Proof: Bounding the Error or Remainder of a Taylor Polynomial Approximation

지난 시간에 오차 함수의
개념에 대해 살펴보았습니다

기댓값과 혼동하지 0:00.6않기 바랍니다

같은 표기법을 쓰고
있기 때문이죠

하지만 여기 E는
오류를 말합니다

이 함수는 Reminder 함수로도
볼 수 있습니다

이 함수는 Reminder 함수로도
볼 수 있습니다

이는 함수와 근사함수의 차로

볼 수도 있습니다

예를 들어
여기 이 사이의 거리는

x = b 일 때의
오류입니다

그 절댓값을 구해야 합니다

f(x)의 어떤 점에서는
다항식보다 크지만

다항식보다 작은 경우도
있기 때문이죠

따라서 그 사이 거리의
절댓값을 구해야 합니다

이번 강의에서는

어떤 b에 대한 오류의
상한선을 정하려고 합니다

어떤 b에 대한 오류의
상한선을 정하려고 합니다

임의의 상수보다
작거나 같다고 해봅시다

여기서 b > a 입니다

여기서 b > a 입니다

지난 강의에서
이것이 상한선 내에
있는 듯 없는 듯한

다소 아쉬운 결과를 확인했죠

오류함수를 n+1번 미분한 함수와

이 함수를 n+1번 미분한 함수와
같다는 것

혹은 절댓값이 같다는 것을
보았습니다

b를 포함하고
우리에게 중요한

어떤 구간에서
n+1번 미분한 함수의

상한선이 있다면

적어도 오류함수를
n+1번 미분한 함수도

상한선이 있을 것입니다

그렇다면 임의의 값 b에서

오류함수가 상한선 내에 있도록
적분을 할 수 있습니다

확인해 봅시다

f(x)를 n+1번 미분한 함수에 대해

무언가를 알고 있다고
가정합시다

아직 사용하지 않은

흰색으로 해봅시다

흰색으로 해봅시다

이런 그래프가 있다고 합시다

이는 f^(n+1)(x) 입니다

이는 f^(n+1)(x) 입니다

이 구간만을 살펴봅시다

나중에 어떻게 되든지
구간의 상한선을 정하려고 합니다

나중에 b가 상한선 내에
있게 하기 위해서죠

이 절댓값을
이렇게 나타내 봅시다

여기에 적어볼게요

여기에 적어볼게요

f^(N+1)의 절댓값

지난 강의에서
대문자 N과 소문자 n을

바꾸어 쓴 점 사과드립니다

헷갈렸네요

그러나 이제 알게 되었으니
혼동하지 않기를 바랍니다

f(x)를 n+1번 미분한 함수
f^(n+1)의 절댓값은

상한선이 있다고 합시다

구간에 대하여
임의의 M보다 작거나 같다고 합시다

그 구간만이
중요하기 때문이죠

일반적으로 상한선이 없겠지만

이 구간에서는
최댓값이 존재할 것입니다

그 구간의 x는
이렇게 나타내보죠

그 구간의 x는 [a,b]에 속하므로
a와 b 모두 포함합니다

닫힌 구간이므로
x는 a, b 아니면

그 사이의 어떤 값도
될 수 있습니다

일반적으로 이 도함수는

최댓값이 있다고 볼 수 있습니다

따라서 이 M은 최댓값입니다

이 함수가 연속이라면
최댓값이 존재할 것입니다

이번에도
이 함수는 연속이고

이 구간에서 최댓값이
존재한다고 가정합니다

이는 오류함수를

n+1번 미분한
함수와 같습니다

따라서 이는 다음을 암시합니다

녹색으로 해볼게요

오류함수를
n+1번 미분한 함수를

위와 같이 절댓값을 취하면

이 또한 상한선이 M입니다

재밌는 결과이지만

겉보기엔 비슷해 보이지만
이는 오류함수를 n+1번 미분한 함수입니다

나중에 어떻게 M에 도달할 것인지
생각해 보아야 합니다

이것을 안다고 가정하고

이를 해결할 예제들을
풀어볼 것입니다

하지만 이는
n+1번 미분한 함수입니다

그 절댓값은 상한선이 있지만

실제 오류함수인
0번 미분한 함수도

상한선이 있게 해야 합니다

이 식의 양변을 적분하여

최종적으로 E(x)가 나오도록
해보려고 합니다

즉, 오류함수 혹은 reminder 함수가
나오도록 적분해 봅시다

이 식의 양변을 적분합니다

좌변의 적분에는
흥미로운 부분이 있습니다

절댓값을 적분하는 것보다

적분한 값에 절댓값을 취하는 것이
더 쉽습니다

운이 좋게도
그 방법을 알고 있습니다

옆 공간에 적어볼게요

여러분이 생각해볼 문제입니다
적분을 취할 때

일반적으로 두 선택지가 있습니다

이 식과 이 식이 있습니다
똑같아 보일지 모르겠네요

지금은 똑같아 보일 것입니다

여기에는 함수에
절댓값을 취하고

여기에는 적분에
절댓값을 취합니다

어떤 것이 더 클까요?

상황을 따져 봅시다

따라서 f(x)가
적분을 취하는 구간에서

항상 양수라면
동일한 결과가 나올 것입니다

양수가 나오는 것과

양수에 절댓값을 취하는 것은

차이가 없습니다

중요한 것은
f(x)가 음수인 경우입니다

모든 구간에서
f(x)가 음수라면

x축과 y축을 그립니다

전 구간에서
f(x)가 양수라면

양수에 절댓값을
취하는 것이므로

문제되지 않습니다

두 식은 같습니다

만약 전 구간에서
f(x)가 음수라면

적분 결과 음수가 나옵니다

그러나 여기에
절댓값을 취하면

이 값은 양수가 되고

여전히 같은 값이
나오게 됩니다

흥미로운 경우는
f(x)가 양수이면서 음수인 경우입니다

이런 상황을
상상해 봅니다

f(x)가 이런 모습이라면

이 부분의 적분은
양수가 되고

이 부분은 음수가 됩니다

서로 상쇄시킬 수 있죠

따라서 절댓값에
적분을 취하는 이 경우가

값이 더 작겠죠

f(x)에 절댓값을 취한 경우는
다음과 같습니다

모든 넓이는

이것을 명백한
적분값이므로

이것을 명백한
적분값이므로

모든 넓이는
양수가 됩니다

절댓값에 적분을 취할 때

더 큰 값이 나온다면

f(x)가 구간에 대하여
양수이면서 음수인 경우입니다

f(x)가 구간에 대하여
양수이면서 음수인 경우입니다

먼저 적분하고
절댓값을 취하면

적분을 취할 때

이 부분이 상쇄되므로
작은 값이 나옵니다

이 부분이 상쇄되므로
작은 값이 나옵니다

따라서 더 작은 값에
절댓값을 취하게 됩니다

일반적으로

다시 말씀드리죠
적분에 절댓값을 취한 것은

절댓값에 적분을 취한 것보다
작거나 같습니다

따라서 이 식은
절댓값에 적분을 취한 것이고

크거나 같을 것입니다

여기에 올 식은
이 식입니다

이 식보다
크거나 같을 것입니다

왜 이렇게 하는지
잠시 후에 알게됩니다

그 식은
E^(n+1)(x)의 적분에

절댓값을 취한 식입니다

E^(n+1)(x)dx

이것이 유용한 이유는

이는 이 식보다 작거나 같다는
부등식이 성립하기 때문입니다

이제 적분하기
꽤 간단해졌습니다

E^(n+1)을 적분하면

E^n이 됩니다

즉, 다음과 같습니다

E^n(x)의 절댓값이 됩니다

오류함수를 n번 미분한
식의 절댓값입니다

기댓값에 대해 이야기했나요?

그럴 수 없죠

저도 헷갈립니다

이것은 오류함수입니다

Reminder 함수로
R을 써도 됐습니다

하지만 이 식들은
모두 오류함수입니다

이번 수업에서는
확률이나 기댓값에 대한 내용은 없습니다

E는 오류함수입니다

E는 오류함수입니다

여하튼, 이 식은
오류함수를 n번 미분한 식이고

이 식보다 작거나 같습니다

즉, M을 부정적분한
것보다 작거나 같습니다

이는 상수입니다

따라서 Mx가 됩니다

부정적분을
취하고 있으므로

상수를 더해야 하는 것을
잊으면 안됩니다

일납적으로
상한선을 정할 때

가능한 작게
하고 싶을 것입니다

이 상수항을
최소화하고 싶습니다

운이 좋게도
이 함수가 특정 점에서

어떤 값을 가지는지
알고 있습니다

오류함수를 n번 미분한 식은
a에서 0입니다

여기에 적었습니다

E^n(a) = 0 입니다

a에서는
n번 미분한 함수와

그 근사값은 같을 것입니다

a에서 양변을 계산하면

절댓값을 알고 있습니다

E^(a)의 절댓값은

0입니다

0입니다

이는 a에서 이 식보다
작거나 같습니다

Ma + c

이 부등식 부분을 보세요

양변에 Ma를 빼줍니다

-Ma ≤ c 가 됩니다

지난 수업에서
구할 수 있었던

이 조건 하에서
상수는

-Ma보다 크거나 같습니다

상수를 최소화하려면

즉, 상한선을 작게 하려면

-Ma와 같은
c를 고르면 됩니다

참인 조건들을 만족하는

제일 작은 c입니다

c = -Ma 입니다

전체 식을 다시 적어보면

n번 미분한 오류 함수에
절댓값을 취한 것은

n번 미분한 오류 함수에
절댓값을 취한 것은

기댓값이 아닙니다

제가 기댓값이라고 말했는지
의심이 드네요

이는 오류함수입니다

n번 미분한 오류함수에
절댓값을 취하면

n번 미분한 오류함수에
절댓값을 취하면

M(x-a)보다
작거나 같습니다

다시 한번 말씀드리지만
모든 조건은 참입니다

x는 a와 b 사이의

닫힌구간 내에 있습니다

진전이 있어 보입니다

적어도
n+1에서 n이 되었습니다

계속 할 수 있는지
알아봅시다

같은 개념입니다

양변에 적분을 취합니다

양변에 적분을 취합니다

양변에 적분을 취합니다

부정적분을 취합니다

위에서 해결한 것이 있죠

이것보다 작은
무언가가 있습니다

그것은 바로 n번 미분한
오류함수의 적분에
절댓값을 취한 것입니다

실수하지 마세요

기댓값이 아니라
오류함수입니다

기댓값이 아니라
오류함수입니다

E^n(x)dx

E^n(x)dx

같은 논리로
이 식보다 작거나 같습니다

이것이 유용한 이유는

이 식은 E^(n-1)(x)가
되기 때문입니다

물론 바깥에
절댓값을 취해야 합니다

이 식은 작거나 같습니다

이 부등식이 성립하므로

이 부정적분의 결과는

M(x-a)²/2 입니다

치환을 이용하여
풀 수도 있습니다

여기 도함수가
1인 식이 있습니다

음함수이므로
u로 치환합니다

지수로 올린 다음
식을 그 지수로 나눕니다

하지만 부정적분을 하고 있습니다

여기에 c를 더합니다

같은 논리로

x=a 에서 양변을
계산해 봅시다

x=a 에서 양변을
계산해 봅시다

좌변에 x=a를 대입하면
0이 나옵니다

지난 시간에
다룬 내용이죠

따라서, 계산해보면

좌변에 x=a를 대입하면
0이 나오고

우변에 x=a를 대입하면

M(a-a)²/2 이므로

0 + c = c가 나옵니다

이번에도 상수항을
최소화합니다

상한선을 작게 만들고자 합니다

따라서 조건을 만족하는
가능한 작은 c를 구해야 합니다

조건을 만족하는
가능한 작은 c는 0입니다

그러므로 여기서
일반화할 수 있는 개념은

지금까지 한 방식과 똑같이
계속해서 하면

같은 방식으로
적분해 나가고

여기서도 동일한
성질을 이용하면

E(x)의 상한선은

이것은 0번 미분한
것으로 볼 수 있습니다

0번 미분한 것은

오류함수 그 자체입니다

E(x)의 상한선은

어떤 것보다 작거나 같을까요?

여기서 패턴을
확인했습니다

M(x-a)

이 지수와 n-1을 더하면

n+1이 됩니다

이 식은 0번 미분한 것이므로
n+1이 됩니다

지수가 무엇이든간에

분모는 (n+1)!입니다

(n+1)!은
어디서 나온 것일까요?

여기 2가 있고

이 식을 다시
적분한다고 상상해 봅시다

지수는 3이 되고
식을 3으로 나눕니다

분모는 2×3이 되겠죠

다시 적분하면

지수는 4가 되고
식을 4로 나눕니다

따라서 분모는
2×3×4가 됩니다

4!이죠

어떤 값이 지수가 되면

분모는 그 값의
팩토리얼이 될 것입니다

흥미로운 것은

함수의 최댓값을
구할 수 있다면

함수의 최댓값을
구할 수 있다면

a와 b 사이의 구간에서

오류함수의 상한선이
존재할 것입니다

예를 들면
b에서 오류함수는

M을 알고 있다면
상한선이 존재합니다

b에서 오류함수는

M(b-a)^(n+1) / (n+1)! 입니다

아주 강력한 식입니다

이를 수학이라고
부를 수 있습니다

이 식을 적용할 수 있는
예제를 풀어보겠습니다