证明：泰勒多项式近似的误差或余项的界定

我们在泰勒多项式近似中使用的项数越多，我们就越接近函数。但到底有多接近呢？在这个视频中，我们证明了泰勒多项式的拉格朗日误差界限。由萨尔·汗制作。

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在上一个视频中，我们开始探索误差函数的概念。

不要与期望值混淆，

因为它确实反映了相同的符号。

但这里的E代表误差。

我们有时也会

称其为余项函数。

我们看到它实际上只是

函数与我们对函数的近似之间的差异。

例如，这里，这个距离，就是我们的误差。

这是我们在x等于b时的误差。

我们真正关心的是它的绝对值。

因为在某些点上，f(x)可能大于多项式。

有时多项式可能大于f(x)。

我们关心的是它们之间的绝对距离。

所以我想在这个视频中做的是

尝试限制我们在某个b点的误差。

尝试限制我们的误差。

假设它小于或等于某个常数值。

尝试在b点限制它，假设b大于a。

我们假设b大于a。

我们看到了一些诱人的结果，

似乎我们可能能够在上一个视频中限制它。

我们看到误差函数的n+1阶导数

等于函数的n+1阶导数。

或者它们的绝对值也会相等。

所以如果我们能在某个区间上

限制函数的n+1阶导数，一个对我们重要的区间。

一个可能包含b的区间。

那么，我们至少可以限制误差函数的n+1阶导数。

然后，也许我们可以做一些积分

来限制某个值b处的误差。

所以，让我们看看我们能否做到这一点。

好吧，让我们假设我们在一个现实中，

我们确实知道f(x)的n+1阶导数。

假设我们知道这一点。

我们用一种我还没有用过的颜色来做。

好吧，我会用白色来做。

所以假设那边的东西看起来像这样。

那就是f的n+1阶导数。

n+1阶导数。

我只关心这个区间。

谁在乎它后来会怎样，我只需要在这个区间内限制它，

因为最终我只想在b点平衡它。

所以假设这个的绝对值。

假设我们知道。

让我在这里写下来，假设我们知道。

我们知道n+1阶导数的绝对值，n+1阶导数。

我很抱歉，我实际上在大写N

和小写n之间切换了，我在上一个视频中也这样做了。

我不应该这样做，但现在你知道

我这样做了，希望这不会让你感到困惑。

n+1阶，所以假设我们知道

f(x)的n+1阶导数的绝对值，假设它是有界的。

假设它小于或等于某个m

在这个区间内，因为我们只关心这个区间。

它可能在一般情况下不是有界的，

但我们只关心它在这个区间内取某个最大值。

所以在这个区间内，我可以这样写，

在区间x是a和b之间的成员，所以这包括它们两个。

它是一个闭区间，x可以是a，

x可以是b，或者x可以是介于两者之间的任何值。

我们可以一般地说，

这个导数会有某个最大值。

所以这是它的绝对值，最大值，最大值，m代表最大值。

我们知道它会有一个最大值，如果这个东西是连续的。

所以我们再次假设它是连续的，

它在这个区间内有某个最大值。

好吧，这个东西，这个东西在这里，我们知道

它与误差函数的n+1阶导数是一样的。

所以我们知道，所以这意味着，这意味着，

这意味着，换一种颜色，让我用蓝色，或者绿色。

这意味着误差函数的n+1阶导数。

它的绝对值，因为它们是

一样的，也被m限制。

所以这是一个有趣的结果，但它离那里还差得远。

它可能看起来相似，但这是误差函数的n+1阶导数。

我们需要考虑如何在未来得到一个m。

我们假设我们以某种方式知道它，也许

我们会做一些例题来解决这个问题。

但这是n+1阶导数。

我们限制了它的绝对值，但我们

真正想要限制的是实际的误差函数。

这个O是导数。你可以说，实际的函数本身。

我们可以尝试对两边进行积分，

看看我们是否最终能得到e，得到e(x)。

为了得到我们的误差函数或余项函数，让我们这样做。

让我们对两边进行积分。

现在左边的积分有点有趣。

我们对绝对值进行积分。

如果我们对积分的绝对值进行积分会更容易。

幸运的是，它的设置方式。

所以让我在这里写一点旁注。

我们通常知道，如果我取，这也是你需要思考的。

如果我取，所以如果我有两个选项，如果我有

两个选项，这个选项和我不知道，它们现在看起来是一样的。

我知道它们现在看起来是一样的。

所以在这里，我将有绝对值的积分，

在这里我将有积分的绝对值。

哪一个会更大？

好吧，你只需要考虑一下情况。

所以，如果f(x)在你进行积分的区间内

始终为正，那么它们将是一样的。

你会得到正值。

取正值的绝对值。

这没有区别。

重要的是如果f(x)为负。

如果f(x)，如果f(x)

一直为负，所以如果这是我们的x轴，这是我们的y轴。

如果f(x)是，我们看到如果它一直为正，

你取正值的绝对值，正值的绝对值。

这没有区别。

这两件事将是相等的。

如果f(x)一直为负，那么你会得到，

那么这个积分将评估为负值。

但随后，你会取它的绝对值。

然后在这里，你只是，这个积分将

评估为正值，它仍然会是一样的。

有趣的情况是当f(x)

既为正又为负时，所以你可以想象这样的情况。

如果f(x)看起来像这样，那么

这里的积分，你会得到正值。

这将是正值，然后这里将是负值。

所以它们会相互抵消。

所以这将是一个

比你取绝对值的积分更小的值。

所以积分，f的绝对值看起来像这样。

所以所有的区域将是，

如果你看积分，

如果你看这是定积分。

所有的区域，所有的区域将是正值。

所以当你这样做时，

当你取绝对值的积分时，你会得到一个更大的值。

特别是当f(x)在区间内

既为正又为负时。

然后你会先取积分，然后取绝对值。

因为再一次，如果你先取积分，对于这样的东西，

你会得到一个较低的值，因为这些东西会相互抵消。

会与这里的这些东西相互抵消，

然后你会取一个较低的绝对值，一个较低的幅度数值。

所以一般来说，

积分，抱歉，积分的绝对值

将小于或等于绝对值的积分。

所以我们可以说，这里是

绝对值的积分，它将大于或等于。

我们在这里写的只是这个。

这将大于或等于，

我想你会在一秒钟内明白我为什么这样做。

大于或等于绝对值，

积分的绝对值，n+1阶导数的积分。

n+1阶导数的积分，x，dx。

这之所以有用，是因为

我们仍然可以保持这个不等式，这小于或等于这个。

但现在，这是一个非常简单的积分来评估。

n+1阶导数的反导数

将是n阶导数。

所以这里这个。

将只是误差函数的n阶导数的绝对值。

误差函数的n阶导数的绝对值。

我说的是期望值吗？

我不应该。

看，它甚至让我感到困惑。

这是误差函数。

我应该用r，r代表余项。

但这都是误差。

这个视频中没有关于概率或期望值的内容。

这是。

E代表误差。

所以无论如何，这将是我们的误差函数的

n阶导数，它将小于或等于这个。

它将小于或等于M的反导数。

好吧，那是一个常数。

所以这将是mx，mx。

既然我们只是取不定积分。

我们不能忘记这里有一个常数的想法。

一般来说，当你试图创建一个上界时，

你希望上界尽可能低。所

以我们想要最小化，我们想要最小化这个常数是什么。

幸运的是，我们确实知道

这个函数在某个点上的值。

我们知道误差函数在a点的n阶导数等于0。

我想我们在这里写了。

a点的n阶导数等于0。

这是因为函数和

近似在a点的n阶导数将是完全相同的。

所以，如果我们在a点评估这个不等式的两边，

我会在这里做，我们知道绝对值。

我们知道a点的n阶导数的绝对值，我们知道

这个东西将等于0的绝对值。

即0。

这需要小于或等于你在a点评估这个东西时，

小于或等于ma加c。

所以你可以，如果你看

这个不等式的部分，从两边减去ma。

你得到负ma小于或等于c。

所以我们的常数在这里，基于我们

在上一个视频中得到的那个小条件。

我们的常数将大于或等于负ma。

所以如果我们想要最小化常数，如果我们想要得到

尽可能低的上界，我们会选择c等于负Ma。

这是满足我们知道的这些约束条件的

最低可能的c。

所以，我们实际上会选择c为负Ma。

然后我们可以将整个重写为

误差函数的n阶导数的绝对值。

误差函数的n阶导数。

不是期望值。

我有一种奇怪的怀疑，我可能说了期望值。

但这是误差函数。

n阶导数。

误差函数的n阶导数的绝对值

小于或等于M乘以x减去a。

再一次，所有的约束条件都成立。

这是对于x作为区间的一部分。

a和b之间的闭区间。

但看起来我们正在取得进展。

我们至少从m+1阶导数到n阶导数。

让我们看看我们是否可以继续。

所以同样的一般想法。

如果我们知道这一点，

那么我们知道我们可以对两边进行积分。

所以我们可以对两边进行积分，

两边的反导数。我

们从上面得出的结论是，

这里比这更小的东西是

期望值的积分的绝对值。

现在[笑]看，我说了。

误差函数的绝对值，不是期望值。

误差函数。

误差函数的n阶导数。

误差函数的n阶导数的x。

我们知道这小于或等于基于完全相同的逻辑。

这很有用，因为这只是

误差函数的n-1阶导数。

当然，我们在外面有绝对值。

现在这将小于或等于。

这小于或等于这个，这小于或等于这个，

这小于或等于这里的这个。

这个的反导数将是

M乘以(x-a)的平方除以2。

你可以使用U替换法，如果你愿意，或者你可以说，嘿，看。

我这里有一个小表达式，它的导数是1。

所以它隐含在那里，所以我可以把它当作U来处理。

所以把它提升到一个指数，然后除以那个指数。

但再一次，我在取不定积分。

所以我要在这里加上一个C。

但让我们使用相同的逻辑。

如果我们在A点评估这个，你会得到它。

如果你在A点评估这个，让我们在A点评估两边。

左边，在A点评估，我们知道，将是零。

我们在上一个视频中已经弄清楚了。

所以你得到，我会在这里右边做。

你得到零，当你在A点评估左边时。

右边，如果你，右边的值，

你得到m乘以a减去a的平方除以2。

所以你会得到0加c，所以你会得到，0小于或等于c。

再一次，我们想要最小化我们的常数，

我们想要最小化我们的上界。

所以我们想选择满足我们约束条件的最低可能的c。

所以满足我们约束条件的最低可能的c是零。

所以这里的一般想法是我们可以继续这样做，我们可以

继续做我们一直在做的事情，一直到，一直到，一直到。

所以我们继续以完全相同的方式进行积分，

使用这里的完全相同的性质。

一直到我们得到x的误差函数的界限。

所以你可以把它看作是0阶导数。

你知道，我们一直到

0阶导数，这实际上只是误差函数。

x的误差函数的界限将

小于或等于，它将是什么？

你已经可以看到这里的模式。

它将是m乘以(x-a)。

指数，一个思考方式是，这个指数

加上这个导数将等于n+1。

现在这个导数是零，所以这个指数将是n+1。

无论指数是什么，你将有，也许我

应该做，你将有n+1阶乘在这里。

如果你说，等等，这个n+1阶乘从哪里来？

我这里只是有一个2。

好吧，想想当我们再次积分时会发生什么。

你将把它提升到三次方，然后除以三。

所以你的分母将有2乘以3。

然后当你再次积分时，你将把它提升

到四次方，然后除以四。

所以你的分母将是2乘以3乘以4。

四阶乘。

所以无论你提升到什么幂，

分母将是那个幂的阶乘。

但现在真正有趣的是，如果我们

能够找出我们函数的最大值。

如果我们能够找出我们函数的最大值。

我们现在有一种方法可以

在区间a和b之间限制我们的误差函数。

所以例如，b点的误差函数。

如果我们知道m是什么，我们现在可以限制它。

我们可以说b点的误差函数将小于或等于m

乘以(b-a)的n+1次方除以n+1阶乘。

所以这给了我们一个非常强大的结果，我猜你

可以称之为，背后的数学原理。

现在我们可以展示一些实际应用的例子。