Proof: Bounding the Error or Remainder of a Taylor Polynomial Approximation

Trong video trước, chúng ta đã bắt đầu
khám phá khái niệm về hàm sai số.

Mình không nên nhầm nó với giá trị kì vọng

vì cách viết của nó cũng giống.

Nhưng ở đây thì E là sai số.

Và chúng ta cũng có thể hiểu rằng nó sẽ

được nhắc tới như là hàm số phần dư.

Và chúng ta đã thấy sự khác biệt giữa hàm số

và ước lượng của chúng ta về hàm số đó.

Ví dụ là, ở đây, khoảng cách ở ngay đây sẽ là sai số của chúng ta.

Đó sẽ là sai số của chúng ta tại x bằng b.

Và chúng ta thật sự cần quan tâm tới
giá trị tuyệt đối của nó.

Bởi vì đôi khi f(x) sẽ lớn hơn đa thức,

và đôi khi đa thức sẽ lớn hơn f(x).

Chúng ta cần quan tâm đến trị tuyệt đối của khoảng cách giữa chúng.

Và điều mà mình muốn làm trong video này là

cố gắn tìm cận sai số tại một điểm b nào đó.

Cố tìm cận sai số.

Vậy hãy nói cận sai số sẽ bé hơn
hoặc bằng một hằng số.

Hãy cố giới hạn cận sai số tại b với b lớn hơn a.

Chúng ta sẽ cho rằng b sẽ lớn hơn a.

Và chúng ta đã có được những kết quả rất hoành tráng

là có lẽ chúng ta đã giới hạn được
cận sai số trong video trước.

Chúng ta thấy được đạo hàm bậc n cộng 1 của

hàm số sai số sẽ bằng với đạo hàm bậc n cộng 1 của hàm số của chúng ta.

Hoặc là giá trị tuyệt đối của chúng sẽ bằng.

Hoặc là nếu chúng ta có thể giới hạn đạo hàm bậc n cộng 1

của hàm số của chúng ta tại một khoảng nào đó

mà có chứa b ở trong đó.

Thì ít nhất là chúng ta có thể giới hạn đạo hàm bậc n cộng 1 của hàm số sai số của chúng ta.

Và sau đó, có thể chúng ta sẽ

lấy tích phân để xác định cận sai số tại một giá trị b.

Vậy nên hãy thử xem mình có làm được không nhé.

Thì hãy cho rằng chúng ta đã

biết được gì đó về đạo hàm bậc n cộng 1 của f(x)

Hãy cho rằng chúng ta biết được,

Hãy để mình sử dụng màu khác.

Mình sẽ sử dụng màu trắng.

Hãy cho rằng hàm số sai số của chúng ta sẽ nhìn giống như này.

Vậy cái này sẽ là đạo hàm bậc n cộng 1 của f(x).

Đạo hàm bậc n cộng 1.

Và mình chỉ cần quan tâm về hàm số sai số trên khoảng này ở đây.

Chúng ta cũng đâu cần quan tâm nó đi tới đâu nữa, mình chỉ cần giới hạn ở khoảng này thôi

bởi vì mục đích của chúng ta là xác định cận sai số tại b.

Hãy xem rằng chúng ta đã biết giá trị tuyệt đối,

hãy xem rằng chúng ta đã biết,

hãy để mình viết ở đây,

giá trị tuyệt đối của đạo hàm bậc n cộng 1

Mình xin lỗi mình đã lỡ nhầm giữa chữ N viết hoa

và n viết thường, mình đã làm điều đó trong video trước.

Mình đã không nên làm thế,

mình đã nhầm nên mong là các bạn không thấy rối.

Hãy cho rằng mình biết đạo hàm bậc n cộng 1

của f(x), giá trị tuyệt đối của nó, hãy cho rằng nó được giới hạn.

Hãy cho rằng trị tuyệt đối sẽ bé hơn hoặc bằng một m

trên khoảng này, tại chúng ta chỉ cần quan tâm đến khoảng.

Sai số có thể không bị giới hạn nói chung, nhưng chúng ta chỉ quan tâm

rằng sai số sẽ bị giới hạn trên khoảng này.

Cho nên là trên khoảng, mình có thể viết như này,

trên đoạn x thuộc [a,b], và cái này là đoạn,

nên x có thể là a, x có thể là b, và x

cũng có thể là bất cứ giá trị gì ở giữa.

Và nhìn chung là chúng ta có thể nói

đạo hàm này ở đây sẽ có giá trị lớn nhất.

Vậy cái này sẽ là trị tuyệt đối, giá trị lớn nhất, chữ m đại diện cho max.

Chúng ta biết được nó sẽ có giá trị lớn nhất, nếu hàm số này là hàm số liên tục.

Một lần nữa chúng ta đang tự cho là hàm số liên tục,

và nó có giá trị lớn nhất trên đoạn này ở đây.

Thì cái này ở đây, chúng ta biết được là nó sẽ bằng với

đạo hàm bậc nhất của hàm số sai số.

Cho nên là chúng ta sẽ biết được rằng,

hãy để mình sử dụng màu xanh dương, hoặc là xanh lá,

nó cho ta biết được đạo hàm bậc n cộng 1 của hàm số sai số

trị tuyệt đối của nó vì hai cái này

là hai cái giống nhau, và cũng bị giới hạn bới M.

Điều này cũng rất thú vị nhưng mà nó không nói cho ta được gì cả.

Cái này có thể nhìn giống với cái này nhưng mà cái này là đạo hàm bậc n cộng 1 của hàm số sai số.

Và chúng ta sẽ phải suy nghĩ làm sao để có giá trị m trong tương lai.

Chúng ta đang mặc định là chúng ta đã biết m,

và có lẽ chúng ta sẽ làm một vài ví dụ
để hiểu được nó.

Nhưng cái này là đạo hàm bậc n cộng 1.

Chúng ta đang giới hạn
trị tuyệt đối của nó, nhưng

thật ra thì chúng ta đang cần
giới hạn hàm số sai số.

Bạn có thể nói đạo hàm bậc 0
sẽ là chính hàm số đó.

Mình có thể thử lấy tích phân cả hai vế
và xem xem

mình có thể ra được E(x),

có thể ra được hàm số sai số hoặc là
hàm số phần dư của chúng ta được hay không.

Hãy lấy tích phân hai vế của cái này.

Bây giờ tích phân của vế bên trái,
cái này thú vị nè.

Chúng ta đang lấy tích phân của trị tuyệt đối.

Nó sẽ dễ hơn nếu chúng ta
lấy trị tuyệt đối của tích phân.

Và may cho chúng ta là nó đã dưới dạng này.

Để mình viết qua bên này một chút.

Đây là một thứ để bạn nghĩ tới,
nhìn chung thì chúng ta biết được

nếu mình có hai lựa chọn,

mình có hai lựa chọn như thế này,
và chúng có thể nhìn giống ở thời điểm này,

Mình biết là chúng nhìn giống nhau.

Ở đây, mình sẽ có tích phân của giá trị tuyệt đối,

và ở đây mình sẽ có trị tuyệt đối của tích phân.

Thì trong hai cái này, cái nào sẽ lớn hơn?

Thì bạn sẽ phải nghĩ tới 2 trường hợp.

Nếu f(x) luôn dương trên khoảng

mà bạn đang lấy tích phân,
thì hai cái này sẽ như nhau.

Bạn sẽ có những giá trị dương.

Lấy trị tuyệt đối của một giá trị dương

sẽ không thay đổi gì cả.

Điều quan trọng là khi f(x) âm.

Nếu f(x) âm trên cả khoảng này,

nếu đây là trục x,
và đây là trục y của chúng ta,

nếu f(x) dương trên cả khoảng này,

thì bạn đang lấy trị tuyệt đối
của một giá trị dương.

Nên nó sẽ không quan trọng lắm.

Hai cái này sẽ bằng nhau.

Nếu f(x) âm trên cả khoảng,

thì tích phân của bạn sẽ bằng với một giá trị âm.

Nhưng mà nếu bạn lấy trị tuyệt đối của nó,

và ở đây, tích phân của nó

sẽ cho một giá trị dương
và hai cái này cũng bằng nhau.

Trường hợp thú vị nhất là khi f(x) sẽ

vừa âm và vừa dương,
và bạn có thể tưởng tượng trường hợp sau.

Nếu f(x) nhìn giống như thế,

thì cái này ở đây, tích phân của nó,
bạn sẽ có giá trị dương.

Đây sẽ là dương và đây sẽ là âm.

Và chúng nó sẽ triệt tiêu nhau.

Vậy cái này sẽ có giá trị nhỏ hơn

tích phân của trị tuyệt đối.

Thì tích phân của trị tuyệt đối của f
sẽ nhìn như thế này.

Nếu tất cả phần diện tích này,

nếu mà bạn đang lấy tích phân xác định,

nếu bạn đang lấy tích phân xác định,

thì cả phần diện tích ở đây sẽ trở nên dương.

Cho nên bạn sẽ có một giá trị lớn hơn

nếu bạn lấy tích phân của trị tuyệt đối.

Thì sau đó, đặc biệt là khi f(x)

có thể có giá trị dương
và giá trị âm trên khoảng,

thì nếu bạn sẽ lấy tích phân trước
rồi mới lấy đạo hàm,

một lần nữa, nếu bạn lấy tích phân trước
đối với hàm số như thế này,

bạn sẽ ra một giá trị thấp hơn vì
hai phần này đang triệt tiêu nhau.

Chúng sẽ triệt tiêu nhau,

và rồi bạn sẽ đang lấy trị tuyệt đối
của một giá trị nhỏ hơn.

Vậy nhìn chung thì,

trị tuyệt đối của tích phân

sẽ nhỏ hơn hoặc bằng tích phân của trị tuyệt đối.

Vậy nên ta có thể nói, nếu cái này ở đây

là tích phân của trị tuyệt đối, nó cũng sẽ
lớn hơn hoặc bằng.

Nhưng gì chúng ta viết ở đây cũng là cái này.

Nó sẽ lớn hơn hoặc bằng, bạn sẽ hiểu

tại sao mình lại làm như thế này trong lát nữa.

Sẽ lớn hơn hoặc bằng trị tuyệt đối của

tích phân của đạo hàm bậc n cộng 1.

Đạo hàm bậc n cộng 1 của x dx.

Và lý do tại sao cái này hữu dụng là tại

mình vẫn đang có bất phương trình rằng
cái này đang bé hơn hoặc bằng cái này.

Nhưng bây giờ thì lấy tích phân của cái này
cũng rất đơn giản.

Nguyên phân của đạo hàm bậc n cộng 1

thì sẽ bằng đạo hàm bậc n.

Vậy phần này ở ngay đây

sẽ chỉ bằng trị tuyệt đối của đạo hàm bậc n.

Trị tuyệt đối của đạo hàm bậc n của
hàm số sai số của chúng ta.

Hồi nãy mình có nói giá trị kì vọng phải không?

Mình đã không nên.

Cái này đang làm chính mình bị rối.

Cái này là hàm số sai số.

Mình đã nên xài chữ R thể hiện phần dư.

Mình chỉ đang nói về sai số.

Không có gì liên quan tới xác suất hoặc
giá trị kỳ vọng trong video này cả.

Đây sẽ là,

chữ E sẽ biểu thị sai số.

Dù sao thì, cái này sẽ là đạo hàm bậc n

của hàm số sai số của chúng ta,
và nó sẽ bé hơn hoặc bằng cái này,

Sẽ bé hơn hoặc bằng nguyên phân của M.

Thì M sẽ là hằng số.

Vậy nó sẽ bằng Mx, là Mx.

Và vì chúng ta chỉ lấy
tích phân không xác định,

chúng ta không thể nào quên được hằng số C ở đây.

Và nhìn chung thì, nếu bạn đang lấy cận trên,

thì bạn sẽ muốn cận dưới càng bé càng tốt,

Và chúng ta sẽ lấy tổi thiểu của hằng số này.

Và may cho chúng ta thì chúng ta thật sự biết

giá trị của hàm số này tại một điểm.

Chúng ta biết được đạo hàm bậc n của
hàm số sai số tại a sẽ bằng 0.

MÌnh đã viết nó ở ngay đây.

Đạo hàm bậc n tại a sẽ bằng 0,

bởi vì đạo hàm bậc n của hàm số

và ước lượng của chúng ta tại a sẽ là
những thứ y hệt nhau.

Vậy cho nên là nếu chúng ta tính cả hai vế tại a,

mình sẽ viết tại đây, chúng ta biết được
trị tuyệt đối

của đạo hàm bậc n tại a, chúng ta biết được

cái này sẽ bằng với trị tuyệt đối của 0.

Và sẽ bằng 0.

Và cái này sẽ bé hơn hoặc bằng Mx tại a,

và Mx tại a sẽ bé hơn hoặc bằng Ma cộng c.

Và rồi nếu bạn nhìn về
bất phương trình này,

bạn có thể trừ Ma cho cả hai vế.

Bãn sẽ có trừ Ma sẽ bé hơn hoặc bằng c.

Vậy hằng số của chúng ta ở đây,
dựa vào điều kiện này,

mà chúng ta đã giải ra được
trong video trước.

Hằng số của chúng ta sẽ
bé hơn hoặc bằng trừ Ma.

Vậy nếu chúng ta muốn lấy hằng số tối thiểu,
nếu chúng ta lấy cận a

càng bé càng tốt, thì chúng ta sẽ lấy c bằng trừ Ma.

Đó sẽ là hằng số c bé nhất mà có thể

đáp ứng những điều kiện mà chúng ta biết ở đây.

Nên là, chúng ta sẽ thật sự chọn Ma cho hằng c.

Và rồi chúng ta có thể
viết lại cả phần này thành

trị tuyệt đối của đạo hàm bậc n
của hàm số sai số.

Đạo hàm bậc n của hàm số sai số,

chứ không phải là của giá trị kỳ vọng.

Mình đang ngờ rằng mình đã nói lộn tới giá trị kỳ vọng.

Nhưng mà cái này là hàm số sai số,

Trị tuyệt đối của đạo hàm bậc n của
hàm số sai số

sẽ bé hơn hoặc bằng M nhân x trừ a.

Và một lần nữa, tất cả điều kiện này
vẫn còn hiệu lực.

Đây sẽ là cho x thuộc đoạn

từ a tới b.

Nhưng có vẻ như chúng ta
đang gần tới đáp án.

Ít ra thì chúng ta đã đi từ đạo hàm
bậc n cộng 1 tới đạo hàm bậc n.

Hãy thử xem nếu chúng ta tiếp tục làm thế.

Thì ý tưởng cũng như vậy.

Nếu chúng ta đã biết cái này, thì
chúng ta cũng đã biết

ta có thể lấy tích phân cả hai vế
của cái này.

Vậy nên ta có thể lấy tích phân
hai vế của cái này,

lấy nguyên hàm hai vế.

Và chúng ta đã biết được từ những gì
chúng ta đã giải ở đây

một thứ còn nhỏ hơn cả thứ này ở đây,

sẽ là trị tuyệt đối của hàm số sai số.

Là hàm số sai số,

chứ không phải là hàm số giá trị kỳ vọng.

Hàm số sai số.

Đạo hàm bậc n của hàm số sai số của x.

Đạo hàm bậc n của hàm số sai số của x dx.

Nên là ta biết cái này sẽ nhỏ hơn hoặc bằng,
dựa trên logic ở ngay đây.

Và cái này sẽ hữu dụng vì cái này
sẽ chỉ bằng với

đạo hàm bậc n trừ 1 của hàm số sai số của x.

Và đương nhiên là chúng ta có
trị tuyệt đối xung quanh nó.

Và rồi cái này sẽ bé hơn hoặc bằng cái này

và cái này lại bé hơn hoặc bằng

cái này, và cái này lại bé hơn hoặc bằng
cái này.

Nguyên hàm của cái này ở đây sẽ bằng

M nhân với x trừ a bình tất cả chia 2.

Bạn có thể thay u vào, hoặc bạn
cũng có thể nói

ồ, mình đang có một biểu thức ở đây,
và đạo hàm của nó bằng 1.

Vậy nên mình có thể xem nó như
là đang thế u vào.

Vậy ta đã nâng số mũ lên và
chia số mũ đó.

Một lần nữa, mình đang lấy tích phân
không xác định.

Mình sẽ cộng C ở ngay đây.

Hãy sử dụng ý tưởng y chang hồi nãy.

Nếu chúng ta đang tính cái này,

nếu chúng ta đang tính cả hai cái này
ở hai vế tại a,

thì vế bên trái tại a, chúng ta đã biết
sẽ bằng với 0.

Chúng ta đã biết được nó từ video trước.

Vậy nên bạn sẽ có, mình sẽ viết ở bên này,

bạn sẽ có giá trị 0 nếu bạn tính
vế trái theo a.

Nếu bạn tính vế phải theo a, nếu bạn tính

vế phải theo a, bạn sẽ có M nhân a
trừ a tất cả chia 2.

Vậy nên bạn sẽ có 0 cộng c bé hơn hoặc bằng c.

Một lần nữa, chúng ta muốn tối thiểu
hằng số,

chúng ta đang tối thiểu cận trên
ở đây,

nên chúng ta muốn tìm c bé nhất
thỏa điều kiện.

Vậy nên c bé nhất mà thỏa điều kiện sẽ là 0.

Và ý tưởng chung ở đây sẽ là nếu chúng ta
tiếp tục làm như thế này,

nếu chúng ta tiếp tục làm mãi,
làm mãi tới hết,

và chúng ta tiếp tục lấy tích phân
y chang cách nãy giờ chúng ta vẫn làm,

tiếp tục làm như vậy với những tính chất
tương tự ở ngay đây,

làm hết từ đây cho tới khi ta có được
cận sai số của hàm số sai số của x.

Bạn có thể xem cái này như là
đạo hàm bậc 0.

Bạn biết đó, mình có thể đi hết
tới đạo hàm bậc 0,

và cái này cũng chỉ là hàm số sai số
của chúng ta.

Cận trên của hàm số sai số của x

sẽ nhỏ hơn hoặc bằng với, bằng với gì nhỉ?

Thì bạn đã có thể thấy hình mẫu rồi đấy,

nó sẽ bằng với m nhân x trừ a

và số mũ, một cách để nghĩ về nó, là số mũ

cộng với bậc của đạo hàm ở đây
sẽ bằng n cộng 1.

Bậc của đạo hàm ở đây bằng 0 nên số mũ sẽ là
n cộng 1.

Và bất kể số mũ là gì bạn cũng sẽ có,
đáng lẽ mình đã nên

làm nó ở trên, bạn sẽ có n cộng 1 giai thừa
ở dưới này.

Và nếu bạn không hiểu ủa tại sao lại có
n cộng 1 giai thừa ở đây?

Thì mình đã có số 2 ở đây,

Thì hãy nghĩ xem điều gì sẽ xảy ra nếu
chúng ta lại lấy tích phân của cái này.

Bạn sẽ nâng số mũ lên thành mũ 3, và
chia cho 3.

Vậy mẫu số của chúng ta sẽ là 2 nhân 3.

Và sau đó nên bạn tích phân nó,
bạn lại nâng

số mũ lên thành mũ 4, và chia cho 4.

Vậy nên mẫu số của chúng ta sẽ bằng
2 nhân 3 nhân 4.

4 giai thừa.

Vậy bất kể bạn nâng số mũ lên bao nhiêu

thì mẫu số vẫn sẽ bằng số mũ đó giai thừa.

Nhưng thứ thật sự thú vị ở đây là
nếu chúng ta

biết được giá trị lớn nhất của
hàm số của chúng ta,

nếu chúng ta có thể biết được
giá trị lớn nhất của hàm số,

chúng ta sẽ có cách giới hạn
hàm số sai số của chúng ta

trên đoạn đó, đoạn từ a tới b.

Ví dụ là hàm số sai số tại b,

chúng ta có thể giới hạn nó nếu
chúng ta biết M là gì.

Chúng ta có thế nói hàm số sai số tại b
sẽ bé hơn hoặc bằng

M nhân b trừ a tất cã mũ n cộng 1
chia n cộng 1 giai thừa.

Cái này cho chúng ta một đáp án,

hoặc là một thuật toán rất công lực ở đây.

Và bây giờ mình có thể giải một số bài toán
để biết ứng dụng của cái này.