-
-
-
Disons que nous avons l'intégrale indéfinie de 1
-
sur 36 plus x au carré multiplié par dx
-
Maintenant, comme vous pouvez l'imaginer, ce n'est pas une intégrale facile à
-
résoudre sans la trigonométrie.
-
Je ne peux pas utiliser la règle de substitution (substitution par u), parce que je n'ai pas la dérivée
-
de ce terme à quelque part au dessus.
-
Ce serait plus facile s'il avait 2x au dessus.
-
Je pourrais alors dire, la dérivée du terme en dessous est 2x,
-
je peux donc utiliser la règle de substitution (substitution par u) et je pourrai résoudre facilement.
-
Mais, ici il n'y a pas de 2x, alors comment est ce que je fais pour résoudre?
-
Bien, je me réfère à nos identités trigonométriques.
-
Regardons quelle identité trigonométrique on aurait ici.
-
La première chose que je fais, juste pour mieux visualiser,
-
c'est que je vois ici que nous avons une constante plus
-
quelque chose au carré, ce qui me dit que ce devrait être une
-
identité trigonométrique.
-
Mais je préfère toujours le mettre sous la forme de 1 plus quelque chose au carré.
-
Je vais donc juste réécrire l'intégrale sous une autre forme équivalente,
-
je mets d'abord le dx au numérateur.
-
Ceci veut seulement dire: multiplié par dx.
-
Je vais donc écrire une plus belle intégrale que celle-ci.
-
Ceci est équivalent à l'intégrale de dx sur 36 multiplié par 1
-
plus x au carré sur 36.
-
1 plus x au carré sur 36, est seulement une autre façon
-
d'écrire mon intégrale.
-
Vérifions s'il existe une identité trigonométrique qui pourrait être
-
substitué ici et qui pourrait
-
simplifier le problème.
-
Celle qui me vient à l'esprit, et si vous ne la connaissez pas
-
encore, je vais l'écrire ici, c'est 1 plus
-
la tangente au carré de theta.
-
-
-
Faisons en la preuve.
-
La tangente au carré de theta est égale à 1 plus
-
la définition d'une tangente soit le sinus au carré de theta sur
-
le cosinus au carré de theta.
-
Aussi, 1 est équivalent au cosinus au carré sur le cosinus au carré.
-
Alors, je peux réécrire ceci comme le cosinus au carré de theta sur
-
le cosinus au carré de theta et ceci est équivalent à 1, plus le sinus au carré de theta sur
-
le cosinus au carré de theta, étant donné que nous avons maintenant
-
un dénominateur commun.
-
Maintenant, le cosinus au carré plus le sinus au carré est équivalent à quoi?
-
La définition d'un cercle trigonométrique.
-
C'est équivalent à 1 sur le cosinus au carré de theta.
-
Ou, il est possible de dire: 1 sur cosinus au carré.
-
1 sur le cosinus correspond à la sécante.
-
Alors c'est équivalent à la sécante au carré de theta.
-
Si nous faisons la substitution, si l'on dit que
-
ceci est équivalent à la tangente de theta, ou plutôt, à la tangente
-
au carré de theta.
-
Alors cette expression sera 1 plus tangente au carré de theta.
-
Ce qui correspond à la sécante au carré
-
Peut-être, ceci permettra de simplifier l'équation un peu.
-
Disons que x au carré sur 36 est égale
-
à la tangente au carré de theta.
-
Effectuons la racine carré de chaque côté de l'équation et
-
on obtient x sur 6 égal à la tangente de theta, ou x
-
est égal à 6 multiplié par la tangente de theta.
-
Si on effectue la dérivée de chaque côté par rapport à theta, on obtient
-
dx sur d theta égal à... quelle est la
-
dérivée de la tangente de theta?
-
Je pourrais vous en faire la démonstration à partir the
-
principes de base juste ici.
-
Laissez moi vous en faire la démonstration, juste au cas.
-
Alors, la dérivée de la tangente de theta-- ça ne fait jamais de mal de faire ça
-
à côté, laissez moi le faire juste ici.
-
Ce sera 6 fois la dérivée par rapport à
-
theta de la tangent de theta
-
que nous avons besoin d'illustrer, alors illustrons le.
-
La derivée de la tangente de theta, c'est la même chose
-
que d sur d theta du sinus de theta sur le cosinus de theta.
-
Ceci est la dérivé de la tangente.
-
Ceci est la même chose que la dérivée par rapport
-
à theta -- laissez moi me diriger vers la droite un peu.
-
Étant donné que je ne me souviens jamais de la règle du quotient, et je vous ai déjà dit
-
que c'est un peu inutile-- du sinus de theta multiplié par
-
le cosinus de theta à la puissance moins1.
-
À quoi ceci est-il égal?
-
Disons que c'est égal à la dérivée de la
-
première expression de la première fonction qui est
-
simplement le cosinus de theta.
-
Ceci est équivalent au cosinus de theta, qui est la
-
dérivée du sinus de theta multiplié par la seconde expression
-
multiplié par le cosinus de theta à la puissance moins 1.
-
J'ai mis ces parenthèses avec la puissance moins 1 à l'extérieur
-
parce que je ne voulais pas mettre la puissance moins 1 ici et vous
-
que vous pensiez qu'il s'agit d'un cosinus inverse ou un arccosinus.
-
Donc, ceci est la dérivée du sinus multiplié par le cosinus et maintenant je
-
veux ajouter plus la dérivée du cosinus.
-
-
-
Pas seulement le cosinus, mais la dérivée du cosinus à la puissance moins 1.
-
Donc, ceci est moins 1 multiplié par le cosinus à la puissance moins 2 de theta.
-
Ceci est la dérivée de l'extérieur multiplié par la
-
dérivée de l'intérieur.
-
Laissez me décaler encore un peu.
-
Donc, ceci est la dérivée de l'extérieur.
-
Si le cosinus de theta était seulement x, on aurait pu dire que a dérivée de x à la puissance moins 1
-
est moins 1 multiplié par x à la puissance moins 2.
-
Puis on multiplie la dérivée de l'intérieur.
-
Du cosinus de theta par rapport à theta.
-
Alors c'est multiplié par le sinus de theta.
-
Je vais donc multiplié tout ceci par le sinus de theta.
-
La dérivée de tout ça, la partie en verte,
-
multiplié par la première expression.
-
Qu'est que l'on obtient?
-
Ce cosinus de theta divisé par le cosinus
-
de theta, on obtient donc 1.
-
Il me reste donc un moins 1 et un moins sinus de theta.
-
Ceci est plus plus.
-
Qu'est-ce que j'ai?
-
J'ai le sinus au carré, sinus de theta multiplié par le sinus de theta
-
sur le cosinus au carré.
-
Alors, plus sinus de theta sur le cosinus au carré de theta
-
qui est égal à 1 plus la tangente au carré de theta.
-
Qu'obtient-on si on additionne 1 et la tangente au carré de theta?
-
Je viens de vous le démontrer.
-
C'est la sécante au carré de theta.
-
Alors, la dérivée de la tangente de theta est égale à la
-
sécante au carré de theta
-
Tout ce travail pour obtenir quelque chose de simple-- c'est bien
-
quand ça devient simple.
-
Alors, dx sur d theta, ceci est égal à la sécante
-
au carré de theta
-
Si vous voulez comprendre à quoi dx correspond, dx est égal au
-
deux côtés multiplié par d theta.
-
Alors, ce'st 6 fois la sécante au carré de theta fois d theta.
-
Voici notre dx.
-
Bien sure, nous devrons resubstituer
-
alors nous avons besoin de résoudre pour theta.
-
C'est assez direct.
-
Nous avons simplement à faire l'arctangente des deux côtés de l'équation.
-
Vous comprenez que l'arctangente de x sur 6 est égale à theta.
-
Nous allons garder ça pour plus tard.
-
Alors à quoi notre intégrale est-elle réduite?
-
Notre intégrale est maintenant l'intégrale de dx?
-
Qu'est-ce qu dx?
-
C'est 6 fois la sécante au carré de theta d theta.
-
Tout ça sur ce dénominateur qui est 36.
-
fois 1 plus la tangente au carré de theta.
-
Nous savons que ceci est la sécante au carré de theta.
-
Je vous l'ai démontré plusieurs fois.
-
Alors ceci est la sécante au carré de theta au dénominateur.
-
Nous avons la sécante au carré au numérateur, donc ils s'annulent.
-
Ceux-ci s'annulent.
-
L'intégrale est donc réduite, nous sommes chanceux, 6/36 qui
-
correspond à 1/6 d theta.
-
Est égale à 1/6 theta plus C.
-
Maintenant nous pouvons resubstituer en utilisant ce résultat.
-
Theta est égal à l'arctangente de x sur 6.
-
L'intégrale de 1 sur 36 plus x au carré est
-
égal à 1/6 fois theta.
-
Theta est simplement égal à l'artangente de x sur 6 plus C.
-
Et c'est résolue!
-
Celle-ci n'était pas si mal.
-
-
