0:00:00.640,0:00:05.290 Powiedzmy, że mamy obliczyć całkę nieoznaczoną z 1 przez 0:00:05.290,0:00:15.300 36 plus x do kwadratu dx. 0:00:15.300,0:00:17.910 To całka nie jest prosta do policzenia 0:00:17.910,0:00:19.830 bez użycia trygonometrii. 0:00:19.830,0:00:22.130 Nie mogę zrobić prostego u-podstawienia, bo nie mam nigdzie 0:00:22.130,0:00:23.480 pochodnej tego wyrażenia. 0:00:23.480,0:00:25.340 To byłoby proste, gdybym tutaj było 2x. 0:00:25.340,0:00:27.910 Wtedy wystarczyłoby powiedzieć, że pochodna tego to 2x, 0:00:27.910,0:00:30.470 i wystarczy zrobić u-podstawienie. 0:00:30.470,0:00:32.880 Niestety nie ma tutaj 2x, jak więc można to rozwiązać? 0:00:32.880,0:00:35.640 Ponownie sięgniemy do tożsamości trygonometrycznych. 0:00:35.640,0:00:38.100 Zobaczmy jaką tożsamość trygonometryczną możemy tutaj zastosować. 0:00:38.100,0:00:40.840 Pierwszą rzecz, którą robię, mój mózg tak po prostu działa-- 0:00:40.840,0:00:43.920 widzę wyrażenia postaci stała 0:00:43.920,0:00:46.350 plus coś do kwadratu, co sugeruje użycie 0:00:46.350,0:00:47.300 tożsamości trygonometrycznej. 0:00:47.300,0:00:50.600 Ja jednak lubię mieć wyrażenia postaci 1 plus coś do kwadratu. 0:00:50.600,0:00:54.210 Przepiszę więc tę całkę jako 0:00:54.210,0:00:55.720 dx w mianowniku 0:00:55.720,0:00:57.870 To jest po prostu razy dx. 0:00:57.870,0:00:59.430 Napiszę ładniejszy symbol całki niż ten. 0:00:59.430,0:01:07.370 To jest równe dx przez 36 razy 1 plus 0:01:07.370,0:01:11.800 x do kwadratu przez 36. 0:01:11.800,0:01:14.130 1 plus x do kwadratu przez 36, to inny sposób zapisania 0:01:14.130,0:01:15.420 tej całki. 0:01:15.420,0:01:19.110 Zobaczmy, czy możemy podstawić tutaj jakąś tożsamość trygonometryczna, 0:01:19.110,0:01:22.400 która w jakiś sposób 0:01:22.400,0:01:24.560 uprościłaby zadanie. 0:01:24.560,0:01:28.190 Ta, która mi się kojarzy, i jeżeli jej nie znacie, 0:01:28.190,0:01:30.430 to zapiszę ją w tym miejscu, to 1 plus 0:01:30.430,0:01:31.630 tangens kwadrat teta. 0:01:35.390,0:01:36.900 Udowodnijmy ją. 0:01:36.900,0:01:39.790 Tangens kwadrat teta równa się 1 plus, z definicji tangensa 0:01:39.790,0:01:45.210 sinus kwadrat teta przez 0:01:45.210,0:01:47.160 cosinus kwadrat teta. 0:01:47.160,0:01:50.160 1 jest równe cosinus kwadrat teta przez cosinus kwadrat teta. 0:01:50.160,0:01:57.250 Więc mogę to zapisać jako cosinus kwadrat teta przez 0:01:57.250,0:02:02.990 cosinus kwadrat teta, to jest 1, plus sinus kwadrat teta przez 0:02:02.990,0:02:04.860 cosinus kwadrat teta, i mamy teraz 0:02:04.860,0:02:06.320 wspólny mianownik. 0:02:06.320,0:02:08.490 Czym jest cosinus kwadrat plus sinus kwadrat? 0:02:08.490,0:02:09.970 Definicja koła jednostkowego. 0:02:09.970,0:02:14.210 To jest równe 1 przez cosinus kwadrat teta. 0:02:14.210,0:02:17.600 Możemy też powiedzieć, że to jest równe 1 przez cosinus teta do kwadratu. 0:02:17.600,0:02:19.540 1 przez cosinus to secans. 0:02:19.540,0:02:24.090 Czyli to jest równe secans kwadrat teta. 0:02:24.090,0:02:28.270 Jeżeli zrobimy takie podstawienie, jeżeli 0:02:28.270,0:02:32.340 powiemy że to jest równe tangens teta, 0:02:32.340,0:02:33.590 albo tangens kwadrat teta. 0:02:33.590,0:02:37.310 Wtedy to wyrażenie będzie równe 1 plus tangens kwadrat teta, 0:02:37.310,0:02:38.700 a to jest równe secans kwadrat. 0:02:38.700,0:02:42.860 Może to pozwoli nam nieco uprościć równanie. 0:02:42.860,0:02:50.080 Powiemy, że x do kwadratu przez 36 jest równe 0:02:50.080,0:02:52.710 tangens kwadrat teta. 0:02:52.710,0:02:55.440 Po wyciągnięciu pierwiastka kwadratowego z obu stron równaniu 0:02:55.440,0:03:04.090 otrzymujemy, że x przez 6 jest równe tangens teta, czyli 0:03:04.090,0:03:08.540 że x równa się 6 tangens teta. 0:03:08.540,0:03:10.950 Jeżeli weźmiemy pochodną obu stron względem 0:03:10.950,0:03:16.140 teta , otrzymamy dx równa się --jaka jest 0:03:16.140,0:03:18.610 pochodna tangens teta? 0:03:18.610,0:03:21.120 Mógłbym to pokazać, posługując się prostymi 0:03:21.120,0:03:23.070 zasadami, które są tutaj. 0:03:23.070,0:03:26.670 Właściwie, na wszelki wypadek zrobię to. 0:03:26.670,0:03:29.000 Więc pochodna tangens teta, nigdy nie zaszkodzi to zrobić 0:03:29.000,0:03:31.140 z boku. Zrobię to tutaj. 0:03:31.140,0:03:34.470 To będzie równe 6 razy pochodna tangens teta 0:03:34.470,0:03:36.490 względem teta. 0:03:36.490,0:03:39.050 Musimy ją obliczyć. 0:03:39.050,0:03:43.040 Pochodna tangens teta to to samo 0:03:43.040,0:03:48.030 co pochodna sinus teta przez cosinus teta względem teta. 0:03:48.030,0:03:50.270 To jest pochodna tangensa. 0:03:50.270,0:03:54.380 A to jest to samo, co pochodna względem teta, 0:03:54.380,0:03:57.520 pozwólcie, że przesuę się trochę bardziej na prawo. 0:03:57.520,0:03:59.650 Ponieważ nigdy nie pamiętam zasady liczenia pochodnej z ilorazu, 0:03:59.650,0:04:04.090 mówiłem wam w przeszłości, że jest ona nieco dziwna. Sinus teta razy 0:04:04.090,0:04:09.560 cosinus teta do minus pierwszej potęgi. 0:04:09.560,0:04:10.860 Czemu to się równa? 0:04:10.860,0:04:14.090 Możemy powiedzieć, że to się równa pochodnej 0:04:14.090,0:04:17.520 pierwszego czynnika, a ta jest 0:04:17.520,0:04:19.050 równa cosinus teta. 0:04:19.050,0:04:21.760 To się równa cosinus teta, to jest pochodna 0:04:21.760,0:04:25.050 sinus teta razy nasz drugi czynnik. 0:04:25.050,0:04:29.660 razy cosinus teta do minus pierwszej potęgi. 0:04:29.660,0:04:32.810 Wstawiłem tu nawias, a minus 1 napisałem tutaj, 0:04:32.810,0:04:34.610 ponieważ nie chcę pisać minus 1, 0:04:34.610,0:04:37.590 żebyście nie myśleli, że mówię o funkcji odwrotnej do cosinusa, czyli arccosinus. 0:04:37.590,0:04:41.680 Więc to jest pochodna sinus teta razy cosinus i teraz 0:04:41.680,0:04:45.690 dodajemy pochodną cosinusa. 0:04:48.720,0:04:50.770 To jest tylko cosinus, tylko cosinua do minus pierwszej potęgi. 0:04:50.770,0:04:57.710 Więc to będzie minus 1 razy cosinus do minus drugiej potęgi teta. 0:04:57.710,0:05:01.466 To jest pochodna funkcji zewnętrznej razy 0:05:01.466,0:05:03.110 pochodna funkcji wewnętrznej. 0:05:03.110,0:05:05.060 Przewinę jeszcze trochę. 0:05:05.060,0:05:06.620 Więc to jest pochodna funkcji zewnętrznej. 0:05:06.620,0:05:09.160 jeżeli zamiast cosinus teta byłby x, powiedzielibyśmy, że pochodna x do minus pierwszej 0:05:09.160,0:05:12.360 jest równa minus 1 razy x do minus 2. 0:05:12.360,0:05:14.560 Teraz razy pochodna funkcji wewnętrznej. 0:05:14.560,0:05:16.230 Z cosinus teta względem teta. 0:05:16.230,0:05:21.180 Więc to jest razy minus sinus teta. 0:05:21.180,0:05:26.350 Pomnożę, to wszystko przez sinus teta. 0:05:26.350,0:05:28.690 Pochodna tego, którą zapisałem na zielono, 0:05:28.690,0:05:30.550 razy pierwszy czynnik. 0:05:30.550,0:05:32.520 Więc czemu to się równa? 0:05:32.520,0:05:34.890 Ten cosinus teta podzielony przez cosinus 0:05:34.890,0:05:36.960 teta równa się 1. 0:05:36.960,0:05:40.400 Potem mamy minus 1 i mam minus sinus teta. 0:05:40.400,0:05:42.670 To daje nam plus. 0:05:42.670,0:05:43.190 Co zatem otrzymaliśmy? 0:05:43.190,0:05:45.910 Mam sinus kwadrat, sinus teta razy sinus teta, 0:05:45.910,0:05:47.980 przez cosinus kwadrat. 0:05:47.980,0:05:54.430 Więc plus sinus kwadrat teta przez cosinus kwadrat teta. 0:05:54.430,0:05:58.570 A to jest równe 1 plus tangens kwadrat teta. 0:05:58.570,0:06:00.290 Czemu się równa 1 plus tangens kwadrat teta? 0:06:00.290,0:06:00.980 Przed chwilą to pokazałem. 0:06:00.980,0:06:04.720 To się równa secans kwadrat teta. 0:06:04.720,0:06:07.100 Więc pochodna tangens teta jest równa 0:06:07.100,0:06:09.410 secans kwadrat teta. 0:06:09.410,0:06:11.940 Cała ta praca coś nam dała, 0:06:11.940,0:06:13.490 i okazało się to całkiem proste. 0:06:13.490,0:06:17.440 Więc dx po d teta równa się secans 0:06:17.440,0:06:19.780 kwadrat teta. 0:06:19.780,0:06:23.440 Jeżeli, chcemy wiedzieć czemu równa się dx, to dx równa się 0:06:23.440,0:06:25.510 po prostu obie strony razy d teta. 0:06:25.510,0:06:32.680 Więc to jest 6 razy secans kwadrat teta d teta. 0:06:32.680,0:06:34.290 To jest nasze dx. 0:06:34.290,0:06:37.330 Oczywiście, w przyszłości będziemy musieli zrobić 0:06:37.330,0:06:39.780 podstawienie odwrotne, jeżeli chcemy rozwiązać względem teta. 0:06:39.780,0:06:41.000 To jest całkiem oczywiste. 0:06:41.000,0:06:43.600 Bierzemy arcus tangens obu stron tego równania. 0:06:43.600,0:06:50.270 Mamy, że arcus tangens x przez 6 równa się teta. 0:06:50.270,0:06:52.600 Zostawimy to na później. 0:06:52.600,0:06:54.640 Więc do czego redukuje się nasza całka? 0:06:54.640,0:06:58.020 Całkę liczymy teraz z dx. 0:06:58.020,0:06:59.210 Czym jest dx? 0:06:59.210,0:07:06.430 dx równa się 6 secans kwadrat teta d teta 0:07:06.430,0:07:11.860 to wszystko przez mianownik, który jest równy 36 0:07:11.860,0:07:19.380 razy 1 plus tangens kwadrat teta. 0:07:19.380,0:07:23.600 Wiemy, że to jest secans kwadrat teta. 0:07:23.600,0:07:25.420 Pokazywałem to już wiele razy. 0:07:25.420,0:07:27.470 Mamy zatem secans kwadrat teta w mianowniku. 0:07:27.470,0:07:31.370 Mamy też secans kwadrat teta w liczniku, więc się skaracają. 0:07:31.370,0:07:32.990 To się skraca. 0:07:32.990,0:07:37.400 Więc całka uprościła się do 6 przez 36, a to się równa 0:07:37.400,0:07:40.910 1 przez 6 d teta. 0:07:40.910,0:07:45.760 A to się równa 1/6 teta plus c. 0:07:45.760,0:07:48.650 Teraz możemy dokonać podstawienia odwrotnego, używając tego wyniku. 0:07:48.650,0:07:52.240 Teta jest równe arctangens x przez 6. 0:07:52.240,0:07:55.710 Czyli całka z 1 przez 36 plus x kwadrat jest 0:07:55.710,0:07:58.220 równa 1/6 razy teta plus c. 0:07:58.220,0:08:06.210 To się równa arctangens x przez 6 plus c. 0:08:06.210,0:08:07.000 I skończyliśmy. 0:08:07.000,0:08:09.770 To nie było takie straszne.