相似性的条件

假设有三角形 ABC。

它就象这样。

没有特别更多的限制条件。

我想以几个基本假定

来确定另一个三角形是否

与三角形 ABC 相似。

我们已经知道如果某三角形

与三角形 ABC 所对应的

三个角都相等，那么我们知道

这两个三角形相似。

例如，如果角 A 是 30 度，

角 B 是90 度，

角 C 是 60 度。

另一个三角形象这样，

明显小一点，但是从它

与三角形 ABC 的对应角

对比，这个角 30 度。

这个角 90 度，而这个角为 60 度，这样我们

知道三角形 XYZ 就和三角形 ABC 相似。

因此推断只要对应角

相等，结论是三角形 ABC

和三角形 XYZ 相似。

角度的次序必须一致，这样才能

得到正确的对应角。

角 Y 对应于 90 度的角。

角 X 对应于 30 度的角。

角 A 对应于 30 度的角。

所以角 A 和 角 Y 是第一对的对应角。

角 B 和角 Y ，都是 90 度的角，是第二对的对应角,

当然角 Z 和角 C 是第三对。

因此这就是我们所知道的，如果你有三个角的信息可以比较。

可是你必须有三个角的信息才可以判断吗？

如果我们只知道其中两个角的信息，够不够呢？

答案是肯定的，因为对于一个三角形，如果知道了两个角，

第三个角也就知道了。

比如说，有这么个三角形

－ 我来画一下 － 而且

已知只有两个角与所对比的

三角形的对应角相等。

比如说这个角和角 A 相等，

那个角又和角 B 相等。

这两个条件是否足够让我们推断这两个三角形相似呢？

当然。

因为对于一个三角形，如果两个角已知，

那么第三个角也就可以确定。

如果你知道这个角是 30 度，那个角是 90 度，

那么可以推断第三个角一定是 60 度。

知道了这两个角，把它们从 180 度里减去，

结果一定是第三个角。

因此一般的结论是，为了证明三角形相似，

没有必要证明它们之间的三个对应角都相等，

只需要证明其中两个对应角相等就可以。

所以这就是我们的第一个三角形相似的条件。

我们称它为两角对应相等。

如果可以证明两个对应角相等，

那么就是相似三角形。

举个具体的例子，

如果已知这个三角形里这个角是 30 度，

而且那个角是 90 度，

就可以断定该三角形和

三角形 ABC 相似。

当然你可以简单地

再查验第三个角。

你可以发现第三个角为 60 度，

这样三个角都它们对应的角相等。

这就是相似三角形的特性之一。

我们知道相似形

的另一特性是各边

之间的比例相同。

比如说这里有另一个

三角形 － 我再画一个 －

称之为三角形 XYZ。

假设我们知道边长 AB 与 XY 之间的比例,

－ 就是这条边和那条边的比例 －

注意我们没有说这两条边一定相等。

我们只是关注它们之间的比例。

假设 AB 与 XY 之间的比例等于

BC 与 YZ 之间的比例。

这个比例等于 BC 与 YZ 的比例。

而且还等于 AC 与 XZ 的比例。

这就是另一个条件证明

三角形之间的相似性。

所以如果你知道所有三条对应边

的信息，知道所有对应边之间的

比例都相等，就可以得出三角形

是相似的这个结论。

这就是我们所称的所有对应边成比例的相似三角形的条件。

作为比较，全等三角形的条件之一

也是有关所有对应边，请注意其中差别。

因此这些是判断三角形

相似性的条件，根据它们

可以解相关的问题

或进一步证明其它特性。

如果涉及全等三角形，那就

意味着所有对应边都相等。

而对于相似三角形，

条件就是所有对应边

之间的比例相等。

例如，我们给这条边长

一个具体数。

我要一个大一点的数。

假设这条斜边为 60，这条短直角边是 30，

上面这条边就是 30 乘以 3 的平方根，

这些数据可以帮助我们学习

三个角分别是 30 度、60 度、90 度

的一个三角形的边长的典型的比例。

又假设这个小三角形的边长分别为

6，3 及 3 倍的 3 的平方根。

AB与 XY 的比例就是 30 倍的 3 平方根除以

3 倍的 3 的平方根，得 10。

BC 与 YZ 的比例是多少？

30 除以 3 也等于 10。

AC 除以 XZ 即 60 除以 6 得多少？

应该等于 10。

所以总结一下，从上面的三角形到

下面的三角形，对应边的

比例都是 10。

它们之间不是全等的关系，

对应边之间也不相等，

只是相似关系。

它们之间按照同样

的比例缩放，

或者说其对应边

之间的比例相同。

现在我在这里

另外画一个三角形。

我想把原来的式子保留，

另找个地方画。

另外画的三角形称为 ABC。

这三个角分别标为 A，B，C。

假如另有一个三角形，其中有一个边

是 XY，XY 是 AB 乘以某常数。

我把这个数量关系写下来。

XY 等于某常数乘以 AB。

我把 XY 的示意图画大一些，

虽然我在解释一般的情况。

如果这个常数小于一，

XY 就比 AB 小。

不过我还是这样画。

我就是把 XY 画大一些。

比如说这是 X 而那是 Y。

已知 XY 与 AB 的比例

是某常数。

如果你把这个比例式子两边都乘以 AB，

就可得到 XY 是 AB 的某个倍数。

比如 AB 等于 5，XY 等于 10， 这时比例常数等于 2。

就相当于把 AB 放大到两倍。

我们又假设角 ABC

等于角 XYZ。

我在这里添一个端点。

在这里画一条边。

这点就是 Z。假设我们又

得知角 ABC 等于角 XYZ，并且

边 BC 与 YZ 之间的比例

也是这个常数。

BC 与 YZ 的比例也

等于同一常数。

如果这两条对应边分别是 5 和 10，那两条对应边则是 3 和 6。

同样是把对应边长度

放大到两倍。