Rabiscando na aula de matemática: Elefantes Infinitos

Estamos de novo em uma aula de matemática

porque eles te fazem ir
todo dia.

Você está aprendendo, quem sabe,
somas de séries infinitas.

Isto é um assunto de ensino médio, certo?
O que é estranho, porque é um assunto

legal, mas de algum modo
conseguem arruiná-lo.

Creio que é por isso que eles permitem
séries infinitas no curriculum.

Em uma necessidade
compreensível de distração,

Você está rabiscando e pensando mais sobre
o que o plural de séries deveria ser.

"Serieses", "seriese", "series",
e "serii"?

Ou o singular devia ser mudado?

Uma "serie", ou "serus", ou "serum"?

É como o singular de "ovelhas" deveria
ser "ovelho".

Mas o conceito completo de coisas como

1/2+1/4+1/8+1/6 e por aí vai,
se aproximando de um,

é útil se você quer desenhar uma
linha de elefantes

cada um segurando o rabo do próximo:

elefante normal, elefante jovem, elefante
bebê, elefante filhote...

Todo caminho abaixo até Mr. Tusks e além.

O que é interessante por podermos ter um
número infinito de elefantes em uma

linha, e ainda encaixá-los
em uma só página de caderno.

Mas têm questões como:

"E se começasse com um camelo,

que sendo menor que um elefante,
fosse somente até um terço da página?"

Quão grande deveria ser o próximo camelo
para chegar ao fim da página?

Pode-se calcular uma
resposta para essa questão,

e é legal que isso seja possível, mas não
estou interessada em cálculos,

então vamos voltar aos camelos.

Aqui temos um fractal. Comece com
esses círculos, e então continue

desenhando o círculo maior que se encaixe
no espaço intermediário.

Esta é chamada uma "Vedação Apolônia".

Pode-se escolher diferentes conjuntos de
círculos iniciais, e funcionam bem.

Ela é bem conhecida porque
tem propriedades interessantes

envolvendo a curva relativa dos círculos
que é com aparência bem legal

e sugere um jogo de rabisco incrível.

Passo um:

desenhe QUALQUER forma.

Passo dois: desenho o MAIOR círculo
possível com essa forma.

Passo três: desenhe o maior círculo
possível com o espaço restante.

Passo quatro:

veja o passo três.

Enquanto houver espaço
depois do primeiro círculo,

sugerindo não começar com um círculo,

este método transforma qualquer forma em
um fractal. Pode-se fazer isso com

triângulos, com estrelas, e não se
esqueça de enfeitar!

Pode-se fazer isso com elefantes,
ou cobras,

ou com o perfil de um de seus amigos.

Escolhi Abraham Lincoln!

Incrível.

Como ficaria com outras formas?

Por exemplo, triângulos equiláteros

preenchendo esse outro triângulo,

o triângulo que preenche está na
orientação oposta ao triângulo de fora

e orientação importa.

Isto gera nosso amigo,
"Triângulo de Sierpinski,"

que, a propósito, você também
pode fazer de Abraham Lincoln.

Triângulos parecem funcionar
bem neste caso, que é especial

e o problema de triângulos é que
eles nem sempre se encaixam.

Por exemplo, nesta forma o maior
triângulo equilátero tem o canto superior

sozinho e você não deve deixar
isso parar seu jogo de rabisco divertido,

mas falta um pouco da beleza
do jogo de círculos.

E se pudesse mudar a orientação
do triângulo para obter o maior possível?

E se não precisasse ser equilátero?

Para formas poligonais, o jogo corre de
forma rápida, que não é bom.

Mas para formas curvas complicadas,
o processo torna-se difícil.

Como você acha o maior triângulo?

Não é sempre óbvio qual triângulo tem
maior área, especialmente quando sua forma

inicial não é bem definida.

Este é um tipo interessante de questão,
por ter uma resposta correta,

mas se você for escrever um
programa de computador

que preencha uma forma com outra,
seguindo a mais simples versão das regras,

você precisará aprender algo sobre
geometria computacional.

Pode-se ir além de triângulos, quadrados
ou até elefantes, mas círculo é ótimo por

ser fantasticamente redondo.

Vamos para um rápido desafio de rabisco:

Um círculo pode ser definido por três
pontos, então desenhe três pontos

e tente encontrar o círculo a que eles
pertencem. Uma das coisas que me intriga

sobre o jogo dos círculos é que sempre que
você tiver um desses tipos de cantos,

você sabe que terá uma infinidade de
círculos indo até ele.

Para cada um desses círculos infinitos
crie alguns cantos a mais que precisarão

de um número infinito de círculos,
e continue assim.

Obtém-se um número incrível de
círculos reproduzindo outros,

e você consegue ver o quão
denso infinito pode ser.

A coisa surpreendente é que este tipo de
infinito é o menor infinito contável,

e tem tipos de infinitos que são
assustadoramente "mais infinitos".

Mas espere, aqui temos algo interessante:

se chamarmos esta distância de Uma
Unidade de Comprimento Arbitrária,

então essa distância mais essa, ...

é uma série infinita que
se aproxima de UM.

E esta é outra, que também
se aproxima de um.

E aqui temos outra, e outra. E enquanto
a forma de fora for bem definida,

então a série será.

Mas se você quiser o tipo simples de
série, onde o diâmetro de cada círculo é

uma certa porcentagem do anterior,
você terá linhas retas. O que faz sentido

se você souber como a inclinação da
linha reta é definida.

Isto é bom, porque sugere uma maneira
maravilhosa, com matemática e desenho

para resolver o problema do camelo
sem uso de cálculos.

Se ao invés de camelo tivéssemos círculos,

poderíamos ter feito a série infinita
certa com um ângulo que termina junto

com a página, e preenchendo-o.

Substitua círculos com camelos e "voila"!

Caravana infinita do Saara,

sumindo na distância,

sem necessidade de números!

Tenho uma quantidade infinita de
informação e gostaria de te falar

nesta última sentença. Talvez ainda caiba
nos próximos cinco segundos.

se eu disser a próxima frase
duas vezes mais rápido,

e a próxima duas vezes
mais rápido que a anterior

e a próxima...

[Traduzido por: Sérgio Fleury]
[Revisão por: Márcia Yu]