0:00:00.840,0:00:03.270 Sıfırdan farklı iki vektöre sahip olduğumu varsayalım. 0:00:05.137,0:00:07.005 İlk vektör x ve ikinci vektör y. 0:00:09.920,0:00:10.757 Her ikisi de kümemizin bir parçası. 0:00:11.595,0:00:13.270 Her ikisi de Rn kümesinin bir elemenı ve sıfıra eşit değiller. 0:00:17.450,0:00:22.133 Sonuç olarak onların mutlak değerlerinin-- bunu başka bir renkle yazalım. 0:00:22.133,0:00:25.320 - 0:00:25.320,0:00:26.800 - 0:00:26.800,0:00:31.080 İki vektörün nokta çarpımlarının mutlak değerleri--unutmayın bu sadece bir sayıl nicelik-- uzunluklarının çarpımlarına eşit veya küçüktür. 0:00:31.080,0:00:35.280 - 0:00:35.280,0:00:40.840 - 0:00:40.840,0:00:43.140 Nokta çarpımını ve uzunlukları çoktan tanımlamıştık. 0:00:43.140,0:00:44.230 - 0:00:44.230,0:00:47.390 Bu iki vektörün nokta çarpımları onların uzunluklarına küçük eşittir ve bu durum--bunu not edelim-- ancak bu iki vektörün doğrudaş veya birbirlerinin skaler(iç) çarpımları oldukları zaman gerçekleşir. 0:00:47.390,0:00:50.730 - 0:00:50.730,0:00:57.930 - 0:00:57.930,0:01:01.575 - 0:01:01.575,0:01:05.470 - 0:01:05.470,0:01:11.460 - 0:01:11.460,0:01:11.920 - 0:01:11.920,0:01:13.580 - 0:01:13.580,0:01:16.430 Bilirsiniz,birbirilerinin daha kısa veya daha uzun biçimleri olanlar. 0:01:16.430,0:01:17.530 - 0:01:17.530,0:01:22.250 Yani,bu eşitlik sadece x'in; y'nin skaler(iç) çarpımı olduğu durumlarda gerçekleşir. 0:01:22.250,0:01:24.875 . 0:01:27.970,0:01:30.760 Bu eşitsizlikler yani bu eşitsizliğin eşitliği Cauchy-Shwarz eşitsizliği olarak adlandırılır. 0:01:30.760,0:01:33.215 . 0:01:33.215,0:01:43.200 - 0:01:43.200,0:01:45.580 Şimdi bunu kanıtlayalım çünkü böyle bir şeyi ilk görüşte kabullenemezsiniz. 0:01:45.580,0:01:46.680 - 0:01:46.680,0:01:49.040 Öylece kabullenmemelisiniz. 0:01:49.040,0:01:53.280 Şimdi, herhangi bir yapay işlev kuralım. 0:01:53.280,0:01:58.180 Bu fonksiyon bazı değişkenlerin,bazı sayısal t'lerin işlevi. 0:01:58.180,0:02:00.410 - 0:02:00.410,0:02:04.710 p'nin t kümesini t'nin herhangi bir sayısal değeri ile y vektörününün çarpımlarından x vektörünün farkı şeklinde tanımlalayalım. 0:02:04.710,0:02:12.420 - 0:02:12.420,0:02:15.880 - 0:02:15.880,0:02:17.300 Bu vektörün uzunluğunu gösteriyor. 0:02:17.300,0:02:19.320 Birazdan vektör olacak. 0:02:19.320,0:02:20.920 Ve karesini alıyoruz. 0:02:20.920,0:02:23.130 Şİmdi,ilerlemeden önce küçük bir noktaya değinmek istiyorum. 0:02:23.130,0:02:23.790 - 0:02:23.790,0:02:29.740 Eğer bir vektörün uzunluğunu ele alırsam,bunu burada yapacağım. 0:02:29.740,0:02:32.890 v vektörünün bir uzunluğunu aldığımı farz edelim. 0:02:32.890,0:02:36.820 Sonucun pozitif bir sayı olacağını veya o'dan büyük veya ona eşit olacağını anlamanızı istiyorum. 0:02:36.820,0:02:39.150 - 0:02:39.150,0:02:42.940 Çünkü bu onun tüm terimlerinin karesine eşit olacak. 0:02:42.940,0:02:45.340 v2'dan vn'e kadar ki tüm sayıların karesi. 0:02:45.340,0:02:46.640 Bunların hepsi birer gerçek sayı. 0:02:46.640,0:02:49.550 Bir gerçek sayının karesini aldığınızda,sonuç sıfırdan büyük veya eşit olur. 0:02:49.550,0:02:50.770 - 0:02:50.770,0:02:52.290 İki gerçek sayıyı topladığınızda,sonuç 0'dan büyük veya eşit olacak. 0:02:52.290,0:02:53.670 - 0:02:53.670,0:02:55.840 Ve siz bu sonucun karekökünü aldığınızda,sonuç yine 0'dan büyük veya ona eşit olacak. 0:02:55.840,0:02:57.370 - 0:02:57.370,0:02:59.270 - 0:02:59.270,0:03:02.930 Bu nedenle herhangi bir gerçek vektörün uzunluğu 0'dan büyük veya eşit olacaktır. 0:03:02.930,0:03:04.180 - 0:03:04.180,0:03:06.690 İşte bu gerçek bir vektörün uzunluğu. 0:03:06.690,0:03:11.230 Bu yüzden bu da 0'dan büyük veya eşit olacaktır. 0:03:11.230,0:03:14.400 Şimdi,önceki videolardan birinde,sanırım iki video önce,bir vektörün uzunluğunun veya büyüklüğünün karesinin, onun kendisiyle olan nokta çarpımı olarak da yazılabileceğini göstermiştim. 0:03:14.400,0:03:18.860 - 0:03:18.860,0:03:22.950 - 0:03:22.950,0:03:24.570 - 0:03:24.570,0:03:26.830 İşte şimdi bu vektörü o yolla tekrar yazalım. 0:03:29.920,0:03:32.750 Bu vektörün uzunluğunun karesi aynı vektörün kendisi ile olan nokta çarpımına eşittir. 0:03:32.750,0:03:34.230 - 0:03:34.230,0:03:44.880 Bu yüzden sonuç ty eksi x nokta ty eksi x şeklinde yazılır. 0:03:44.880,0:03:49.120 Bir önceki videoda,size bir çarpma işlemini veya nokta çarpımını konu birleşme,dağılma ve değişme özellikleri olduğunda düzenli bir çarpma işlemi olarak ele alabileceğinizi göstermiştim. 0:03:49.120,0:03:52.050 - 0:03:52.050,0:03:54.330 - 0:03:54.330,0:03:57.420 - 0:03:57.420,0:03:58.330 - 0:03:58.330,0:04:00.200 Yani bunları çarptığınızda,sonucu iki farklı iki bilinmeyenli denklemi çarptığınızı düşenebilirsiniz. 0:04:00.200,0:04:02.340 - 0:04:02.340,0:04:05.440 Bunu aynı şekilde iki farklı iki bilinmeyenli cebirsel denklemi çarparak da yapabilirsiniz. 0:04:05.440,0:04:07.360 - 0:04:07.360,0:04:11.030 Aslında şuan dağılma özelliğini kullanıyorsunuz. 0:04:11.030,0:04:13.760 Ama unutmayın,bu sadece standart bir çarpma işlemi değil. 0:04:13.760,0:04:15.480 Bu yaptığımız nokta çarpımı. 0:04:15.480,0:04:18.149 Bu bir vektör çarpma işlemi ya da bir çeşit vektör çarpma işlemidir. 0:04:18.149,0:04:19.220 - 0:04:19.220,0:04:24.730 Yani eğer bunu dağıtırsak,sonuç ty nokta ty olacak. 0:04:24.730,0:04:25.850 Şimdi bunu not edelim. 0:04:25.850,0:04:30.850 Sonuç ty nokta ty. 0:04:30.850,0:04:36.430 Ve sonra eksi-- bunu bu yoldan yapmama izin verin. 0:04:36.430,0:04:42.580 Sonra sonuç olarak eksi x çarpı ty. 0:04:42.580,0:04:44.640 Çarpı demek yerine,nokta demek konusunda dikkatli olmalıyım. 0:04:44.640,0:04:45.720 - 0:04:45.720,0:04:52.400 Yani eksi x nokta ty. 0:04:52.400,0:04:58.810 Ve sonuç olarak ty çarpı eksi x elde ederiz. 0:04:58.810,0:05:04.860 Bunu -ty nokta x şeklinde yazabiliriz 0:05:04.860,0:05:08.900 Sonuç olarak x'in birbiriyle çarpımını elde ederiz. 0:05:08.900,0:05:12.680 Ve bunu eksi 1x nokta 1x şeklinde düşünebilirsiniz. 0:05:12.680,0:05:16.080 Artı eksi 1 diyebilirsiniz. 0:05:16.080,0:05:21.500 Her iki x'in önünde artı eksi 1 olduğunu düşünebiliriz 0:05:21.500,0:05:26.260 Yani sonuç olarak bu eksi1x nokta eksi 1x 0:05:26.260,0:05:26.860 İşte şimdi bakalım. 0:05:26.860,0:05:29.940 Bu benim tüm denklemimin basitleştirilmiş veya genişletilmiş hali. 0:05:29.940,0:05:30.710 - 0:05:30.710,0:05:32.890 Bunu gerçekten bir basitleştirme olarak tanımlayamam. 0:05:32.890,0:05:35.410 Fakat bu denklemi buraya tekrar yazmak için bunun bir değişme ve birleşme olduğu gerçeğini kullanabilirsiniz. 0:05:35.410,0:05:38.230 - 0:05:38.230,0:05:45.430 Bu eşittir y nokta y çarpı t'nin karesi 0:05:45.430,0:05:46.680 t sadece bir skalerdir. 0:05:49.270,0:05:50.750 Eksi-- ve aslında bu ikiye eşitir. 0:05:50.750,0:05:52.810 Bu iki şey birbirine eşit. 0:05:52.810,0:05:55.370 Bunlar aynı şeyin farklı düzenlemeleri ve görüyoruz ki nokta çarpımı birleşmeli bir işlemdir. 0:05:55.370,0:05:57.290 - 0:05:57.290,0:06:06.260 Yani bu eşiittir 2 çarpı parantez içinde x nokta y çarpı t. 0:06:06.260,0:06:09.230 Bunu belki de farklı bir renkle yazmalıyım. 0:06:09.230,0:06:13.080 Bu iki terimin çarpımının sonucu buradaki terimdir. 0:06:13.080,0:06:16.570 Ve eğer bunları yeniden düzenlerseniz,sonuç olarak eksi 1 çarpı eksi 1 elde edersiniz. 0:06:16.570,0:06:17.400 - 0:06:17.400,0:06:20.070 Onlar da birbirilerini götürürler bu yüzden sonuç artı olur ve elinizde sadece artı x nokta x kalır. 0:06:20.070,0:06:25.140 - 0:06:25.140,0:06:27.740 Bunu da başka bir renkle yazmalıyım. 0:06:27.740,0:06:29.690 - 0:06:29.690,0:06:32.820 Yani o terimler bu terimle sonuçlanır. 0:06:32.820,0:06:35.620 Tabi ki,bu terim de bu terimle sonuçlanır. 0:06:35.620,0:06:37.880 Ve unutmayın,tüm yaptığım bunu tekrar yazmak ve söylemekti, bakın. 0:06:37.880,0:06:38.490 - 0:06:38.490,0:06:41.990 Bu 0'dan büyük veya eşit olmalı. 0:06:41.990,0:06:44.620 Yani bunu buraya tekrar yazabilirim. 0:06:44.620,0:06:46.070 Bu şey hala aynı. 0:06:46.070,0:06:47.450 Ben sadece onu tekrar yazdım. 0:06:47.450,0:06:52.620 İşte bunun hepsi 0'dan büyük veya 0'a eşit olacak. 0:06:52.620,0:06:54.990 Şimdi denklemimizi toparlamak için yerine koyma yöntemini kullanalım. 0:06:54.990,0:06:56.590 - 0:06:56.590,0:06:59.280 Daha sonra tekrar yerine koymak için geri döneceğiz. 0:06:59.280,0:07:02.480 Bunu a olarak tanımlayalım. 0:07:02.480,0:07:07.860 Bu parçayı da b olarak tanımlayalım 0:07:07.860,0:07:10.380 Yani tüm parça eksi 2x nokta y. 0:07:10.380,0:07:11.780 t'yi orada bırakacağım. 0:07:11.780,0:07:17.020 Ve bunu c olarak tanımlayalım. 0:07:17.020,0:07:17.825 - 0:07:17.825,0:07:20.130 x nokta x c'ye eşittir. 0:07:20.130,0:07:22.060 Şimdi,denklemimiz ne olur? 0:07:22.060,0:07:29.910 Denklemimiz a çarpı t'nin karesi eksi-renklerle ilgili dikkatli olmalıyım- b çarpı t artı c. 0:07:29.910,0:07:35.480 - 0:07:39.180,0:07:41.050 Ve tabi ki,biliyoruz ki bu 0'dan büyük veya 0'a eşit olacak. 0:07:41.050,0:07:41.780 - 0:07:41.780,0:07:43.660 Bu yukarıdakiyle aynı şey,0'dan büyük veya 0' a eşittir. 0:07:43.660,0:07:44.270 - 0:07:44.270,0:07:47.125 t'nin p'sini buraya yazabilirim. 0:07:47.125,0:07:50.890 Şimdi sonuç,buraya koyacağım herhangi bir t için 0'a eşit veya 0'dan büyük olacak. 0:07:50.890,0:07:51.530 - 0:07:51.530,0:07:53.995 Oraya koyduğum herhangi gerçek t için. 0:08:00.640,0:08:05.190 Fonksiyonumuzu b bölü 2a olarak değerlendirmeme izin verin. 0:08:05.190,0:08:07.570 Ve bunu kesinlikle yapabilirim çünkü a neydi? 0:08:07.570,0:08:10.700 Sadece herhangi bir yerde 0'la bölmediğime emin olmalıyım. 0:08:10.700,0:08:13.850 Yani a kendisiyle çarpılan bu vektördü. 0:08:13.850,0:08:16.290 Ve bunun sıfır olmayan bir vektör olduğunu söylemiştik. 0:08:16.290,0:08:18.680 Yani bu onun uzunluğunun karesi. 0:08:18.680,0:08:21.610 Bu sıfır olmayan bir vektör,bu yüzden uzunluğunu aldığınızda bu terimlerin bazıları pozitif olarak sonuçlanır. 0:08:21.610,0:08:23.790 - 0:08:23.790,0:08:25.710 İşte tam buradaki şey sıfır değil. 0:08:25.710,0:08:27.310 Bu sıfır olmayan bir vektör. 0:08:27.310,0:08:30.880 Böylece 2 çarpı kendisiyle olan nokta çarpımı da sıfırdan farklı bir sayı olacaktır. 0:08:30.880,0:08:31.450 - 0:08:31.450,0:08:32.309 Yani bunu yapabiliriz. 0:08:32.309,0:08:34.990 0'la bölme hakkında endişelenmiyoruz,başka her ne olursa olsun. 0:08:34.990,0:08:37.049 Fakat bu neye eşit olacak? 0:08:37.049,0:08:39.200 Bu eşittir--ve tekrar yeşile bağlı kalacağım. 0:08:39.200,0:08:42.110 Sürekli renkleri değiştirmek çok zaman alıyor. 0:08:42.110,0:08:45.230 Bu eşittir a çarpı denklemin karesi. 0:08:45.230,0:08:49.340 Yani bu b'nin karesi bölü dört a karedir. 0:08:49.340,0:08:52.090 Dört a kareyi elde etmek için iki a'nın karesini aldım. 0:08:52.090,0:08:55.270 eksi b çarpı bu. 0:08:55.270,0:08:58.760 Yani b çarpı-bu sadece sıradan bir çarpma işlemi. 0:08:58.760,0:09:01.650 b çarpı b bölü 2a. 0:09:01.650,0:09:03.780 Sadece sıradan bir çapma işlemi yazdık buraya. 0:09:03.780,0:09:05.130 Artı c. 0:09:05.130,0:09:07.870 Ve biliyoruz ki bunun tamamı 0'dan büyük veya sıfıra eşit. 0:09:07.870,0:09:12.080 Şimdi eğer bunu sadeleştirirsek,ne elde ederiz? 0:09:12.080,0:09:15.290 Buradaki a buradaki sayının üssünü götürür ve elimizde sonuç olarak b kare kalır. 0:09:15.290,0:09:18.480 - 0:09:18.480,0:09:26.150 Şuan sonucumuz b kare bölü 4a eksi b kare bölü 2a. 0:09:26.150,0:09:27.650 Bu,oradaki terim. 0:09:27.650,0:09:31.730 Artı c büyük eşittir 0. 0:09:31.730,0:09:33.440 Bunu tekrar yazalım. 0:09:33.440,0:09:36.810 Eğer bu işlemdeki payı ve paydayı 2 ile çarparsam,ne elde ederim? 0:09:36.810,0:09:38.010 - 0:09:38.010,0:09:41.110 Sonuç 2b'nin karesi bölü 4a olur. 0:09:41.110,0:09:43.050 Bunu yapmamın tüm nedeni ortak bir payda elde etmekti. 0:09:43.050,0:09:44.660 - 0:09:44.660,0:09:45.670 Yani sonuç olarak ne elde ettiniz? 0:09:45.670,0:09:50.050 b kare bölü 4a eksi 2b'nin karesi bölü 4a elde ettiniz. 0:09:50.050,0:09:52.600 Bu iki terim kaç ile sadeleşir? 0:09:52.600,0:09:54.930 Kesirdeki paydamız b kare eksi 2b'nin karesi. 0:09:54.930,0:10:01.200 Böylece eksi b kare bölü 4a artı c 0'dan büyük veya 0' eşittir. 0:10:01.200,0:10:02.710 - 0:10:02.710,0:10:06.570 Bu iki terim toplanarak tam buradaki toplama ulaşırlar. 0:10:06.570,0:10:11.490 Şimdi eğer bunu denklemin her iki tarafına da eklersek,sonuç c büyüktür veya eşittir b kare bölü 4a olur. 0:10:11.490,0:10:16.260 - 0:10:16.260,0:10:17.720 Soldaki terim negatifti. 0:10:17.720,0:10:19.570 Eğer bu terimi her iki tarafa da eklersem,sağdaki terim pozitif olur. 0:10:19.570,0:10:21.760 - 0:10:21.760,0:10:24.470 Eşitsizlik gibi görünen bir şeye yaklaşıyoruz,şuan elimizde ne olduğunu görmek için yerine koyma yöntemini uyguladığımız asıl denklemimize geri dönelim. 0:10:24.470,0:10:28.380 - 0:10:28.380,0:10:30.060 - 0:10:30.060,0:10:32.660 Şimdi yerine koyma yöntemini uyguladığım denklemim neredeydi? 0:10:32.660,0:10:35.790 Tam buradaydı. 0:10:35.790,0:10:37.970 Ve aslında,daha çok sadeleştirmek için her iki tarafı da 4a ile çarpalım. 0:10:37.970,0:10:39.220 - 0:10:41.440,0:10:43.020 a yalnızca sıfırdan farklı bir sayı değil aynı zamanda pozitif bir sayı olur. 0:10:43.020,0:10:44.130 - 0:10:44.130,0:10:46.070 Bu onun uzunluğunun karesidir. 0:10:46.070,0:10:49.670 Ve size herhangi bir gerçek vektörün uzunluğunun pozitif olacağını çoktan göstermiştim. 0:10:49.670,0:10:51.170 - 0:10:51.170,0:10:53.460 Ve a'nın pozitif olduğunu göstermek için bu kadar zahmet çekmemin sebebi,eğer her iki tarafını da çarparsam,eşitsizlik işaretini değiştirmek istememem. 0:10:53.460,0:10:55.510 - 0:10:55.510,0:10:57.690 - 0:10:57.690,0:10:59.910 Şimdi ,yerine koymadan önce her iki tarafını da a ile çarpalım. 0:10:59.910,0:11:00.380 - 0:11:00.380,0:11:07.750 Yani sonuç 4ac büyük eşittir b kare olur. 0:11:07.750,0:11:08.160 İşte! 0:11:08.160,0:11:09.890 Unutmayın, çok zahmet çektim. 0:11:09.890,0:11:13.400 Daha demin a'nın kesinlikle pozitif sayı olduğunu çünkü aslında uzunluğun karesi olduğunu söyledim. 0:11:13.400,0:11:16.830 y çarpı y, y'nin uzunluğunun karesine eşittir ve pozitif bir sayıdır. 0:11:16.830,0:11:19.450 - 0:11:19.450,0:11:20.320 Pozitif olmalı. 0:11:20.320,0:11:21.970 Şimdi gerçek vektörlerle ilgileniyoruz. 0:11:21.970,0:11:24.470 Şimdi bunu yerine koymaya geri dönelim. 0:11:24.470,0:11:30.030 Yani 4 çarpı a,4 çarpı y nokta y. 0:11:30.030,0:11:33.420 y nokta y ayrıca--Bunu da buraya yazabilirim. 0:11:33.420,0:11:39.470 y nokta y,y'nin karesinin büyüklüğüyle aynı şeydir. 0:11:39.470,0:11:40.490 Bu y nokta y. 0:11:40.490,0:11:42.760 Bu a. 0:11:42.760,0:11:45.690 y nokta y,Bunu bir önceki videoda göstermiştim. 0:11:45.690,0:11:46.800 Çarpı c. 0:11:46.800,0:11:49.760 c eşittir x nokta x 0:11:49.760,0:11:53.640 x nokta x , vektör x'in karesinin uzunluğuyla aynı şeydir. 0:11:53.640,0:11:56.200 - 0:11:56.200,0:11:57.420 Yani bu c idi. 0:11:57.420,0:12:01.030 Şimdi 4 çarpı a çarpı c ,b kare'den büyük veya ona eşit olur. 0:12:01.030,0:12:03.920 - 0:12:03.920,0:12:06.760 Şimdi b neydi? b denklemin bu kısmıydı. 0:12:06.760,0:12:14.610 Yani b'nin karesi 2 çarpı x nokta y'nin karesine eşit olur. 0:12:14.610,0:12:17.880 Şu ana kadar bu sonuca ulaştık. 0:12:17.880,0:12:19.620 Ve şimdi bunla ne yapabiliriz? 0:12:19.620,0:12:21.200 Ah affedersiniz,buradaki tüm parantezin karesini alıyoruz. 0:12:21.200,0:12:23.240 Bu parantezin hepsi b'ye eşit. 0:12:23.240,0:12:25.220 Peki,şimdi bakalım bunu sadeleştirebilir miyiz? 0:12:25.220,0:12:27.620 Şuan elimizde 0:12:27.620,0:12:34.870 4 çarpı y'nin karesinin uzunluğu çarpı x'in karesinin uzunluğu büyük veya eşittir-- eğer bunun karesini alırsak,4 çarpı x nokta y elde ederiz. 0:12:34.870,0:12:37.660 - 0:12:37.660,0:12:46.270 - 0:12:46.270,0:12:54.620 4 çarpı x nokta y çarpı x nokta y. 0:12:54.620,0:12:56.510 Aslında bunu bu şekilde yazarsak daha iyi olur. 0:12:56.510,0:13:01.090 4 çarpı x nokta y 'nin karesini yazalım 0:13:01.090,0:13:02.950 Şimdi her iki tarafı da 4 ile bölebiliriz. 0:13:02.950,0:13:04.600 Bu eşitsizliğimizi değiştirmeyecektir. 0:13:04.600,0:13:06.250 Bu nedenle sadece birbirini götürür. 0:13:06.250,0:13:08.050 Ve şimdi bu denklemin her iki tarafının da karekökünü alalım. 0:13:08.050,0:13:09.840 - 0:13:09.840,0:13:13.040 Yani denklemin her iki tarafının karekökleri--bunlar pozitif değerler, bu yüzden denklemin bu tarafının karekökü aynı zamanda,kendisinin her bir teriminin kare köküdür. 0:13:13.040,0:13:15.380 - 0:13:15.380,0:13:16.840 - 0:13:16.840,0:13:18.325 Bu sadece bir destekleyici özelliktir. 0:13:18.325,0:13:21.150 Yani,eğer her iki tarafın karekökünü alırsanız,sonuç olarak y'nin uzunluğu çarpı x'in uzunluğu büyük eşittir bunun karekökü olduğunu elde edersiniz. 0:13:21.150,0:13:28.010 - 0:13:28.010,0:13:29.570 - 0:13:29.570,0:13:31.650 Ve biz pozitif karekökünü alacağız. 0:13:31.650,0:13:33.480 Bu denklemin her iki tarafının da pozitif karekökünü alacağız. 0:13:33.480,0:13:34.400 - 0:13:34.400,0:13:36.600 Bu kafamızın eşitsizlik veya ona benzer bir şeyle karışmasına engel olur. 0:13:36.600,0:13:38.260 - 0:13:38.260,0:13:42.640 Yani,pozitif karekök,x çarpı y 'nin mutlak değerine eşit olur. 0:13:42.640,0:13:44.370 - 0:13:44.370,0:13:46.060 Ve bunun mutlak değer olduğunu söylemek konusunda dikkatli olmak istiyorum çünkü buradaki sonucun negatif olması mümkün. 0:13:46.060,0:13:51.060 - 0:13:51.060,0:13:51.755 - 0:13:51.755,0:13:55.520 Fakat, bunun karesini aldığınızda,karekökünü alırken pozitif bir değer olmasına dikkat edersiniz. 0:13:55.520,0:13:56.710 - 0:13:56.710,0:13:57.960 - 0:13:57.960,0:14:02.050 Çünkü bir yandan asıl karekökünü aldığımızda,eşitsizliklerle kafamız karışabilir. 0:14:02.050,0:14:04.070 - 0:14:04.070,0:14:07.130 Pozitif karekökü alıyoruz--yani eğer mutlak değeri alırsanız,sonucun pozitif olmasını sağlarsınız. 0:14:07.130,0:14:08.965 - 0:14:08.965,0:14:10.590 - 0:14:10.590,0:14:12.000 Fakat bizim sonucumuz bu. 0:14:12.000,0:14:15.800 Vektörlerimizin nokta çarpımlarının mutlak değeri,bu iki vektörün uzunluklarının çarpımlarından daha az. 0:14:15.800,0:14:19.510 - 0:14:19.510,0:14:21.586 İşte Cauchy-Shwarz eşitsiziğimizi anladık. 0:14:27.600,0:14:36.630 Şimdi söylediğim son şey,bakın eğer x,y'nin herhangi bir skaler çarpımına eşitse ne olur? 0:14:36.630,0:14:39.640 - 0:14:39.640,0:14:41.385 Öyle bir durumda,mutlak değer nedir? 0:14:41.385,0:14:45.930 x nokta y'nin mutlak değeri? 0:14:45.930,0:14:48.520 O eşittir--Neye eşittir? 0:14:48.520,0:14:51.080 Eğer yerine koyma yöntemini uygularsak,sonuç c çarpı y'nin mutlak değerine eşit olur. 0:14:51.080,0:14:52.850 - 0:14:52.850,0:14:59.160 x nokta y 'nin neye eşit olduğunu Birleşme Özelliği'nden bulduk. 0:14:59.160,0:15:00.730 - 0:15:00.730,0:15:04.800 x nokta y c çarpı--mutlak değerimizden ve her şeyin pozitif değerde olduğundan emin olmak istiyoruz. 0:15:04.800,0:15:07.910 - 0:15:07.910,0:15:10.970 y nokta y 0:15:10.970,0:15:22.320 y nokta y , c çarpı y'nin büyüklüğüne eşittir.--y'nin karesinin uzunluğu. 0:15:22.320,0:15:24.210 - 0:15:24.210,0:15:31.260 Bu c çarpı--veya skaler c'nin mutlak değeri çarpı y'nin uzunluğuna eşittir. 0:15:31.260,0:15:34.986 - 0:15:40.000,0:15:44.290 Peki burada,bunu tekrar yazabilirim. 0:15:44.290,0:15:46.610 Demek istediğim,eğer inanmazsanız,bunu kendinize kanıtlayabilirsiniz.--c'yi büyüklüğün içine koyabilirdik,bu sizin bunu kanıtlamanız için iyi bir egzersiz olurdu. 0:15:46.610,0:15:49.790 - 0:15:49.790,0:15:51.630 - 0:15:51.630,0:15:52.300 Fakat bunun anlaşılması oldukça kolay. 0:15:52.300,0:15:54.180 Sadece uzunluğun tanımını yapıyorsunuz. 0:15:54.180,0:15:56.050 Ve onu c ile çarpıyorsunuz. 0:15:56.050,0:16:01.530 Bu cy çarpı--cy'nin uzunluğuna,cy'nin uzunluğu çarpı y'nin uzunluğu diyelim. 0:16:01.530,0:16:06.600 - 0:16:06.600,0:16:10.620 - 0:16:10.620,0:16:11.580 - 0:16:11.580,0:16:13.920 Şimdi bu x'tir. 0:16:13.920,0:16:19.370 Bu nedenle,bu x'in uzunluğu çarpı y'nin uzunluğuna eşittir. 0:16:19.370,0:16:21.360 Yani,eğer içlerinden biri diğerinin skaler çarpımı olursa,eşitliğin sağlandığı Cauchy-Shwarz eşitsizliğinin ikinci bölümünü gösterdim. 0:16:21.360,0:16:24.650 Cauchy-Shwarz eşitsizliği,eğer içlerinden biri diğerinin skaler çarpımı olursa bu diğerine eşittir. 0:16:24.650,0:16:28.510 - 0:16:28.510,0:16:29.540 Eğer çözdüğümüz adımların bazılarında sorun yaşadıysanız,bunu kanıtlamak iyi bir egzersiz olur. 0:16:29.540,0:16:31.600 - 0:16:31.600,0:16:32.370 - 0:16:32.370,0:16:35.720 Örneğin, c'nin mutlak değeri çarpı vektör y'nin uzunluğu,c çarpı y'nin uzunluğuyla aynı şeydir. 0:16:35.720,0:16:39.270 - 0:16:39.270,0:16:41.890 - 0:16:41.890,0:16:43.790 Her neyse,umarım bunu yararlı bulmuşsunuzdur. 0:16:43.790,0:16:47.180 Cauchy-Shwarz eşitsizliğini,doğrusal cebirde başka sonuçları kanıtlarken çok kullanacağız. 0:16:47.180,0:16:49.580 - 0:16:49.580,0:16:51.250 Ve gelecek videoda,sizlere bunun neden nokta çarpımıyla alakalı olduğuyla ilgili ön bilgi vereceğim. 0:16:51.250,0:16:53.960 - 0:16:53.960,0:16:55.500 -