相似性的条件

思考在什么条件下可以判断两个三角形是否相似

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假设有三角形 ABC。

它就象这样。

没有特别更多的限制条件。

我想以几个基本假定

来确定另一个三角形是否

与三角形 ABC 相似。

我们已经知道如果某三角形

与三角形 ABC 所对应的

三个角都相等，那么我们知道

这两个三角形相似。

例如，如果角 A 是 30 度，

角 B 是90 度，

角 C 是 60 度。

另一个三角形象这样，

明显小一点，但是从它

与三角形 ABC 的对应角

对比，这个角 30 度。

这个角 90 度，而这个角为 60 度，这样我们

知道三角形 XYZ 就和三角形 ABC 相似。

因此推断只要对应角

相等，结论是三角形 ABC

和三角形 XYZ 相似。

角度的次序必须一致，这样才能

得到正确的对应角。

角 Y 对应于 90 度的角。

角 X 对应于 30 度的角。

角 A 对应于 30 度的角。

所以角 A 和 角 Y 是第一对的对应角。

角 B 和角 Y ，都是 90 度的角，是第二对的对应角,

当然角 Z 和角 C 是第三对。

因此这就是我们所知道的，如果你有三个角的信息可以比较。

可是你必须有三个角的信息才可以判断吗？

如果我们只知道其中两个角的信息，够不够呢？

答案是肯定的，因为对于一个三角形，如果知道了两个角，

第三个角也就知道了。

比如说，有这么个三角形

－ 我来画一下 － 而且

已知只有两个角与所对比的

三角形的对应角相等。

比如说这个角和角 A 相等，

那个角又和角 B 相等。

这两个条件是否足够让我们推断这两个三角形相似呢？

当然。

因为对于一个三角形，如果两个角已知，

那么第三个角也就可以确定。

如果你知道这个角是 30 度，那个角是 90 度，

那么可以推断第三个角一定是 60 度。

知道了这两个角，把它们从 180 度里减去，

结果一定是第三个角。

因此一般的结论是，为了证明三角形相似，

没有必要证明它们之间的三个对应角都相等，

只需要证明其中两个对应角相等就可以。

所以这就是我们的第一个三角形相似的条件。

我们称它为两角对应相等。

如果可以证明两个对应角相等，

那么就是相似三角形。

举个具体的例子，

如果已知这个三角形里这个角是 30 度，

而且那个角是 90 度，

就可以断定该三角形和

三角形 ABC 相似。

当然你可以简单地

再查验第三个角。

你可以发现第三个角为 60 度，

这样三个角都它们对应的角相等。

这就是相似三角形的特性之一。

我们知道相似形

的另一特性是各边

之间的比例相同。

比如说这里有另一个

三角形 － 我再画一个 －

称之为三角形 XYZ。

假设我们知道边长 AB 与 XY 之间的比例,

－ 就是这条边和那条边的比例 －

注意我们没有说这两条边一定相等。

我们只是关注它们之间的比例。

假设 AB 与 XY 之间的比例等于

BC 与 YZ 之间的比例。

这个比例等于 BC 与 YZ 的比例。

而且还等于 AC 与 XZ 的比例。

这就是另一个条件证明

三角形之间的相似性。

所以如果你知道所有三条对应边

的信息，知道所有对应边之间的

比例都相等，就可以得出三角形

是相似的这个结论。

这就是我们所称的所有对应边成比例的相似三角形的条件。

作为比较，全等三角形的条件之一

也是有关所有对应边，请注意其中差别。

因此这些是判断三角形

相似性的条件，根据它们

可以解相关的问题

或进一步证明其它特性。

如果涉及全等三角形，那就

意味着所有对应边都相等。

而对于相似三角形，

条件就是所有对应边

之间的比例相等。

例如，我们给这条边长

一个具体数。

我要一个大一点的数。

假设这条斜边为 60，这条短直角边是 30，

上面这条边就是 30 乘以 3 的平方根，

这些数据可以帮助我们学习

三个角分别是 30 度、60 度、90 度

的一个三角形的边长的典型的比例。

又假设这个小三角形的边长分别为

6，3 及 3 倍的 3 的平方根。

AB与 XY 的比例就是 30 倍的 3 平方根除以

3 倍的 3 的平方根，得 10。

BC 与 YZ 的比例是多少？

30 除以 3 也等于 10。

AC 除以 XZ 即 60 除以 6 得多少？

应该等于 10。

所以总结一下，从上面的三角形到

下面的三角形，对应边的

比例都是 10。

它们之间不是全等的关系，

对应边之间也不相等，

只是相似关系。

它们之间按照同样

的比例缩放，

或者说其对应边

之间的比例相同。

现在我在这里

另外画一个三角形。

我想把原来的式子保留，

另找个地方画。

另外画的三角形称为 ABC。

这三个角分别标为 A，B，C。

假如另有一个三角形，其中有一个边

是 XY，XY 是 AB 乘以某常数。

我把这个数量关系写下来。

XY 等于某常数乘以 AB。

我把 XY 的示意图画大一些，

虽然我在解释一般的情况。

如果这个常数小于一，

XY 就比 AB 小。

不过我还是这样画。

我就是把 XY 画大一些。

比如说这是 X 而那是 Y。

已知 XY 与 AB 的比例

是某常数。

如果你把这个比例式子两边都乘以 AB，

就可得到 XY 是 AB 的某个倍数。

比如 AB 等于 5，XY 等于 10， 这时比例常数等于 2。

就相当于把 AB 放大到两倍。

我们又假设角 ABC

等于角 XYZ。

我在这里添一个端点。

在这里画一条边。

这点就是 Z。假设我们又

得知角 ABC 等于角 XYZ，并且

边 BC 与 YZ 之间的比例

也是这个常数。

BC 与 YZ 的比例也

等于同一常数。

如果这两条对应边分别是 5 和 10，那两条对应边则是 3 和 6。

同样是把对应边长度

放大到两倍。

在以上条件下三角形 XYZ 和三角形 ABC 是否相似呢？

考虑到 XY 与 AB 的

比例和 YZ 与 BC 的比例相同，它们之间

的夹角也相同，按照这个条件我们

只能唯一确定一个三角形。

这些条件只能在这里限定一个三角形，

这个边长也是完全限定了，

而且这个边长和原来的三角形的

对应边的比例也和其它边完全一样。

这种断定相似三角形的条件称为两边成比例夹角相等。

在判定全等三角形时，我们也见过三边全等和两边夹一角

全等的情况，请注意那和我们

今天讨论的情况有差别。

我们今天说的两边和夹角，指的是如果

两个三角形之间的对应边

之间的比例相同，比如说 AB和 XY

是对应边，另外一对对应边是

BC 和 YZ，而且它们之间的

夹角相等，这时我们可以判定它们相似。

对于判断全等三角形的两边和夹角条件，

所指的对应边之间必须全等。

今天我们说的是对应边之间的比例

必须相等。

我再举几个例子来说明如何应用

两边夹一角的条件。

比如我们有一个三角形边长分别为 3，2，4，

而另外有个三角形，

其中两个边长为 9，6，而且

这两边的夹角和第一个三角形

的对应角相等。

根据判断三角形相似性的两边夹一角的条件

可以推断这两个三角形确实是

相似三角形，而从已知的

限定条件出发我们可以唯一地

确定第二个三角形。

该三角形的各条边就是把第一个三角形的边

按同样的比例放大。

所以对于第二个三角形，其最长的边

只能是被唯一确定并同样从第一个三角形的

相应边放大到 3 倍。

这个三角形是唯一确定的。

如果你限定第二个三角形

第一、二条边是第一个三角形的相应边的 3 倍，

其中的夹角也相同，就只能

构成唯一的三角形。

而我们知道如果把第一个三角形

的各条边放大 3 倍就得到一个和

原三角形相似的三角形，因此我们所能画出的

只能是一个和原三角形相似的三角形。

因此这就是我们今天所说的两边夹一角的情况。

其中的两边不要求和

相应边相等，我们只是说这两边

按照同样的比例缩放。

如果我们另有这么一个三角形，

比如说这个边长是 9，另一边长是 4，而其中的夹角和

第一个三角形的相应角相等，就不能

推断它们是相似三角形因为第一边放大到 3 倍，

第二边只放大到 2 倍。

因此这个三角形就不能确定和

第一个三角形相似。

类似的情况还有：如果你的三角形这边是 9

且那边是 6，但是

所对应的夹角不能确定是相同的，

这样你的约束条件就不够，

这两个三角形就不见

得相似，因为没有之间

夹角的信息。

我们还可以考虑

其它的情况。

比如两角一边相等就可以断定三角形的全等，

可是我们已经证明只要有

两个角相等就足以断定

三角形的相似性。

这个时候没有必要

再考虑边长的情况。

这个条件多余了。

当然判断三角形是否全等还有两角夹边的情况，

这时又是因为有了两个角的信息足够证明

三角形的相似性，我们不需要

再考虑边长的信息。

所以我们就学到了所有判断三角形相似性的条件，

需要提醒的是考虑三条边的情况来判断相似性，

条件不同于考虑三条边的情况来判断三角形全等。

只需要了解对应边之间的比例，

而不要去对应边全等。

这里以两边及其夹角来证明相似性，

不同于两边及其夹角以证明三角形全等。

这些条件有关联，不过证明相似性时

我们只关心对应边之间的比例，

而不是比较对应边的实际边长。