WEBVTT 00:00:00.640 --> 00:00:05.290 Powiedzmy, że mamy obliczyć całkę nieoznaczoną z 1 przez 00:00:05.290 --> 00:00:15.300 36 plus x do kwadratu dx. 00:00:15.300 --> 00:00:17.910 To całka nie jest prosta do policzenia 00:00:17.910 --> 00:00:19.830 bez użycia trygonometrii. 00:00:19.830 --> 00:00:22.130 Nie mogę zrobić prostego u-podstawienia, bo nie mam nigdzie 00:00:22.130 --> 00:00:23.480 pochodnej tego wyrażenia. 00:00:23.480 --> 00:00:25.340 To byłoby proste, gdybym tutaj było 2x. 00:00:25.340 --> 00:00:27.910 Wtedy wystarczyłoby powiedzieć, że pochodna tego to 2x, 00:00:27.910 --> 00:00:30.470 i wystarczy zrobić u-podstawienie. 00:00:30.470 --> 00:00:32.880 Niestety nie ma tutaj 2x, jak więc można to rozwiązać? 00:00:32.880 --> 00:00:35.640 Ponownie sięgniemy do tożsamości trygonometrycznych. 00:00:35.640 --> 00:00:38.100 Zobaczmy jaką tożsamość trygonometryczną możemy tutaj zastosować. 00:00:38.100 --> 00:00:40.840 Pierwszą rzecz, którą robię, mój mózg tak po prostu działa-- 00:00:40.840 --> 00:00:43.920 widzę wyrażenia postaci stała 00:00:43.920 --> 00:00:46.350 plus coś do kwadratu, co sugeruje użycie 00:00:46.350 --> 00:00:47.300 tożsamości trygonometrycznej. 00:00:47.300 --> 00:00:50.600 Ja jednak lubię mieć wyrażenia postaci 1 plus coś do kwadratu. 00:00:50.600 --> 00:00:54.210 Przepiszę więc tę całkę jako 00:00:54.210 --> 00:00:55.720 dx w mianowniku 00:00:55.720 --> 00:00:57.870 To jest po prostu razy dx. 00:00:57.870 --> 00:00:59.430 Napiszę ładniejszy symbol całki niż ten. 00:00:59.430 --> 00:01:07.370 To jest równe dx przez 36 razy 1 plus 00:01:07.370 --> 00:01:11.800 x do kwadratu przez 36. 00:01:11.800 --> 00:01:14.130 1 plus x do kwadratu przez 36, to inny sposób zapisania 00:01:14.130 --> 00:01:15.420 tej całki. 00:01:15.420 --> 00:01:19.110 Zobaczmy, czy możemy podstawić tutaj jakąś tożsamość trygonometryczna, 00:01:19.110 --> 00:01:22.400 która w jakiś sposób 00:01:22.400 --> 00:01:24.560 uprościłaby zadanie. 00:01:24.560 --> 00:01:28.190 Ta, która mi się kojarzy, i jeżeli jej nie znacie, 00:01:28.190 --> 00:01:30.430 to zapiszę ją w tym miejscu, to 1 plus 00:01:30.430 --> 00:01:31.630 tangens kwadrat teta. 00:01:35.390 --> 00:01:36.900 Udowodnijmy ją. 00:01:36.900 --> 00:01:39.790 Tangens kwadrat teta równa się 1 plus, z definicji tangensa 00:01:39.790 --> 00:01:45.210 sinus kwadrat teta przez 00:01:45.210 --> 00:01:47.160 cosinus kwadrat teta. 00:01:47.160 --> 00:01:50.160 1 jest równe cosinus kwadrat teta przez cosinus kwadrat teta. 00:01:50.160 --> 00:01:57.250 Więc mogę to zapisać jako cosinus kwadrat teta przez 00:01:57.250 --> 00:02:02.990 cosinus kwadrat teta, to jest 1, plus sinus kwadrat teta przez 00:02:02.990 --> 00:02:04.860 cosinus kwadrat teta, i mamy teraz 00:02:04.860 --> 00:02:06.320 wspólny mianownik. 00:02:06.320 --> 00:02:08.490 Czym jest cosinus kwadrat plus sinus kwadrat? 00:02:08.490 --> 00:02:09.970 Definicja koła jednostkowego. 00:02:09.970 --> 00:02:14.210 To jest równe 1 przez cosinus kwadrat teta. 00:02:14.210 --> 00:02:17.600 Możemy też powiedzieć, że to jest równe 1 przez cosinus teta do kwadratu. 00:02:17.600 --> 00:02:19.540 1 przez cosinus to secans. 00:02:19.540 --> 00:02:24.090 Czyli to jest równe secans kwadrat teta. 00:02:24.090 --> 00:02:28.270 Jeżeli zrobimy takie podstawienie, jeżeli 00:02:28.270 --> 00:02:32.340 powiemy że to jest równe tangens teta, 00:02:32.340 --> 00:02:33.590 albo tangens kwadrat teta. 00:02:33.590 --> 00:02:37.310 Wtedy to wyrażenie będzie równe 1 plus tangens kwadrat teta, 00:02:37.310 --> 00:02:38.700 a to jest równe secans kwadrat. 00:02:38.700 --> 00:02:42.860 Może to pozwoli nam nieco uprościć równanie. 00:02:42.860 --> 00:02:50.080 Powiemy, że x do kwadratu przez 36 jest równe 00:02:50.080 --> 00:02:52.710 tangens kwadrat teta. 00:02:52.710 --> 00:02:55.440 Po wyciągnięciu pierwiastka kwadratowego z obu stron równaniu 00:02:55.440 --> 00:03:04.090 otrzymujemy, że x przez 6 jest równe tangens teta, czyli 00:03:04.090 --> 00:03:08.540 że x równa się 6 tangens teta. 00:03:08.540 --> 00:03:10.950 Jeżeli weźmiemy pochodną obu stron względem 00:03:10.950 --> 00:03:16.140 teta , otrzymamy dx równa się --jaka jest 00:03:16.140 --> 00:03:18.610 pochodna tangens teta? 00:03:18.610 --> 00:03:21.120 Mógłbym to pokazać, posługując się prostymi 00:03:21.120 --> 00:03:23.070 zasadami, które są tutaj. 00:03:23.070 --> 00:03:26.670 Właściwie, na wszelki wypadek zrobię to. 00:03:26.670 --> 00:03:29.000 Więc pochodna tangens teta, nigdy nie zaszkodzi to zrobić 00:03:29.000 --> 00:03:31.140 z boku. Zrobię to tutaj. 00:03:31.140 --> 00:03:34.470 To będzie równe 6 razy pochodna tangens teta 00:03:34.470 --> 00:03:36.490 względem teta. 00:03:36.490 --> 00:03:39.050 Musimy ją obliczyć. 00:03:39.050 --> 00:03:43.040 Pochodna tangens teta to to samo 00:03:43.040 --> 00:03:48.030 co pochodna sinus teta przez cosinus teta względem teta. 00:03:48.030 --> 00:03:50.270 To jest pochodna tangensa. 00:03:50.270 --> 00:03:54.380 A to jest to samo, co pochodna względem teta, 00:03:54.380 --> 00:03:57.520 pozwólcie, że przesuę się trochę bardziej na prawo. 00:03:57.520 --> 00:03:59.650 Ponieważ nigdy nie pamiętam zasady liczenia pochodnej z ilorazu, 00:03:59.650 --> 00:04:04.090 mówiłem wam w przeszłości, że jest ona nieco dziwna. Sinus teta razy 00:04:04.090 --> 00:04:09.560 cosinus teta do minus pierwszej potęgi. 00:04:09.560 --> 00:04:10.860 Czemu to się równa? 00:04:10.860 --> 00:04:14.090 Możemy powiedzieć, że to się równa pochodnej 00:04:14.090 --> 00:04:17.520 pierwszego czynnika, a ta jest 00:04:17.520 --> 00:04:19.050 równa cosinus teta. 00:04:19.050 --> 00:04:21.760 To się równa cosinus teta, to jest pochodna 00:04:21.760 --> 00:04:25.050 sinus teta razy nasz drugi czynnik. 00:04:25.050 --> 00:04:29.660 razy cosinus teta do minus pierwszej potęgi. 00:04:29.660 --> 00:04:32.810 Wstawiłem tu nawias, a minus 1 napisałem tutaj, 00:04:32.810 --> 00:04:34.610 ponieważ nie chcę pisać minus 1, 00:04:34.610 --> 00:04:37.590 żebyście nie myśleli, że mówię o funkcji odwrotnej do cosinusa, czyli arccosinus. 00:04:37.590 --> 00:04:41.680 Więc to jest pochodna sinus teta razy cosinus i teraz 00:04:41.680 --> 00:04:45.690 dodajemy pochodną cosinusa. 00:04:48.720 --> 00:04:50.770 To jest tylko cosinus, tylko cosinua do minus pierwszej potęgi. 00:04:50.770 --> 00:04:57.710 Więc to będzie minus 1 razy cosinus do minus drugiej potęgi teta. 00:04:57.710 --> 00:05:01.466 To jest pochodna funkcji zewnętrznej razy 00:05:01.466 --> 00:05:03.110 pochodna funkcji wewnętrznej. 00:05:03.110 --> 00:05:05.060 Przewinę jeszcze trochę. 00:05:05.060 --> 00:05:06.620 Więc to jest pochodna funkcji zewnętrznej. 00:05:06.620 --> 00:05:09.160 jeżeli zamiast cosinus teta byłby x, powiedzielibyśmy, że pochodna x do minus pierwszej 00:05:09.160 --> 00:05:12.360 jest równa minus 1 razy x do minus 2. 00:05:12.360 --> 00:05:14.560 Teraz razy pochodna funkcji wewnętrznej. 00:05:14.560 --> 00:05:16.230 Z cosinus teta względem teta. 00:05:16.230 --> 00:05:21.180 Więc to jest razy minus sinus teta. 00:05:21.180 --> 00:05:26.350 Pomnożę, to wszystko przez sinus teta. 00:05:26.350 --> 00:05:28.690 Pochodna tego, którą zapisałem na zielono, 00:05:28.690 --> 00:05:30.550 razy pierwszy czynnik. 00:05:30.550 --> 00:05:32.520 Więc czemu to się równa? 00:05:32.520 --> 00:05:34.890 Ten cosinus teta podzielony przez cosinus 00:05:34.890 --> 00:05:36.960 teta równa się 1. 00:05:36.960 --> 00:05:40.400 Potem mamy minus 1 i mam minus sinus teta. 00:05:40.400 --> 00:05:42.670 To daje nam plus. 00:05:42.670 --> 00:05:43.190 Co zatem otrzymaliśmy? 00:05:43.190 --> 00:05:45.910 Mam sinus kwadrat, sinus teta razy sinus teta, 00:05:45.910 --> 00:05:47.980 przez cosinus kwadrat. 00:05:47.980 --> 00:05:54.430 Więc plus sinus kwadrat teta przez cosinus kwadrat teta. 00:05:54.430 --> 00:05:58.570 A to jest równe 1 plus tangens kwadrat teta. 00:05:58.570 --> 00:06:00.290 Czemu się równa 1 plus tangens kwadrat teta? 00:06:00.290 --> 00:06:00.980 Przed chwilą to pokazałem. 00:06:00.980 --> 00:06:04.720 To się równa secans kwadrat teta. 00:06:04.720 --> 00:06:07.100 Więc pochodna tangens teta jest równa 00:06:07.100 --> 00:06:09.410 secans kwadrat teta. 00:06:09.410 --> 00:06:11.940 Cała ta praca coś nam dała, 00:06:11.940 --> 00:06:13.490 i okazało się to całkiem proste. 00:06:13.490 --> 00:06:17.440 Więc dx po d teta równa się secans 00:06:17.440 --> 00:06:19.780 kwadrat teta. 00:06:19.780 --> 00:06:23.440 Jeżeli, chcemy wiedzieć czemu równa się dx, to dx równa się 00:06:23.440 --> 00:06:25.510 po prostu obie strony razy d teta. 00:06:25.510 --> 00:06:32.680 Więc to jest 6 razy secans kwadrat teta d teta. 00:06:32.680 --> 00:06:34.290 To jest nasze dx. 00:06:34.290 --> 00:06:37.330 Oczywiście, w przyszłości będziemy musieli zrobić 00:06:37.330 --> 00:06:39.780 podstawienie odwrotne, jeżeli chcemy rozwiązać względem teta. 00:06:39.780 --> 00:06:41.000 To jest całkiem oczywiste. 00:06:41.000 --> 00:06:43.600 Bierzemy arcus tangens obu stron tego równania. 00:06:43.600 --> 00:06:50.270 Mamy, że arcus tangens x przez 6 równa się teta. 00:06:50.270 --> 00:06:52.600 Zostawimy to na później. 00:06:52.600 --> 00:06:54.640 Więc do czego redukuje się nasza całka? 00:06:54.640 --> 00:06:58.020 Całkę liczymy teraz z dx. 00:06:58.020 --> 00:06:59.210 Czym jest dx? 00:06:59.210 --> 00:07:06.430 dx równa się 6 secans kwadrat teta d teta 00:07:06.430 --> 00:07:11.860 to wszystko przez mianownik, który jest równy 36 00:07:11.860 --> 00:07:19.380 razy 1 plus tangens kwadrat teta. 00:07:19.380 --> 00:07:23.600 Wiemy, że to jest secans kwadrat teta. 00:07:23.600 --> 00:07:25.420 Pokazywałem to już wiele razy. 00:07:25.420 --> 00:07:27.470 Mamy zatem secans kwadrat teta w mianowniku. 00:07:27.470 --> 00:07:31.370 Mamy też secans kwadrat teta w liczniku, więc się skaracają. 00:07:31.370 --> 00:07:32.990 To się skraca. 00:07:32.990 --> 00:07:37.400 Więc całka uprościła się do 6 przez 36, a to się równa 00:07:37.400 --> 00:07:40.910 1 przez 6 d teta. 00:07:40.910 --> 00:07:45.760 A to się równa 1/6 teta plus c. 00:07:45.760 --> 00:07:48.650 Teraz możemy dokonać podstawienia odwrotnego, używając tego wyniku. 00:07:48.650 --> 00:07:52.240 Teta jest równe arctangens x przez 6. 00:07:52.240 --> 00:07:55.710 Czyli całka z 1 przez 36 plus x kwadrat jest 00:07:55.710 --> 00:07:58.220 równa 1/6 razy teta plus c. 00:07:58.220 --> 00:08:06.210 To się równa arctangens x przez 6 plus c. 00:08:06.210 --> 00:08:07.000 I skończyliśmy. 00:08:07.000 --> 00:08:09.770 To nie było takie straszne.