-
Нека намерим неопределения
интеграл
-
от квадратен корен от 7 по х
плюс 9, dx.
-
Първият ми въпрос към теб е:
-
дали тук е подходящо да
интегрираме със заместване?
-
Когато разглеждаме израза, може би
естественото нещо
-
е да положим (заместим)
u да е равно на 7 по х плюс 9.
-
Виждаме ли обаче производната
му някъде тук?
-
Нека да видим.
-
Ако положим u да е равно
на 7 по х плюс 9,
-
на какво ще бъде равна
производната на u спрямо х?
-
Производната на u спрямо х
-
ще бъде равна на 7.
-
Производната на 7 по х
е равна на 7.
-
Производната на 9 е равна на 0.
-
Виждаме ли 7 да се намира
някъде тук?
-
Не, не виждаме.
-
Какво може да направим обаче,
за да получим 7 под интеграла,
-
но без да променяме стойността
на интеграла?
-
Има едно хубаво нещо, което сме
виждали множество пъти.
-
При изчисляване на интеграли,
-
скаларните величини (числа)
могат да бъдат
-
внасяни или изнасяни от интеграла.
-
Нека само да си припомним.
Ако имам интеграл
-
от някакво число а, умножено
по f от x, dx,
-
това е равно на същото като а,
умножено по интеграл от f от x, dx.
-
Интеграл от число, умножено
по функция,
-
е равно на числото, умножено
по интеграл от функцията.
-
Нека да отделя това ето така.
-
Като вземем това предвид,
можем ли да умножим и разделим
-
на нещо този интеграл, така че под
интеграла да се появи 7?
-
Може да умножим
и разделим на 7.
-
Нека си представим следното.
-
Нека запишем по друг начин
първоначалния интеграл.
-
Ще нарисувам една стрелка,
-
за да пиша направо отдолу.
-
Може да запишем
първоначалния интеграл
-
като равен на интеграл от 1/7,
умножено по 7,
-
умножено по квадратен корен
от 7 по х плюс 9, dx.
-
Може да изнесем числото 1/7
-
извън интеграла.
-
Не е задължително, но сега
може да го запишем като
-
1/7, умножено по интеграл от 7
-
по квадратен корен от
7 по х плюс 9, dx.
-
Сега може да положим (заместим)
7 по х плюс 9 да е равно на u.
-
Имаме ли производната на този
израз под интеграла?
-
Разбира се!
-
Ето тази седмица тук.
-
Знаем, че du – ако искаме да го
запишем с диференциали –
-
е равно на 7 по dx.
-
И така, du е равно на 7 по dx.
-
Тази част ето тук
е равна на du.
-
Ако искаме да покажем
къде се намира u,
-
то това просто ще бъде
изразът 7 по х плюс 9.
-
Това е нашето u.
-
Нека запишем този неопределен
интеграл, изразен чрез u.
-
Ще бъде равно на 1/7,
умножено по интеграл...
-
ще запиша седмицата последна...
-
по интеграл от квадратен корен
от u, du, което е 7 по x, dx.
-
Може да запишем този интеграл
като u на степен 1/2.
-
Така ще е по-лесно да
използваме
-
правилото за намиране
на примитивната функция.
-
Ще бъде равно на 1/7,
умножено по интеграл от u
-
на степен 1/2, du.
-
Нека да го обясня.
-
Това u ще го запиша с бяло.
-
Нека да са еднакъв цвят.
-
Това du също, защото е равно
на това du тук.
-
Коя е примитивната функция
на u на степен 1/2?
-
Увеличаваме степента
на u с единица.
-
Тогава този интеграл е равен
на следното.
-
Нека не забравяме, че има 1/7
изнесено отпред.
-
Получава се 1/7, умножено... ако
увелича степента с 1
-
ще се получи u на степен 3/2, което
е равно на 1 плюс 1/2...
-
по u на степен 3/2.
-
u на степен 3/2.
-
Сега следва да умножим
този нов израз
-
по реципрочната стойност на 3/2,
която е 2/3.
-
Насърчавам те да провериш,
че производната
-
на 2/3 по u на степен 3/2 наистина
е равна на u на степен 1/2.
-
Това е, което се получава.
-
Тъй като умножаваме по 1/7
-
целия този интеграл,
-
може да прибавим и една
константа C ето тук.
-
Възможно е тук
да има константа.
-
Може и да разкрием скобите и да
умножим с числото 1/7.
-
Получава се 1/7 по 2/3 – което
е равно на 2/21 – по u на степен 3/2.
-
А 1/7, умножено по произволна
константа,
-
отново ще бъде някаква
произволна константа.
-
Мога да я запиша и ето така.
-
Тази да означа с C1, а тази с C2,
-
но наистина това е просто
някаква константа.
-
И сме готови!
-
О, всъщност не сме готови.
-
Все още имаме целия този израз
като функция на u.
-
Нека да заместим
положеното за u.
-
Целият този израз е равен на
2/21 по u на степен 3/2.
-
Знаем на какво е равно u.
-
u е равно на 7х плюс 9.
-
Нека да използвам друг цвят,
за да се отличава.
-
Получава се 2/21, умножено по
-
7х плюс 9,
на степен 3/2, плюс C.
-
И вече сме готови!
-
Успяхме да решим този страховито
изглеждащ интеграл,
-
и въпреки че не беше напълно
очевидно в началото
-
все пак да открием и приложим
интегриране със заместване.
Khan Academy
