0:00:00.580,0:00:02.480
Нека намерим неопределения[br]интеграл

0:00:02.480,0:00:07.990
от квадратен корен от 7 по х[br]плюс 9, dx.

0:00:07.990,0:00:10.290
Първият ми въпрос към теб е:

0:00:10.290,0:00:14.060
дали тук е подходящо да[br]интегрираме със заместване?

0:00:14.600,0:00:17.140
Когато разглеждаме израза, може би[br]естественото нещо

0:00:17.140,0:00:20.880
е да положим (заместим)[br]u да е равно на 7 по х плюс 9.

0:00:20.880,0:00:24.204
Виждаме ли обаче производната[br]му някъде тук?

0:00:24.204,0:00:25.260
Нека да видим.

0:00:25.260,0:00:30.120
Ако положим u да е равно[br]на 7 по х плюс 9,

0:00:30.120,0:00:33.410
на какво ще бъде равна[br]производната на u спрямо х?

0:00:33.410,0:00:35.310
Производната на u спрямо х

0:00:35.310,0:00:37.080
ще бъде равна на 7.

0:00:37.080,0:00:38.470
Производната на 7 по х[br]е равна на 7.

0:00:38.470,0:00:40.650
Производната на 9 е равна на 0.

0:00:40.650,0:00:44.190
Виждаме ли 7 да се намира[br]някъде тук?

0:00:44.190,0:00:45.580
Не, не виждаме.

0:00:45.580,0:00:49.340
Какво може да направим обаче,[br]за да получим 7 под интеграла,

0:00:49.340,0:00:53.280
но без да променяме стойността[br]на интеграла?

0:00:53.280,0:00:55.956
Има едно хубаво нещо, което сме[br]виждали множество пъти.

0:00:55.956,0:00:57.330
При изчисляване на интеграли,

0:00:57.330,0:00:59.700
скаларните величини (числа)[br]могат да бъдат

0:00:59.700,0:01:01.560
внасяни или изнасяни от интеграла.

0:01:01.560,0:01:05.700
Нека само да си припомним.[br]Ако имам интеграл

0:01:05.700,0:01:11.680
от някакво число а, умножено[br]по f от x, dx,

0:01:11.690,0:01:17.420
това е равно на същото като а,[br]умножено по интеграл от f от x, dx.

0:01:17.420,0:01:19.500
Интеграл от число, умножено[br]по функция,

0:01:19.500,0:01:22.650
е равно на числото, умножено[br]по интеграл от функцията.

0:01:22.650,0:01:25.280
Нека да отделя това ето така.

0:01:25.280,0:01:28.630
Като вземем това предвид,[br]можем ли да умножим и разделим

0:01:28.630,0:01:31.710
на нещо този интеграл, така че под[br]интеграла да се появи 7?

0:01:31.710,0:01:34.330
Може да умножим[br]и разделим на 7.

0:01:34.330,0:01:35.830
Нека си представим следното.

0:01:35.830,0:01:38.580
Нека запишем по друг начин[br]първоначалния интеграл.

0:01:38.580,0:01:40.960
Ще нарисувам една стрелка,

0:01:40.960,0:01:42.420
за да пиша направо отдолу.

0:01:42.420,0:01:44.100
Може да запишем[br]първоначалния интеграл

0:01:44.100,0:01:50.540
като равен на интеграл от 1/7,[br]умножено по 7,

0:01:50.540,0:01:57.440
умножено по квадратен корен[br]от 7 по х плюс 9, dx.

0:01:58.060,0:01:59.780
Може да изнесем числото 1/7

0:01:59.780,0:02:01.140
извън интеграла.

0:02:01.140,0:02:03.080
Не е задължително, но сега[br]може да го запишем като

0:02:03.080,0:02:06.660
1/7, умножено по интеграл от 7

0:02:06.660,0:02:12.120
по квадратен корен от[br]7 по х плюс 9, dx.

0:02:12.120,0:02:15.220
Сега може да положим (заместим)[br]7 по х плюс 9 да е равно на u.

0:02:15.220,0:02:16.980
Имаме ли производната на този[br]израз под интеграла?

0:02:16.980,0:02:17.840
Разбира се!

0:02:17.840,0:02:19.860
Ето тази седмица тук.

0:02:19.860,0:02:23.320
Знаем, че du – ако искаме да го[br]запишем с диференциали –

0:02:23.320,0:02:27.060
е равно на 7 по dx.

0:02:27.060,0:02:31.460
И така, du е равно на 7 по dx.

0:02:31.460,0:02:35.320
Тази част ето тук[br]е равна на du.

0:02:35.320,0:02:37.320
Ако искаме да покажем[br]къде се намира u,

0:02:37.320,0:02:40.050
то това просто ще бъде[br]изразът 7 по х плюс 9.

0:02:40.050,0:02:41.520
Това е нашето u.

0:02:41.520,0:02:45.272
Нека запишем този неопределен[br]интеграл, изразен чрез u.

0:02:45.272,0:02:53.120
Ще бъде равно на 1/7,[br]умножено по интеграл...

0:02:53.120,0:02:56.200
ще запиша седмицата последна...

0:02:56.200,0:03:05.540
по интеграл от квадратен корен[br]от u, du, което е 7 по x, dx.

0:03:06.440,0:03:10.100
Може да запишем този интеграл[br]като u на степен 1/2.

0:03:10.110,0:03:12.320
Така ще е по-лесно да[br]използваме

0:03:12.320,0:03:14.490
правилото за намиране[br]на примитивната функция.

0:03:14.490,0:03:20.940
Ще бъде равно на 1/7,[br]умножено по интеграл от u

0:03:20.940,0:03:23.751
на степен 1/2, du.

0:03:23.751,0:03:25.000
Нека да го обясня.

0:03:25.000,0:03:26.680
Това u ще го запиша с бяло.

0:03:26.680,0:03:27.960
Нека да са еднакъв цвят.

0:03:27.960,0:03:31.100
Това du също, защото е равно[br]на това du тук.

0:03:31.100,0:03:35.790
Коя е примитивната функция[br]на u на степен 1/2?

0:03:35.790,0:03:39.050
Увеличаваме степента[br]на u с единица.

0:03:39.050,0:03:41.010
Тогава този интеграл е равен[br]на следното.

0:03:41.010,0:03:43.100
Нека не забравяме, че има 1/7[br]изнесено отпред.

0:03:43.100,0:03:49.640
Получава се 1/7, умножено... ако[br]увелича степента с 1

0:03:49.640,0:03:55.520
ще се получи u на степен 3/2, което[br]е равно на 1 плюс 1/2...

0:03:55.520,0:03:58.140
по u на степен 3/2.

0:03:58.820,0:04:01.020
u на степен 3/2.

0:04:01.030,0:04:04.140
Сега следва да умножим[br]този нов израз

0:04:04.140,0:04:07.980
по реципрочната стойност на 3/2,[br]която е 2/3.

0:04:07.980,0:04:10.400
Насърчавам те да провериш,[br]че производната

0:04:10.400,0:04:14.620
на 2/3 по u на степен 3/2 наистина[br]е равна на u на степен 1/2.

0:04:14.620,0:04:16.020
Това е, което се получава.

0:04:16.020,0:04:17.940
Тъй като умножаваме по 1/7

0:04:17.940,0:04:19.440
целия този интеграл,

0:04:19.440,0:04:21.560
може да прибавим и една[br]константа C ето тук.

0:04:21.560,0:04:23.430
Възможно е тук[br]да има константа.

0:04:23.430,0:04:25.990
Може и да разкрием скобите и да[br]умножим с числото 1/7.

0:04:25.990,0:04:36.170
Получава се 1/7 по 2/3 – което[br]е равно на 2/21 – по u на степен 3/2.

0:04:36.170,0:04:38.750
А 1/7, умножено по произволна[br]константа,

0:04:38.750,0:04:40.210
отново ще бъде някаква[br]произволна константа.

0:04:40.210,0:04:41.959
Мога да я запиша и ето така.

0:04:41.959,0:04:44.510
Тази да означа с C1, а тази с C2,

0:04:44.510,0:04:47.140
но наистина това е просто[br]някаква константа.

0:04:47.140,0:04:47.850
И сме готови!

0:04:47.850,0:04:49.183
О, всъщност не сме готови.

0:04:49.183,0:04:51.520
Все още имаме целия този израз[br]като функция на u.

0:04:51.520,0:04:54.290
Нека да заместим[br]положеното за u.

0:04:54.290,0:05:01.290
Целият този израз е равен на[br]2/21 по u на степен 3/2.

0:05:01.290,0:05:03.710
Знаем на какво е равно u.

0:05:03.710,0:05:06.060
u е равно на 7х плюс 9.

0:05:06.060,0:05:08.720
Нека да използвам друг цвят,[br]за да се отличава.

0:05:08.720,0:05:11.020
Получава се 2/21, умножено по

0:05:11.020,0:05:18.940
7х плюс 9,[br]на степен 3/2, плюс C.

0:05:21.860,0:05:23.300
И вече сме готови!

0:05:23.300,0:05:25.500
Успяхме да решим този страховито[br]изглеждащ интеграл,

0:05:25.500,0:05:29.080
и въпреки че не беше напълно[br]очевидно в началото

0:05:29.080,0:05:32.080
все пак да открием и приложим[br]интегриране със заместване.