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Disons que nous avons l'intégrale indéfinie de 1
sur 36 plus x au carré multiplié par dx
Maintenant, comme vous pouvez l'imaginer, ce n'est pas une intégrale facile à
résoudre sans la trigonométrie.
Je ne peux pas utiliser la règle de substitution (substitution par u), parce que je n'ai pas la dérivée
de ce terme à quelque part au dessus.
Ce serait plus facile s'il avait 2x au dessus.
Je pourrais alors dire, la dérivée du terme en dessous est 2x,
je peux donc utiliser la règle de substitution (substitution par u) et je pourrai résoudre facilement.
Mais, ici il n'y a pas de 2x, alors comment est ce que je fais pour résoudre?
Bien, je me réfère à nos identités trigonométriques.
Regardons quelle identité trigonométrique on aurait ici.
La première chose que je fais, juste pour mieux visualiser,
c'est que je vois ici que nous avons une constante plus
quelque chose au carré, ce qui me dit que ce devrait être une
identité trigonométrique.
Mais je préfère toujours le mettre sous la forme de 1 plus quelque chose au carré.
Je vais donc juste réécrire l'intégrale sous une autre forme équivalente,
je mets d'abord le dx au numérateur.
Ceci veut seulement dire: multiplié par dx.
Je vais donc écrire une plus belle intégrale que celle-ci.
Ceci est équivalent à l'intégrale de dx sur 36 multiplié par 1
plus x au carré sur 36.
1 plus x au carré sur 36, est seulement une autre façon
d'écrire mon intégrale.
Vérifions s'il existe une identité trigonométrique qui pourrait être
substitué ici et qui pourrait
simplifier le problème.
Celle qui me vient à l'esprit, et si vous ne la connaissez pas
encore, je vais l'écrire ici, c'est 1 plus
la tangente au carré de theta.
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Faisons en la preuve.
La tangente au carré de theta est égale à 1 plus
la définition d'une tangente soit le sinus au carré de theta sur
le cosinus au carré de theta.
Aussi, 1 est équivalent au cosinus au carré sur le cosinus au carré.
Alors, je peux réécrire ceci comme le cosinus au carré de theta sur
le cosinus au carré de theta et ceci est équivalent à 1, plus le sinus au carré de theta sur
le cosinus au carré de theta, étant donné que nous avons maintenant
un dénominateur commun.
Maintenant, le cosinus au carré plus le sinus au carré est équivalent à quoi?
La définition d'un cercle trigonométrique.
C'est équivalent à 1 sur le cosinus au carré de theta.
Ou, il est possible de dire: 1 sur cosinus au carré.
1 sur le cosinus correspond à la sécante.
Alors c'est équivalent à la sécante au carré de theta.
Si nous faisons la substitution, si l'on dit que
ceci est équivalent à la tangente de theta, ou plutôt, à la tangente
au carré de theta.
Alors cette expression sera 1 plus tangente au carré de theta.
Ce qui correspond à la sécante au carré
Peut-être, ceci permettra de simplifier l'équation un peu.
Disons que x au carré sur 36 est égale
à la tangente au carré de theta.
Effectuons la racine carré de chaque côté de l'équation et
on obtient x sur 6 égal à la tangente de theta, ou x
est égal à 6 multiplié par la tangente de theta.
Si on effectue la dérivée de chaque côté par rapport à theta, on obtient
dx sur d theta égal à... quelle est la
dérivée de la tangente de theta?
Je pourrais vous en faire la démonstration à partir the
principes de base juste ici.
Laissez moi vous en faire la démonstration, juste au cas.
Alors, la dérivée de la tangente de theta-- ça ne fait jamais de mal de faire ça
à côté, laissez moi le faire juste ici.
Ce sera 6 fois la dérivée par rapport à
theta de la tangent de theta
que nous avons besoin d'illustrer, alors illustrons le.
La derivée de la tangente de theta, c'est la même chose
que d sur d theta du sinus de theta sur le cosinus de theta.
Ceci est la dérivé de la tangente.
Ceci est la même chose que la dérivée par rapport
à theta -- laissez moi me diriger vers la droite un peu.
Étant donné que je ne me souviens jamais de la règle du quotient, et je vous ai déjà dit
que c'est un peu inutile-- du sinus de theta multiplié par
le cosinus de theta à la puissance moins1.
À quoi ceci est-il égal?
Disons que c'est égal à la dérivée de la
première expression de la première fonction qui est
simplement le cosinus de theta.
Ceci est équivalent au cosinus de theta, qui est la
dérivée du sinus de theta multiplié par la seconde expression
multiplié par le cosinus de theta à la puissance moins 1.
J'ai mis ces parenthèses avec la puissance moins 1 à l'extérieur
parce que je ne voulais pas mettre la puissance moins 1 ici et vous
que vous pensiez qu'il s'agit d'un cosinus inverse ou un arccosinus.
Donc, ceci est la dérivée du sinus multiplié par le cosinus et maintenant je
veux ajouter plus la dérivée du cosinus.
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Pas seulement le cosinus, mais la dérivée du cosinus à la puissance moins 1.
Donc, ceci est moins 1 multiplié par le cosinus à la puissance moins 2 de theta.
Ceci est la dérivée de l'extérieur multiplié par la
dérivée de l'intérieur.
Laissez me décaler encore un peu.
Donc, ceci est la dérivée de l'extérieur.
Si le cosinus de theta était seulement x, on aurait pu dire que a dérivée de x à la puissance moins 1
est moins 1 multiplié par x à la puissance moins 2.
Puis on multiplie la dérivée de l'intérieur.
Du cosinus de theta par rapport à theta.
Alors c'est multiplié par le sinus de theta.
Je vais donc multiplié tout ceci par le sinus de theta.
La dérivée de tout ça, la partie en verte,
multiplié par la première expression.
Qu'est que l'on obtient?
Ce cosinus de theta divisé par le cosinus
de theta, on obtient donc 1.
Il me reste donc un moins 1 et un moins sinus de theta.
Ceci est plus plus.
Qu'est-ce que j'ai?
J'ai le sinus au carré, sinus de theta multiplié par le sinus de theta
sur le cosinus au carré.
Alors, plus sinus de theta sur le cosinus au carré de theta
qui est égal à 1 plus la tangente au carré de theta.
Qu'obtient-on si on additionne 1 et la tangente au carré de theta?
Je viens de vous le démontrer.
C'est la sécante au carré de theta.
Alors, la dérivée de la tangente de theta est égale à la
sécante au carré de theta
Tout ce travail pour obtenir quelque chose de simple-- c'est bien
quand ça devient simple.
Alors, dx sur d theta, ceci est égal à la sécante
au carré de theta
Si vous voulez comprendre à quoi dx correspond, dx est égal au
deux côtés multiplié par d theta.
Alors, ce'st 6 fois la sécante au carré de theta fois d theta.
Voici notre dx.
Bien sure, nous devrons resubstituer
alors nous avons besoin de résoudre pour theta.
C'est assez direct.
Nous avons simplement à faire l'arctangente des deux côtés de l'équation.
Vous comprenez que l'arctangente de x sur 6 est égale à theta.
Nous allons garder ça pour plus tard.
Alors à quoi notre intégrale est-elle réduite?
Notre intégrale est maintenant l'intégrale de dx?
Qu'est-ce qu dx?
C'est 6 fois la sécante au carré de theta d theta.
Tout ça sur ce dénominateur qui est 36.
fois 1 plus la tangente au carré de theta.
Nous savons que ceci est la sécante au carré de theta.
Je vous l'ai démontré plusieurs fois.
Alors ceci est la sécante au carré de theta au dénominateur.
Nous avons la sécante au carré au numérateur, donc ils s'annulent.
Ceux-ci s'annulent.
L'intégrale est donc réduite, nous sommes chanceux, 6/36 qui
correspond à 1/6 d theta.
Est égale à 1/6 theta plus C.
Maintenant nous pouvons resubstituer en utilisant ce résultat.
Theta est égal à l'arctangente de x sur 6.
L'intégrale de 1 sur 36 plus x au carré est
égal à 1/6 fois theta.
Theta est simplement égal à l'artangente de x sur 6 plus C.
Et c'est résolue!
Celle-ci n'était pas si mal.
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