Całki: podstawienie trygonometryczne 2

Kolejny przykład obliczania całki, przy użyciu podstawienia trygonometrycznego.

Powiedzmy, że mamy obliczyć całkę nieoznaczoną z 1 przez

36 plus x do kwadratu dx.

To całka nie jest prosta do policzenia

bez użycia trygonometrii.

Nie mogę zrobić prostego u-podstawienia, bo nie mam nigdzie

pochodnej tego wyrażenia.

To byłoby proste, gdybym tutaj było 2x.

Wtedy wystarczyłoby powiedzieć, że pochodna tego to 2x,

i wystarczy zrobić u-podstawienie.

Niestety nie ma tutaj 2x, jak więc można to rozwiązać?

Ponownie sięgniemy do tożsamości trygonometrycznych.

Zobaczmy jaką tożsamość trygonometryczną możemy tutaj zastosować.

Pierwszą rzecz, którą robię, mój mózg tak po prostu działa--

widzę wyrażenia postaci stała

plus coś do kwadratu, co sugeruje użycie

tożsamości trygonometrycznej.

Ja jednak lubię mieć wyrażenia postaci 1 plus coś do kwadratu.

Przepiszę więc tę całkę jako

dx w mianowniku

To jest po prostu razy dx.

Napiszę ładniejszy symbol całki niż ten.

To jest równe dx przez 36 razy 1 plus

x do kwadratu przez 36.

1 plus x do kwadratu przez 36, to inny sposób zapisania

tej całki.

Zobaczmy, czy możemy podstawić tutaj jakąś tożsamość trygonometryczna,

która w jakiś sposób

uprościłaby zadanie.

Ta, która mi się kojarzy, i jeżeli jej nie znacie,

to zapiszę ją w tym miejscu, to 1 plus

tangens kwadrat teta.

Udowodnijmy ją.

Tangens kwadrat teta równa się 1 plus, z definicji tangensa

sinus kwadrat teta przez

cosinus kwadrat teta.

1 jest równe cosinus kwadrat teta przez cosinus kwadrat teta.

Więc mogę to zapisać jako cosinus kwadrat teta przez

cosinus kwadrat teta, to jest 1, plus sinus kwadrat teta przez

cosinus kwadrat teta, i mamy teraz

wspólny mianownik.

Czym jest cosinus kwadrat plus sinus kwadrat?

Definicja koła jednostkowego.

To jest równe 1 przez cosinus kwadrat teta.

Możemy też powiedzieć, że to jest równe 1 przez cosinus teta do kwadratu.

1 przez cosinus to secans.

Czyli to jest równe secans kwadrat teta.

Jeżeli zrobimy takie podstawienie, jeżeli

powiemy że to jest równe tangens teta,

albo tangens kwadrat teta.

Wtedy to wyrażenie będzie równe 1 plus tangens kwadrat teta,

a to jest równe secans kwadrat.

Może to pozwoli nam nieco uprościć równanie.

Powiemy, że x do kwadratu przez 36 jest równe

tangens kwadrat teta.

Po wyciągnięciu pierwiastka kwadratowego z obu stron równaniu

otrzymujemy, że x przez 6 jest równe tangens teta, czyli

że x równa się 6 tangens teta.

Jeżeli weźmiemy pochodną obu stron względem

teta , otrzymamy dx równa się --jaka jest

pochodna tangens teta?

Mógłbym to pokazać, posługując się prostymi

zasadami, które są tutaj.

Właściwie, na wszelki wypadek zrobię to.

Więc pochodna tangens teta, nigdy nie zaszkodzi to zrobić

z boku. Zrobię to tutaj.

To będzie równe 6 razy pochodna tangens teta

względem teta.

Musimy ją obliczyć.

Pochodna tangens teta to to samo

co pochodna sinus teta przez cosinus teta względem teta.

To jest pochodna tangensa.

A to jest to samo, co pochodna względem teta,

pozwólcie, że przesuę się trochę bardziej na prawo.

Ponieważ nigdy nie pamiętam zasady liczenia pochodnej z ilorazu,

mówiłem wam w przeszłości, że jest ona nieco dziwna. Sinus teta razy

cosinus teta do minus pierwszej potęgi.

Czemu to się równa?

Możemy powiedzieć, że to się równa pochodnej

pierwszego czynnika, a ta jest

równa cosinus teta.

To się równa cosinus teta, to jest pochodna

sinus teta razy nasz drugi czynnik.

razy cosinus teta do minus pierwszej potęgi.

Wstawiłem tu nawias, a minus 1 napisałem tutaj,

ponieważ nie chcę pisać minus 1,

żebyście nie myśleli, że mówię o funkcji odwrotnej do cosinusa, czyli arccosinus.

Więc to jest pochodna sinus teta razy cosinus i teraz

dodajemy pochodną cosinusa.

To jest tylko cosinus, tylko cosinua do minus pierwszej potęgi.

Więc to będzie minus 1 razy cosinus do minus drugiej potęgi teta.

To jest pochodna funkcji zewnętrznej razy

pochodna funkcji wewnętrznej.

Przewinę jeszcze trochę.

Więc to jest pochodna funkcji zewnętrznej.

jeżeli zamiast cosinus teta byłby x, powiedzielibyśmy, że pochodna x do minus pierwszej

jest równa minus 1 razy x do minus 2.

Teraz razy pochodna funkcji wewnętrznej.

Z cosinus teta względem teta.

Więc to jest razy minus sinus teta.

Pomnożę, to wszystko przez sinus teta.

Pochodna tego, którą zapisałem na zielono,

razy pierwszy czynnik.

Więc czemu to się równa?

Ten cosinus teta podzielony przez cosinus

teta równa się 1.

Potem mamy minus 1 i mam minus sinus teta.

To daje nam plus.

Co zatem otrzymaliśmy?

Mam sinus kwadrat, sinus teta razy sinus teta,

przez cosinus kwadrat.

Więc plus sinus kwadrat teta przez cosinus kwadrat teta.

A to jest równe 1 plus tangens kwadrat teta.

Czemu się równa 1 plus tangens kwadrat teta?

Przed chwilą to pokazałem.

To się równa secans kwadrat teta.

Więc pochodna tangens teta jest równa

secans kwadrat teta.

Cała ta praca coś nam dała,

i okazało się to całkiem proste.

Więc dx po d teta równa się secans

kwadrat teta.

Jeżeli, chcemy wiedzieć czemu równa się dx, to dx równa się

po prostu obie strony razy d teta.

Więc to jest 6 razy secans kwadrat teta d teta.

To jest nasze dx.

Oczywiście, w przyszłości będziemy musieli zrobić

podstawienie odwrotne, jeżeli chcemy rozwiązać względem teta.

To jest całkiem oczywiste.

Bierzemy arcus tangens obu stron tego równania.

Mamy, że arcus tangens x przez 6 równa się teta.

Zostawimy to na później.

Więc do czego redukuje się nasza całka?

Całkę liczymy teraz z dx.

Czym jest dx?

dx równa się 6 secans kwadrat teta d teta

to wszystko przez mianownik, który jest równy 36

razy 1 plus tangens kwadrat teta.

Wiemy, że to jest secans kwadrat teta.

Pokazywałem to już wiele razy.

Mamy zatem secans kwadrat teta w mianowniku.

Mamy też secans kwadrat teta w liczniku, więc się skaracają.

To się skraca.

Więc całka uprościła się do 6 przez 36, a to się równa

1 przez 6 d teta.

A to się równa 1/6 teta plus c.

Teraz możemy dokonać podstawienia odwrotnego, używając tego wyniku.

Teta jest równe arctangens x przez 6.

Czyli całka z 1 przez 36 plus x kwadrat jest

równa 1/6 razy teta plus c.

To się równa arctangens x przez 6 plus c.

I skończyliśmy.

To nie było takie straszne.