WEBVTT

00:00:00.580 --> 00:00:02.480
Нека намерим неопределения
интеграл

00:00:02.480 --> 00:00:07.990
от квадратен корен от 7 по х
плюс 9, dx.

00:00:07.990 --> 00:00:10.290
Първият ми въпрос към теб е:

00:00:10.290 --> 00:00:14.060
дали тук е подходящо да
интегрираме със заместване?

00:00:14.600 --> 00:00:17.140
Когато разглеждаме израза, може би
естественото нещо

00:00:17.140 --> 00:00:20.880
е да положим (заместим)
u да е равно на 7 по х плюс 9.

00:00:20.880 --> 00:00:24.204
Виждаме ли обаче производната
му някъде тук?

00:00:24.204 --> 00:00:25.260
Нека да видим.

00:00:25.260 --> 00:00:30.120
Ако положим u да е равно
на 7 по х плюс 9,

00:00:30.120 --> 00:00:33.410
на какво ще бъде равна
производната на u спрямо х?

00:00:33.410 --> 00:00:35.310
Производната на u спрямо х

00:00:35.310 --> 00:00:37.080
ще бъде равна на 7.

00:00:37.080 --> 00:00:38.470
Производната на 7 по х
е равна на 7.

00:00:38.470 --> 00:00:40.650
Производната на 9 е равна на 0.

00:00:40.650 --> 00:00:44.190
Виждаме ли 7 да се намира
някъде тук?

00:00:44.190 --> 00:00:45.580
Не, не виждаме.

00:00:45.580 --> 00:00:49.340
Какво може да направим обаче,
за да получим 7 под интеграла,

00:00:49.340 --> 00:00:53.280
но без да променяме стойността
на интеграла?

00:00:53.280 --> 00:00:55.956
Има едно хубаво нещо, което сме
виждали множество пъти.

00:00:55.956 --> 00:00:57.330
При изчисляване на интеграли,

00:00:57.330 --> 00:00:59.700
скаларните величини (числа)
могат да бъдат

00:00:59.700 --> 00:01:01.560
внасяни или изнасяни от интеграла.

00:01:01.560 --> 00:01:05.700
Нека само да си припомним.
Ако имам интеграл

00:01:05.700 --> 00:01:11.680
от някакво число а, умножено
по f от x, dx,

00:01:11.690 --> 00:01:17.420
това е равно на същото като а,
умножено по интеграл от f от x, dx.

00:01:17.420 --> 00:01:19.500
Интеграл от число, умножено
по функция,

00:01:19.500 --> 00:01:22.650
е равно на числото, умножено
по интеграл от функцията.

00:01:22.650 --> 00:01:25.280
Нека да отделя това ето така.

00:01:25.280 --> 00:01:28.630
Като вземем това предвид,
можем ли да умножим и разделим

00:01:28.630 --> 00:01:31.710
на нещо този интеграл, така че под
интеграла да се появи 7?

00:01:31.710 --> 00:01:34.330
Може да умножим
и разделим на 7.

00:01:34.330 --> 00:01:35.830
Нека си представим следното.

00:01:35.830 --> 00:01:38.580
Нека запишем по друг начин
първоначалния интеграл.

00:01:38.580 --> 00:01:40.960
Ще нарисувам една стрелка,

00:01:40.960 --> 00:01:42.420
за да пиша направо отдолу.

00:01:42.420 --> 00:01:44.100
Може да запишем
първоначалния интеграл

00:01:44.100 --> 00:01:50.540
като равен на интеграл от 1/7,
умножено по 7,

00:01:50.540 --> 00:01:57.440
умножено по квадратен корен
от 7 по х плюс 9, dx.

00:01:58.060 --> 00:01:59.780
Може да изнесем числото 1/7

00:01:59.780 --> 00:02:01.140
извън интеграла.

00:02:01.140 --> 00:02:03.080
Не е задължително, но сега
може да го запишем като

00:02:03.080 --> 00:02:06.660
1/7, умножено по интеграл от 7

00:02:06.660 --> 00:02:12.120
по квадратен корен от
7 по х плюс 9, dx.

00:02:12.120 --> 00:02:15.220
Сега може да положим (заместим)
7 по х плюс 9 да е равно на u.

00:02:15.220 --> 00:02:16.980
Имаме ли производната на този
израз под интеграла?

00:02:16.980 --> 00:02:17.840
Разбира се!

00:02:17.840 --> 00:02:19.860
Ето тази седмица тук.

00:02:19.860 --> 00:02:23.320
Знаем, че du – ако искаме да го
запишем с диференциали –

00:02:23.320 --> 00:02:27.060
е равно на 7 по dx.

00:02:27.060 --> 00:02:31.460
И така, du е равно на 7 по dx.

00:02:31.460 --> 00:02:35.320
Тази част ето тук
е равна на du.

00:02:35.320 --> 00:02:37.320
Ако искаме да покажем
къде се намира u,

00:02:37.320 --> 00:02:40.050
то това просто ще бъде
изразът 7 по х плюс 9.

00:02:40.050 --> 00:02:41.520
Това е нашето u.

00:02:41.520 --> 00:02:45.272
Нека запишем този неопределен
интеграл, изразен чрез u.

00:02:45.272 --> 00:02:53.120
Ще бъде равно на 1/7,
умножено по интеграл...

00:02:53.120 --> 00:02:56.200
ще запиша седмицата последна...

00:02:56.200 --> 00:03:05.540
по интеграл от квадратен корен
от u, du, което е 7 по x, dx.

00:03:06.440 --> 00:03:10.100
Може да запишем този интеграл
като u на степен 1/2.

00:03:10.110 --> 00:03:12.320
Така ще е по-лесно да
използваме

00:03:12.320 --> 00:03:14.490
правилото за намиране
на примитивната функция.

00:03:14.490 --> 00:03:20.940
Ще бъде равно на 1/7,
умножено по интеграл от u

00:03:20.940 --> 00:03:23.751
на степен 1/2, du.

00:03:23.751 --> 00:03:25.000
Нека да го обясня.

00:03:25.000 --> 00:03:26.680
Това u ще го запиша с бяло.

00:03:26.680 --> 00:03:27.960
Нека да са еднакъв цвят.

00:03:27.960 --> 00:03:31.100
Това du също, защото е равно
на това du тук.

00:03:31.100 --> 00:03:35.790
Коя е примитивната функция
на u на степен 1/2?

00:03:35.790 --> 00:03:39.050
Увеличаваме степента
на u с единица.

00:03:39.050 --> 00:03:41.010
Тогава този интеграл е равен
на следното.

00:03:41.010 --> 00:03:43.100
Нека не забравяме, че има 1/7
изнесено отпред.

00:03:43.100 --> 00:03:49.640
Получава се 1/7, умножено... ако
увелича степента с 1

00:03:49.640 --> 00:03:55.520
ще се получи u на степен 3/2, което
е равно на 1 плюс 1/2...

00:03:55.520 --> 00:03:58.140
по u на степен 3/2.

00:03:58.820 --> 00:04:01.020
u на степен 3/2.

00:04:01.030 --> 00:04:04.140
Сега следва да умножим
този нов израз

00:04:04.140 --> 00:04:07.980
по реципрочната стойност на 3/2,
която е 2/3.

00:04:07.980 --> 00:04:10.400
Насърчавам те да провериш,
че производната

00:04:10.400 --> 00:04:14.620
на 2/3 по u на степен 3/2 наистина
е равна на u на степен 1/2.

00:04:14.620 --> 00:04:16.020
Това е, което се получава.

00:04:16.020 --> 00:04:17.940
Тъй като умножаваме по 1/7

00:04:17.940 --> 00:04:19.440
целия този интеграл,

00:04:19.440 --> 00:04:21.560
може да прибавим и една
константа C ето тук.

00:04:21.560 --> 00:04:23.430
Възможно е тук
да има константа.

00:04:23.430 --> 00:04:25.990
Може и да разкрием скобите и да
умножим с числото 1/7.

00:04:25.990 --> 00:04:36.170
Получава се 1/7 по 2/3 – което
е равно на 2/21 – по u на степен 3/2.

00:04:36.170 --> 00:04:38.750
А 1/7, умножено по произволна
константа,

00:04:38.750 --> 00:04:40.210
отново ще бъде някаква
произволна константа.

00:04:40.210 --> 00:04:41.959
Мога да я запиша и ето така.

00:04:41.959 --> 00:04:44.510
Тази да означа с C1, а тази с C2,

00:04:44.510 --> 00:04:47.140
но наистина това е просто
някаква константа.

00:04:47.140 --> 00:04:47.850
И сме готови!

00:04:47.850 --> 00:04:49.183
О, всъщност не сме готови.

00:04:49.183 --> 00:04:51.520
Все още имаме целия този израз
като функция на u.

00:04:51.520 --> 00:04:54.290
Нека да заместим
положеното за u.

00:04:54.290 --> 00:05:01.290
Целият този израз е равен на
2/21 по u на степен 3/2.

00:05:01.290 --> 00:05:03.710
Знаем на какво е равно u.

00:05:03.710 --> 00:05:06.060
u е равно на 7х плюс 9.

00:05:06.060 --> 00:05:08.720
Нека да използвам друг цвят,
за да се отличава.

00:05:08.720 --> 00:05:11.020
Получава се 2/21, умножено по

00:05:11.020 --> 00:05:18.940
7х плюс 9,
на степен 3/2, плюс C.

00:05:21.860 --> 00:05:23.300
И вече сме готови!

00:05:23.300 --> 00:05:25.500
Успяхме да решим този страховито
изглеждащ интеграл,

00:05:25.500 --> 00:05:29.080
и въпреки че не беше напълно
очевидно в началото

00:05:29.080 --> 00:05:32.080
все пак да открием и приложим
интегриране със заместване.