1
00:00:00,640 --> 00:00:05,290
Powiedzmy, że mamy obliczyć całkę nieoznaczoną z 1 przez

2
00:00:05,290 --> 00:00:15,300
36 plus x do kwadratu dx.

3
00:00:15,300 --> 00:00:17,910
To całka nie jest prosta do policzenia

4
00:00:17,910 --> 00:00:19,830
bez użycia trygonometrii.

5
00:00:19,830 --> 00:00:22,130
Nie mogę zrobić prostego u-podstawienia, bo nie mam nigdzie

6
00:00:22,130 --> 00:00:23,480
pochodnej tego wyrażenia.

7
00:00:23,480 --> 00:00:25,340
To byłoby proste, gdybym tutaj było 2x.

8
00:00:25,340 --> 00:00:27,910
Wtedy wystarczyłoby powiedzieć, że pochodna tego to 2x,

9
00:00:27,910 --> 00:00:30,470
i wystarczy zrobić u-podstawienie.

10
00:00:30,470 --> 00:00:32,880
Niestety nie ma tutaj 2x, jak więc można to rozwiązać?

11
00:00:32,880 --> 00:00:35,640
Ponownie sięgniemy do tożsamości trygonometrycznych.

12
00:00:35,640 --> 00:00:38,100
Zobaczmy jaką tożsamość trygonometryczną możemy tutaj zastosować.

13
00:00:38,100 --> 00:00:40,840
Pierwszą rzecz, którą robię, mój mózg tak po prostu działa--

14
00:00:40,840 --> 00:00:43,920
widzę wyrażenia postaci stała

15
00:00:43,920 --> 00:00:46,350
plus coś do kwadratu, co sugeruje użycie

16
00:00:46,350 --> 00:00:47,300
tożsamości trygonometrycznej.

17
00:00:47,300 --> 00:00:50,600
Ja jednak lubię mieć wyrażenia postaci 1 plus coś do kwadratu.

18
00:00:50,600 --> 00:00:54,210
Przepiszę więc tę całkę jako

19
00:00:54,210 --> 00:00:55,720
dx w mianowniku

20
00:00:55,720 --> 00:00:57,870
To jest po prostu razy dx.

21
00:00:57,870 --> 00:00:59,430
Napiszę ładniejszy symbol całki niż ten.

22
00:00:59,430 --> 00:01:07,370
To jest równe dx przez 36 razy 1 plus

23
00:01:07,370 --> 00:01:11,800
x do kwadratu przez 36.

24
00:01:11,800 --> 00:01:14,130
1 plus x do kwadratu przez 36, to inny sposób zapisania

25
00:01:14,130 --> 00:01:15,420
tej całki.

26
00:01:15,420 --> 00:01:19,110
Zobaczmy, czy możemy podstawić tutaj jakąś tożsamość trygonometryczna,

27
00:01:19,110 --> 00:01:22,400
która w jakiś sposób

28
00:01:22,400 --> 00:01:24,560
uprościłaby zadanie.

29
00:01:24,560 --> 00:01:28,190
Ta, która mi się kojarzy, i jeżeli jej nie znacie,

30
00:01:28,190 --> 00:01:30,430
to zapiszę ją w tym miejscu, to 1 plus

31
00:01:30,430 --> 00:01:31,630
tangens kwadrat teta.

32
00:01:35,390 --> 00:01:36,900
Udowodnijmy ją.

33
00:01:36,900 --> 00:01:39,790
Tangens kwadrat teta równa się 1 plus, z definicji tangensa

34
00:01:39,790 --> 00:01:45,210
sinus kwadrat teta przez

35
00:01:45,210 --> 00:01:47,160
cosinus kwadrat teta.

36
00:01:47,160 --> 00:01:50,160
1 jest równe cosinus kwadrat teta przez cosinus kwadrat teta.

37
00:01:50,160 --> 00:01:57,250
Więc mogę to zapisać jako cosinus kwadrat teta przez

38
00:01:57,250 --> 00:02:02,990
cosinus kwadrat teta, to jest 1, plus sinus kwadrat teta przez

39
00:02:02,990 --> 00:02:04,860
cosinus kwadrat teta, i mamy teraz

40
00:02:04,860 --> 00:02:06,320
wspólny mianownik.

41
00:02:06,320 --> 00:02:08,490
Czym jest cosinus kwadrat plus sinus kwadrat?

42
00:02:08,490 --> 00:02:09,970
Definicja koła jednostkowego.

43
00:02:09,970 --> 00:02:14,210
To jest równe 1 przez cosinus kwadrat teta.

44
00:02:14,210 --> 00:02:17,600
Możemy też powiedzieć, że to jest równe 1 przez cosinus teta do kwadratu.

45
00:02:17,600 --> 00:02:19,540
1 przez cosinus to secans.

46
00:02:19,540 --> 00:02:24,090
Czyli to jest równe secans kwadrat teta.

47
00:02:24,090 --> 00:02:28,270
Jeżeli zrobimy takie podstawienie, jeżeli

48
00:02:28,270 --> 00:02:32,340
powiemy że to jest równe tangens teta,

49
00:02:32,340 --> 00:02:33,590
albo tangens kwadrat teta.

50
00:02:33,590 --> 00:02:37,310
Wtedy to wyrażenie będzie równe 1 plus tangens kwadrat teta,

51
00:02:37,310 --> 00:02:38,700
a to jest równe secans kwadrat.

52
00:02:38,700 --> 00:02:42,860
Może to pozwoli nam nieco uprościć równanie.

53
00:02:42,860 --> 00:02:50,080
Powiemy, że x do kwadratu przez 36 jest równe

54
00:02:50,080 --> 00:02:52,710
tangens kwadrat teta.

55
00:02:52,710 --> 00:02:55,440
Po wyciągnięciu pierwiastka kwadratowego z obu stron równaniu

56
00:02:55,440 --> 00:03:04,090
otrzymujemy, że x przez 6 jest równe tangens teta, czyli

57
00:03:04,090 --> 00:03:08,540
że x równa się 6 tangens teta.

58
00:03:08,540 --> 00:03:10,950
Jeżeli weźmiemy pochodną obu stron względem

59
00:03:10,950 --> 00:03:16,140
teta , otrzymamy dx równa się --jaka jest

60
00:03:16,140 --> 00:03:18,610
pochodna tangens teta?

61
00:03:18,610 --> 00:03:21,120
Mógłbym to pokazać, posługując się prostymi

62
00:03:21,120 --> 00:03:23,070
zasadami, które są tutaj.

63
00:03:23,070 --> 00:03:26,670
Właściwie, na wszelki wypadek zrobię to.

64
00:03:26,670 --> 00:03:29,000
Więc pochodna tangens teta, nigdy nie zaszkodzi to zrobić

65
00:03:29,000 --> 00:03:31,140
z boku. Zrobię to tutaj.

66
00:03:31,140 --> 00:03:34,470
To będzie równe 6 razy pochodna tangens teta

67
00:03:34,470 --> 00:03:36,490
względem teta.

68
00:03:36,490 --> 00:03:39,050
Musimy ją obliczyć.

69
00:03:39,050 --> 00:03:43,040
Pochodna tangens teta to to samo

70
00:03:43,040 --> 00:03:48,030
co pochodna sinus teta przez cosinus teta względem teta.

71
00:03:48,030 --> 00:03:50,270
To jest pochodna tangensa.

72
00:03:50,270 --> 00:03:54,380
A to jest to samo, co pochodna względem teta,

73
00:03:54,380 --> 00:03:57,520
pozwólcie, że przesuę się trochę bardziej na prawo.

74
00:03:57,520 --> 00:03:59,650
Ponieważ nigdy nie pamiętam zasady liczenia pochodnej z ilorazu,

75
00:03:59,650 --> 00:04:04,090
mówiłem wam w przeszłości, że jest ona nieco dziwna. Sinus teta razy

76
00:04:04,090 --> 00:04:09,560
cosinus teta do minus pierwszej potęgi.

77
00:04:09,560 --> 00:04:10,860
Czemu to się równa?

78
00:04:10,860 --> 00:04:14,090
Możemy powiedzieć, że to się równa pochodnej

79
00:04:14,090 --> 00:04:17,520
pierwszego czynnika, a ta jest

80
00:04:17,520 --> 00:04:19,050
równa cosinus teta.

81
00:04:19,050 --> 00:04:21,760
To się równa cosinus teta, to jest pochodna

82
00:04:21,760 --> 00:04:25,050
sinus teta razy nasz drugi czynnik.

83
00:04:25,050 --> 00:04:29,660
razy cosinus teta do minus pierwszej potęgi.

84
00:04:29,660 --> 00:04:32,810
Wstawiłem tu nawias, a minus 1 napisałem tutaj,

85
00:04:32,810 --> 00:04:34,610
ponieważ nie chcę pisać minus 1,

86
00:04:34,610 --> 00:04:37,590
żebyście nie myśleli, że mówię o funkcji odwrotnej do cosinusa, czyli arccosinus.

87
00:04:37,590 --> 00:04:41,680
Więc to jest pochodna sinus teta razy cosinus i teraz

88
00:04:41,680 --> 00:04:45,690
dodajemy pochodną cosinusa.

89
00:04:48,720 --> 00:04:50,770
To jest tylko cosinus, tylko cosinua do minus pierwszej potęgi.

90
00:04:50,770 --> 00:04:57,710
Więc to będzie minus 1 razy cosinus do minus drugiej potęgi teta.

91
00:04:57,710 --> 00:05:01,466
To jest pochodna funkcji zewnętrznej razy

92
00:05:01,466 --> 00:05:03,110
pochodna funkcji wewnętrznej.

93
00:05:03,110 --> 00:05:05,060
Przewinę jeszcze trochę.

94
00:05:05,060 --> 00:05:06,620
Więc to jest pochodna funkcji zewnętrznej.

95
00:05:06,620 --> 00:05:09,160
jeżeli zamiast cosinus teta byłby x, powiedzielibyśmy, że pochodna x do minus pierwszej

96
00:05:09,160 --> 00:05:12,360
jest równa minus 1 razy x do minus 2.

97
00:05:12,360 --> 00:05:14,560
Teraz razy pochodna funkcji wewnętrznej.

98
00:05:14,560 --> 00:05:16,230
Z cosinus teta względem teta.

99
00:05:16,230 --> 00:05:21,180
Więc to jest razy minus sinus teta.

100
00:05:21,180 --> 00:05:26,350
Pomnożę, to wszystko przez sinus teta.

101
00:05:26,350 --> 00:05:28,690
Pochodna tego, którą zapisałem na zielono,

102
00:05:28,690 --> 00:05:30,550
razy pierwszy czynnik.

103
00:05:30,550 --> 00:05:32,520
Więc czemu to się równa?

104
00:05:32,520 --> 00:05:34,890
Ten cosinus teta podzielony przez cosinus

105
00:05:34,890 --> 00:05:36,960
teta równa się 1.

106
00:05:36,960 --> 00:05:40,400
Potem mamy minus 1 i mam minus sinus teta.

107
00:05:40,400 --> 00:05:42,670
To daje nam plus.

108
00:05:42,670 --> 00:05:43,190
Co zatem otrzymaliśmy?

109
00:05:43,190 --> 00:05:45,910
Mam sinus kwadrat, sinus teta razy sinus teta,

110
00:05:45,910 --> 00:05:47,980
przez cosinus kwadrat.

111
00:05:47,980 --> 00:05:54,430
Więc plus sinus kwadrat teta przez cosinus kwadrat teta.

112
00:05:54,430 --> 00:05:58,570
A to jest równe 1 plus tangens kwadrat teta.

113
00:05:58,570 --> 00:06:00,290
Czemu się równa 1 plus tangens kwadrat teta?

114
00:06:00,290 --> 00:06:00,980
Przed chwilą to pokazałem.

115
00:06:00,980 --> 00:06:04,720
To się równa secans kwadrat teta.

116
00:06:04,720 --> 00:06:07,100
Więc pochodna tangens teta jest równa

117
00:06:07,100 --> 00:06:09,410
secans kwadrat teta.

118
00:06:09,410 --> 00:06:11,940
Cała ta praca coś nam dała,

119
00:06:11,940 --> 00:06:13,490
i okazało się to całkiem proste.

120
00:06:13,490 --> 00:06:17,440
Więc dx po d teta równa się secans

121
00:06:17,440 --> 00:06:19,780
kwadrat teta.

122
00:06:19,780 --> 00:06:23,440
Jeżeli, chcemy wiedzieć czemu równa się dx, to dx równa się

123
00:06:23,440 --> 00:06:25,510
po prostu obie strony razy d teta.

124
00:06:25,510 --> 00:06:32,680
Więc to jest 6 razy secans kwadrat teta d teta.

125
00:06:32,680 --> 00:06:34,290
To jest nasze dx.

126
00:06:34,290 --> 00:06:37,330
Oczywiście, w przyszłości będziemy musieli zrobić

127
00:06:37,330 --> 00:06:39,780
podstawienie odwrotne, jeżeli chcemy rozwiązać względem teta.

128
00:06:39,780 --> 00:06:41,000
To jest całkiem oczywiste.

129
00:06:41,000 --> 00:06:43,600
Bierzemy arcus tangens obu stron tego równania.

130
00:06:43,600 --> 00:06:50,270
Mamy, że arcus tangens x przez 6 równa się teta.

131
00:06:50,270 --> 00:06:52,600
Zostawimy to na później.

132
00:06:52,600 --> 00:06:54,640
Więc do czego redukuje się nasza całka?

133
00:06:54,640 --> 00:06:58,020
Całkę liczymy teraz z dx.

134
00:06:58,020 --> 00:06:59,210
Czym jest dx?

135
00:06:59,210 --> 00:07:06,430
dx równa się 6 secans kwadrat teta d teta

136
00:07:06,430 --> 00:07:11,860
to wszystko przez mianownik, który jest równy 36

137
00:07:11,860 --> 00:07:19,380
razy 1 plus tangens kwadrat teta.

138
00:07:19,380 --> 00:07:23,600
Wiemy, że to jest secans kwadrat teta.

139
00:07:23,600 --> 00:07:25,420
Pokazywałem to już wiele razy.

140
00:07:25,420 --> 00:07:27,470
Mamy zatem secans kwadrat teta w mianowniku.

141
00:07:27,470 --> 00:07:31,370
Mamy też secans kwadrat teta w liczniku, więc się skaracają.

142
00:07:31,370 --> 00:07:32,990
To się skraca.

143
00:07:32,990 --> 00:07:37,400
Więc całka uprościła się do 6 przez 36, a to się równa

144
00:07:37,400 --> 00:07:40,910
1 przez 6 d teta.

145
00:07:40,910 --> 00:07:45,760
A to się równa 1/6 teta plus c.

146
00:07:45,760 --> 00:07:48,650
Teraz możemy dokonać podstawienia odwrotnego, używając tego wyniku.

147
00:07:48,650 --> 00:07:52,240
Teta jest równe arctangens x przez 6.

148
00:07:52,240 --> 00:07:55,710
Czyli całka z 1 przez 36 plus x kwadrat jest

149
00:07:55,710 --> 00:07:58,220
równa 1/6 razy teta plus c.

150
00:07:58,220 --> 00:08:06,210
To się równa arctangens x przez 6 plus c.

151
00:08:06,210 --> 00:08:07,000
I skończyliśmy.

152
00:08:07,000 --> 00:08:09,770
To nie było takie straszne.