 00:10:17.720 --> 00:10:19.570 Eğer bu terimi her iki tarafa da eklersem,sağdaki terim pozitif olur. 00:10:19.570 --> 00:10:21.760 - 00:10:21.760 --> 00:10:24.470 Eşitsizlik gibi görünen bir şeye yaklaşıyoruz,şuan elimizde ne olduğunu görmek için yerine koyma yöntemini uyguladığımız asıl denklemimize geri dönelim. 00:10:24.470 --> 00:10:28.380 - 00:10:28.380 --> 00:10:30.060 - 00:10:30.060 --> 00:10:32.660 Şimdi yerine koyma yöntemini uyguladığım denklemim neredeydi? 00:10:32.660 --> 00:10:35.790 Tam buradaydı. 00:10:35.790 --> 00:10:37.970 Ve aslında,daha çok sadeleştirmek için her iki tarafı da 4a ile çarpalım. 00:10:37.970 --> 00:10:39.220 - 00:10:41.440 --> 00:10:43.020 a yalnızca sıfırdan farklı bir sayı değil aynı zamanda pozitif bir sayı olur. 00:10:43.020 --> 00:10:44.130 - 00:10:44.130 --> 00:10:46.070 Bu onun uzunluğunun karesidir. 00:10:46.070 --> 00:10:49.670 Ve size herhangi bir gerçek vektörün uzunluğunun pozitif olacağını çoktan göstermiştim. 00:10:49.670 --> 00:10:51.170 - 00:10:51.170 --> 00:10:53.460 Ve a'nın pozitif olduğunu göstermek için bu kadar zahmet çekmemin sebebi,eğer her iki tarafını da çarparsam,eşitsizlik işaretini değiştirmek istememem. 00:10:53.460 --> 00:10:55.510 - 00:10:55.510 --> 00:10:57.690 - 00:10:57.690 --> 00:10:59.910 Şimdi ,yerine koymadan önce her iki tarafını da a ile çarpalım. 00:10:59.910 --> 00:11:00.380 - 00:11:00.380 --> 00:11:07.750 Yani sonuç 4ac büyük eşittir b kare olur. 00:11:07.750 --> 00:11:08.160 İşte! 00:11:08.160 --> 00:11:09.890 Unutmayın, çok zahmet çektim. 00:11:09.890 --> 00:11:13.400 Daha demin a'nın kesinlikle pozitif sayı olduğunu çünkü aslında uzunluğun karesi olduğunu söyledim. 00:11:13.400 --> 00:11:16.830 y çarpı y, y'nin uzunluğunun karesine eşittir ve pozitif bir sayıdır. 00:11:16.830 --> 00:11:19.450 - 00:11:19.450 --> 00:11:20.320 Pozitif olmalı. 00:11:20.320 --> 00:11:21.970 Şimdi gerçek vektörlerle ilgileniyoruz. 00:11:21.970 --> 00:11:24.470 Şimdi bunu yerine koymaya geri dönelim. 00:11:24.470 --> 00:11:30.030 Yani 4 çarpı a,4 çarpı y nokta y. 00:11:30.030 --> 00:11:33.420 y nokta y ayrıca--Bunu da buraya yazabilirim. 00:11:33.420 --> 00:11:39.470 y nokta y,y'nin karesinin büyüklüğüyle aynı şeydir. 00:11:39.470 --> 00:11:40.490 Bu y nokta y. 00:11:40.490 --> 00:11:42.760 Bu a. 00:11:42.760 --> 00:11:45.690 y nokta y,Bunu bir önceki videoda göstermiştim. 00:11:45.690 --> 00:11:46.800 Çarpı c. 00:11:46.800 --> 00:11:49.760 c eşittir x nokta x 00:11:49.760 --> 00:11:53.640 x nokta x , vektör x'in karesinin uzunluğuyla aynı şeydir. 00:11:53.640 --> 00:11:56.200 - 00:11:56.200 --> 00:11:57.420 Yani bu c idi. 00:11:57.420 --> 00:12:01.030 Şimdi 4 çarpı a çarpı c ,b kare'den büyük veya ona eşit olur. 00:12:01.030 --> 00:12:03.920 - 00:12:03.920 --> 00:12:06.760 Şimdi b neydi? b denklemin bu kısmıydı. 00:12:06.760 --> 00:12:14.610 Yani b'nin karesi 2 çarpı x nokta y'nin karesine eşit olur. 00:12:14.610 --> 00:12:17.880 Şu ana kadar bu sonuca ulaştık. 00:12:17.880 --> 00:12:19.620 Ve şimdi bunla ne yapabiliriz? 00:12:19.620 --> 00:12:21.200 Ah affedersiniz,buradaki tüm parantezin karesini alıyoruz. 00:12:21.200 --> 00:12:23.240 Bu parantezin hepsi b'ye eşit. 00:12:23.240 --> 00:12:25.220 Peki,şimdi bakalım bunu sadeleştirebilir miyiz? 00:12:25.220 --> 00:12:27.620 Şuan elimizde 00:12:27.620 --> 00:12:34.870 4 çarpı y'nin karesinin uzunluğu çarpı x'in karesinin uzunluğu büyük veya eşittir-- eğer bunun karesini alırsak,4 çarpı x nokta y elde ederiz. 00:12:34.870 --> 00:12:37.660 - 00:12:37.660 --> 00:12:46.270 - 00:12:46.270 --> 00:12:54.620 4 çarpı x nokta y çarpı x nokta y. 00:12:54.620 --> 00:12:56.510 Aslında bunu bu şekilde yazarsak daha iyi olur. 00:12:56.510 --> 00:13:01.090 4 çarpı x nokta y 'nin karesini yazalım 00:13:01.090 --> 00:13:02.950 Şimdi her iki tarafı da 4 ile bölebiliriz. 00:13:02.950 --> 00:13:04.600 Bu eşitsizliğimizi değiştirmeyecektir. 00:13:04.600 --> 00:13:06.250 Bu nedenle sadece birbirini götürür. 00:13:06.250 --> 00:13:08.050 Ve şimdi bu denklemin her iki tarafının da karekökünü alalım. 00:13:08.050 --> 00:13:09.840 - 00:13:09.840 --> 00:13:13.040 Yani denklemin her iki tarafının karekökleri--bunlar pozitif değerler, bu yüzden denklemin bu tarafının karekökü aynı zamanda,kendisinin her bir teriminin kare köküdür. 00:13:13.040 --> 00:13:15.380 - 00:13:15.380 --> 00:13:16.840 - 00:13:16.840 --> 00:13:18.325 Bu sadece bir destekleyici özelliktir. 00:13:18.325 --> 00:13:21.150 Yani,eğer her iki tarafın karekökünü alırsanız,sonuç olarak y'nin uzunluğu çarpı x'in uzunluğu büyük eşittir bunun karekökü olduğunu elde edersiniz. 00:13:21.150 --> 00:13:28.010 - 00:13:28.010 --> 00:13:29.570 - 00:13:29.570 --> 00:13:31.650 Ve biz pozitif karekökünü alacağız. 00:13:31.650 --> 00:13:33.480 Bu denklemin her iki tarafının da pozitif karekökünü alacağız. 00:13:33.480 --> 00:13:34.400 - 00:13:34.400 --> 00:13:36.600 Bu kafamızın eşitsizlik veya ona benzer bir şeyle karışmasına engel olur. 00:13:36.600 --> 00:13:38.260 - 00:13:38.260 --> 00:13:42.640 Yani,pozitif karekök,x çarpı y 'nin mutlak değerine eşit olur. 00:13:42.640 --> 00:13:44.370 - 00:13:44.370 --> 00:13:46.060 Ve bunun mutlak değer olduğunu söylemek konusunda dikkatli olmak istiyorum çünkü buradaki sonucun negatif olması mümkün. 00:13:46.060 --> 00:13:51.060 - 00:13:51.060 --> 00:13:51.755 - 00:13:51.755 --> 00:13:55.520 Fakat, bunun karesini aldığınızda,karekökünü alırken pozitif bir değer olmasına dikkat edersiniz. 00:13:55.520 --> 00:13:56.710 - 00:13:56.710 --> 00:13:57.960 - 00:13:57.960 --> 00:14:02.050 Çünkü bir yandan asıl karekökünü aldığımızda,eşitsizliklerle kafamız karışabilir. 00:14:02.050 --> 00:14:04.070 - 00:14:04.070 --> 00:14:07.130 Pozitif karekökü alıyoruz--yani eğer mutlak değeri alırsanız,sonucun pozitif olmasını sağlarsınız. 00:14:07.130 --> 00:14:08.965 - 00:14:08.965 --> 00:14:10.590 - 00:14:10.590 --> 00:14:12.000 Fakat bizim sonucumuz bu. 00:14:12.000 --> 00:14:15.800 Vektörlerimizin nokta çarpımlarının mutlak değeri,bu iki vektörün uzunluklarının çarpımlarından daha az. 00:14:15.800 --> 00:14:19.510 - 00:14:19.510 --> 00:14:21.586 İşte Cauchy-Shwarz eşitsiziğimizi anladık. 00:14:27.600 --> 00:14:36.630 Şimdi söylediğim son şey,bakın eğer x,y'nin herhangi bir skaler çarpımına eşitse ne olur? 00:14:36.630 --> 00:14:39.640 - 00:14:39.640 --> 00:14:41.385 Öyle bir durumda,mutlak değer nedir? 00:14:41.385 --> 00:14:45.930 x nokta y'nin mutlak değeri? 00:14:45.930 --> 00:14:48.520 O eşittir--Neye eşittir? 00:14:48.520 --> 00:14:51.080 Eğer yerine koyma yöntemini uygularsak,sonuç c çarpı y'nin mutlak değerine eşit olur. 00:14:51.080 --> 00:14:52.850 - 00:14:52.850 --> 00:14:59.160 x nokta y 'nin neye eşit olduğunu Birleşme Özelliği'nden bulduk. 00:14:59.160 --> 00:15:00.730 - 00:15:00.730 --> 00:15:04.800 x nokta y c çarpı--mutlak değerimizden ve her şeyin pozitif değerde olduğundan emin olmak istiyoruz. 00:15:04.800 --> 00:15:07.910 - 00:15:07.910 --> 00:15:10.970 y nokta y 00:15:10.970 --> 00:15:22.320 y nokta y , c çarpı y'nin büyüklüğüne eşittir.--y'nin karesinin uzunluğu. 00:15:22.320 --> 00:15:24.210 - 00:15:24.210 --> 00:15:31.260 Bu c çarpı--veya skaler c'nin mutlak değeri çarpı y'nin uzunluğuna eşittir. 00:15:31.260 --> 00:15:34.986 - 00:15:40.000 --> 00:15:44.290 Peki burada,bunu tekrar yazabilirim. 00:15:44.290 --> 00:15:46.610 Demek istediğim,eğer inanmazsanız,bunu kendinize kanıtlayabilirsiniz.--c'yi büyüklüğün içine koyabilirdik,bu sizin bunu kanıtlamanız için iyi bir egzersiz olurdu. 00:15:46.610 --> 00:15:49.790 - 00:15:49.790 --> 00:15:51.630 - 00:15:51.630 --> 00:15:52.300 Fakat bunun anlaşılması oldukça kolay. 00:15:52.300 --> 00:15:54.180 Sadece uzunluğun tanımını yapıyorsunuz. 00:15:54.180 --> 00:15:56.050 Ve onu c ile çarpıyorsunuz. 00:15:56.050 --> 00:16:01.530 Bu cy çarpı--cy'nin uzunluğuna,cy'nin uzunluğu çarpı y'nin uzunluğu diyelim. 00:16:01.530 --> 00:16:06.600 - 00:16:06.600 --> 00:16:10.620 - 00:16:10.620 --> 00:16:11.580 - 00:16:11.580 --> 00:16:13.920 Şimdi bu x'tir. 00:16:13.920 --> 00:16:19.370 Bu nedenle,bu x'in uzunluğu çarpı y'nin uzunluğuna eşittir. 00:16:19.370 --> 00:16:21.360 Yani,eğer içlerinden biri diğerinin skaler çarpımı olursa,eşitliğin sağlandığı Cauchy-Shwarz eşitsizliğinin ikinci bölümünü gösterdim. 00:16:21.360 --> 00:16:24.650 Cauchy-Shwarz eşitsizliği,eğer içlerinden biri diğerinin skaler çarpımı olursa bu diğerine eşittir. 00:16:24.650 --> 00:16:28.510 - 00:16:28.510 --> 00:16:29.540 Eğer çözdüğümüz adımların bazılarında sorun yaşadıysanız,bunu kanıtlamak iyi bir egzersiz olur. 00:16:29.540 --> 00:16:31.600 - 00:16:31.600 --> 00:16:32.370 - 00:16:32.370 --> 00:16:35.720 Örneğin, c'nin mutlak değeri çarpı vektör y'nin uzunluğu,c çarpı y'nin uzunluğuyla aynı şeydir. 00:16:35.720 --> 00:16:39.270 - 00:16:39.270 --> 00:16:41.890 - 00:16:41.890 --> 00:16:43.790 Her neyse,umarım bunu yararlı bulmuşsunuzdur. 00:16:43.790 --> 00:16:47.180 Cauchy-Shwarz eşitsizliğini,doğrusal cebirde başka sonuçları kanıtlarken çok kullanacağız. 00:16:47.180 --> 00:16:49.580 - 00:16:49.580 --> 00:16:51.250 Ve gelecek videoda,sizlere bunun neden nokta çarpımıyla alakalı olduğuyla ilgili ön bilgi vereceğim. 00:16:51.250 --> 00:16:53.960 - 00:16:53.960 --> 00:16:55.500 -