Estamos de novo em uma aula de matemática
porque eles te fazem ir
todo dia.
Você está aprendendo, quem sabe,
somas de séries infinitas.
Isto é um assunto de ensino médio, certo?
O que é estranho, porque é um assunto
legal, mas de algum modo
conseguem arruiná-lo.
Creio que é por isso que eles permitem
séries infinitas no curriculum.
Em uma necessidade
compreensível de distração,
Você está rabiscando e pensando mais sobre
o que o plural de séries deveria ser.
"Serieses", "seriese", "series",
e "serii"?
Ou o singular devia ser mudado?
Uma "serie", ou "serus", ou "serum"?
É como o singular de "ovelhas" deveria
ser "ovelho".
Mas o conceito completo de coisas como
1/2+1/4+1/8+1/6 e por aí vai,
se aproximando de um,
é útil se você quer desenhar uma
linha de elefantes
cada um segurando o rabo do próximo:
elefante normal, elefante jovem, elefante
bebê, elefante filhote...
Todo caminho abaixo até Mr. Tusks e além.
O que é interessante por podermos ter um
número infinito de elefantes em uma
linha, e ainda encaixá-los
em uma só página de caderno.
Mas têm questões como:
"E se começasse com um camelo,
que sendo menor que um elefante,
fosse somente até um terço da página?"
Quão grande deveria ser o próximo camelo
para chegar ao fim da página?
Pode-se calcular uma
resposta para essa questão,
e é legal que isso seja possível, mas não
estou interessada em cálculos,
então vamos voltar aos camelos.
Aqui temos um fractal. Comece com
esses círculos, e então continue
desenhando o círculo maior que se encaixe
no espaço intermediário.
Esta é chamada uma "Vedação Apolônia".
Pode-se escolher diferentes conjuntos de
círculos iniciais, e funcionam bem.
Ela é bem conhecida porque
tem propriedades interessantes
envolvendo a curva relativa dos círculos
que é com aparência bem legal
e sugere um jogo de rabisco incrível.
Passo um:
desenhe QUALQUER forma.
Passo dois: desenho o MAIOR círculo
possível com essa forma.
Passo três: desenhe o maior círculo
possível com o espaço restante.
Passo quatro:
veja o passo três.
Enquanto houver espaço
depois do primeiro círculo,
sugerindo não começar com um círculo,
este método transforma qualquer forma em
um fractal. Pode-se fazer isso com
triângulos, com estrelas, e não se
esqueça de enfeitar!
Pode-se fazer isso com elefantes,
ou cobras,
ou com o perfil de um de seus amigos.
Escolhi Abraham Lincoln!
Incrível.
Como ficaria com outras formas?
Por exemplo, triângulos equiláteros
preenchendo esse outro triângulo,
o triângulo que preenche está na
orientação oposta ao triângulo de fora
e orientação importa.
Isto gera nosso amigo,
"Triângulo de Sierpinski,"
que, a propósito, você também
pode fazer de Abraham Lincoln.
Triângulos parecem funcionar
bem neste caso, que é especial
e o problema de triângulos é que
eles nem sempre se encaixam.
Por exemplo, nesta forma o maior
triângulo equilátero tem o canto superior
sozinho e você não deve deixar
isso parar seu jogo de rabisco divertido,
mas falta um pouco da beleza
do jogo de círculos.
E se pudesse mudar a orientação
do triângulo para obter o maior possível?
E se não precisasse ser equilátero?
Para formas poligonais, o jogo corre de
forma rápida, que não é bom.
Mas para formas curvas complicadas,
o processo torna-se difícil.
Como você acha o maior triângulo?
Não é sempre óbvio qual triângulo tem
maior área, especialmente quando sua forma
inicial não é bem definida.
Este é um tipo interessante de questão,
por ter uma resposta correta,
mas se você for escrever um
programa de computador
que preencha uma forma com outra,
seguindo a mais simples versão das regras,
você precisará aprender algo sobre
geometria computacional.
Pode-se ir além de triângulos, quadrados
ou até elefantes, mas círculo é ótimo por
ser fantasticamente redondo.
Vamos para um rápido desafio de rabisco:
Um círculo pode ser definido por três
pontos, então desenhe três pontos
e tente encontrar o círculo a que eles
pertencem. Uma das coisas que me intriga
sobre o jogo dos círculos é que sempre que
você tiver um desses tipos de cantos,
você sabe que terá uma infinidade de
círculos indo até ele.
Para cada um desses círculos infinitos
crie alguns cantos a mais que precisarão
de um número infinito de círculos,
e continue assim.
Obtém-se um número incrível de
círculos reproduzindo outros,
e você consegue ver o quão
denso infinito pode ser.
A coisa surpreendente é que este tipo de
infinito é o menor infinito contável,
e tem tipos de infinitos que são
assustadoramente "mais infinitos".
Mas espere, aqui temos algo interessante:
se chamarmos esta distância de Uma
Unidade de Comprimento Arbitrária,
então essa distância mais essa, ...
é uma série infinita que
se aproxima de UM.
E esta é outra, que também
se aproxima de um.
E aqui temos outra, e outra. E enquanto
a forma de fora for bem definida,
então a série será.
Mas se você quiser o tipo simples de
série, onde o diâmetro de cada círculo é
uma certa porcentagem do anterior,
você terá linhas retas. O que faz sentido
se você souber como a inclinação da
linha reta é definida.
Isto é bom, porque sugere uma maneira
maravilhosa, com matemática e desenho
para resolver o problema do camelo
sem uso de cálculos.
Se ao invés de camelo tivéssemos círculos,
poderíamos ter feito a série infinita
certa com um ângulo que termina junto
com a página, e preenchendo-o.
Substitua círculos com camelos e "voila"!
Caravana infinita do Saara,
sumindo na distância,
sem necessidade de números!
Tenho uma quantidade infinita de
informação e gostaria de te falar
nesta última sentença. Talvez ainda caiba
nos próximos cinco segundos.
se eu disser a próxima frase
duas vezes mais rápido,
e a próxima duas vezes
mais rápido que a anterior
e a próxima...
[Traduzido por: Sérgio Fleury]
[Revisão por: Márcia Yu]