0:00:00.000,0:00:00.640
-

0:00:00.640,0:00:05.290
Disons que nous avons l'intégrale indéfinie de 1

0:00:05.290,0:00:15.300
sur 36 plus x au carré multiplié par dx

0:00:15.300,0:00:17.910
Maintenant, comme vous pouvez l'imaginer, ce n'est pas une intégrale facile à

0:00:17.910,0:00:19.830
résoudre sans la trigonométrie.

0:00:19.830,0:00:22.130
Je ne peux pas utiliser la règle de substitution (substitution par u), parce que je n'ai pas la dérivée

0:00:22.130,0:00:23.480
de ce terme à quelque part au dessus.

0:00:23.480,0:00:25.340
Ce serait plus facile s'il avait 2x au dessus.

0:00:25.340,0:00:27.910
Je pourrais alors dire, la dérivée du terme en dessous est 2x,

0:00:27.910,0:00:30.470
je peux donc utiliser la règle de substitution (substitution par u) et je pourrai résoudre facilement.

0:00:30.470,0:00:32.880
Mais, ici il n'y a pas de 2x, alors comment est ce que je fais pour résoudre?

0:00:32.880,0:00:35.640
Bien, je me réfère à nos identités trigonométriques.

0:00:35.640,0:00:38.100
Regardons quelle identité trigonométrique on aurait ici.

0:00:38.100,0:00:40.840
La première chose que je fais, juste pour mieux visualiser,

0:00:40.840,0:00:43.920
c'est que je vois ici que nous avons une constante plus

0:00:43.920,0:00:46.350
quelque chose au carré, ce qui me dit que ce devrait être une

0:00:46.350,0:00:47.300
identité trigonométrique.

0:00:47.300,0:00:50.600
Mais je préfère toujours le mettre sous la forme de 1 plus quelque chose au carré.

0:00:50.600,0:00:54.210
Je vais donc juste réécrire l'intégrale sous une autre forme équivalente,

0:00:54.210,0:00:55.720
je mets d'abord le dx au numérateur.

0:00:55.720,0:00:57.870
Ceci veut seulement dire: multiplié par dx.

0:00:57.870,0:00:59.430
Je vais donc écrire une plus belle intégrale que celle-ci.

0:00:59.430,0:01:07.370
Ceci est équivalent à l'intégrale de dx sur 36 multiplié par 1

0:01:07.370,0:01:11.800
plus x au carré sur 36.

0:01:11.800,0:01:14.130
1 plus x au carré sur 36, est seulement une autre façon

0:01:14.130,0:01:15.420
d'écrire mon intégrale.

0:01:15.420,0:01:19.110
Vérifions s'il existe une identité trigonométrique qui pourrait être

0:01:19.110,0:01:22.400
substitué ici et qui pourrait

0:01:22.400,0:01:24.560
simplifier le problème.

0:01:24.560,0:01:28.190
Celle qui me vient à l'esprit, et si vous ne la connaissez pas

0:01:28.190,0:01:30.430
encore, je vais l'écrire ici, c'est 1 plus

0:01:30.430,0:01:31.630
la tangente au carré de theta.

0:01:31.630,0:01:35.390
-

0:01:35.390,0:01:36.900
Faisons en la preuve.

0:01:36.900,0:01:39.790
La tangente au carré de theta est égale à 1 plus

0:01:39.790,0:01:45.210
la définition d'une tangente soit le sinus au carré de theta sur

0:01:45.210,0:01:47.160
le cosinus au carré de theta.

0:01:47.160,0:01:50.160
Aussi, 1 est équivalent au cosinus au carré sur le cosinus au carré.

0:01:50.160,0:01:57.250
Alors, je peux réécrire ceci comme le cosinus au carré de theta sur

0:01:57.250,0:02:02.990
le cosinus au carré de theta et ceci est équivalent à 1, plus le sinus au carré de theta sur

0:02:02.990,0:02:04.860
le cosinus au carré de theta, étant donné que nous avons maintenant

0:02:04.860,0:02:06.320
un dénominateur commun.

0:02:06.320,0:02:08.490
Maintenant, le cosinus au carré plus le sinus au carré est équivalent à quoi?

0:02:08.490,0:02:09.970
La définition d'un cercle trigonométrique.

0:02:09.970,0:02:14.210
C'est équivalent à 1 sur le cosinus au carré de theta.

0:02:14.210,0:02:17.600
Ou, il est possible de dire: 1 sur cosinus au carré.

0:02:17.600,0:02:19.540
1 sur le cosinus correspond à la sécante.

0:02:19.540,0:02:24.090
Alors c'est équivalent à la sécante au carré de theta.

0:02:24.090,0:02:28.270
Si nous faisons la substitution, si l'on dit que

0:02:28.270,0:02:32.340
ceci est équivalent à la tangente de theta, ou plutôt, à la tangente

0:02:32.340,0:02:33.590
au carré de theta.

0:02:33.590,0:02:37.310
Alors cette expression sera 1 plus tangente au carré de theta.

0:02:37.310,0:02:38.700
Ce qui correspond à la sécante au carré

0:02:38.700,0:02:42.860
Peut-être, ceci permettra de simplifier l'équation un peu.

0:02:42.860,0:02:50.080
Disons que x au carré sur 36 est égale

0:02:50.080,0:02:52.710
à la tangente au carré de theta.

0:02:52.710,0:02:55.440
Effectuons la racine carré de chaque côté de l'équation et

0:02:55.440,0:03:04.090
on obtient x sur 6 égal à la tangente de theta, ou x

0:03:04.090,0:03:08.540
est égal à 6 multiplié par la tangente de theta.

0:03:08.540,0:03:10.950
Si on effectue la dérivée de chaque côté par rapport à theta, on obtient

0:03:10.950,0:03:16.140
dx sur d theta égal à... quelle est la

0:03:16.140,0:03:18.610
dérivée de la tangente de theta?

0:03:18.610,0:03:21.120
Je pourrais vous en faire la démonstration à partir the

0:03:21.120,0:03:23.070
principes de base juste ici.

0:03:23.070,0:03:26.670
Laissez moi vous en faire la démonstration, juste au cas.

0:03:26.670,0:03:29.000
Alors, la dérivée de la tangente de theta-- ça ne fait jamais de mal de faire ça

0:03:29.000,0:03:31.140
à côté, laissez moi le faire juste ici.

0:03:31.140,0:03:34.470
Ce sera 6 fois la dérivée par rapport à

0:03:34.470,0:03:36.490
theta de la tangent de theta

0:03:36.490,0:03:39.050
que nous avons besoin d'illustrer, alors illustrons le.

0:03:39.050,0:03:43.040
La derivée de la tangente de theta, c'est la même chose

0:03:43.040,0:03:48.030
que d sur d theta du sinus de theta sur le cosinus de theta.

0:03:48.030,0:03:50.270
Ceci est la dérivé de la tangente.

0:03:50.270,0:03:54.380
Ceci est la même chose que la dérivée par rapport

0:03:54.380,0:03:57.520
à theta -- laissez moi me diriger vers la droite un peu.

0:03:57.520,0:03:59.650
Étant donné que je ne me souviens jamais de la règle du quotient, et je vous ai déjà dit

0:03:59.650,0:04:04.090
que c'est un peu inutile-- du sinus de theta multiplié par

0:04:04.090,0:04:09.560
le cosinus de theta à la puissance moins1.

0:04:09.560,0:04:10.860
À quoi ceci est-il égal?

0:04:10.860,0:04:14.090
Disons que c'est égal à la dérivée de la

0:04:14.090,0:04:17.520
première expression de la première fonction qui est

0:04:17.520,0:04:19.050
simplement le cosinus de theta.

0:04:19.050,0:04:21.760
Ceci est équivalent au cosinus de theta, qui est la

0:04:21.760,0:04:25.050
dérivée du sinus de theta multiplié par la seconde expression

0:04:25.050,0:04:29.660
multiplié par le cosinus de theta à la puissance moins 1.

0:04:29.660,0:04:32.810
J'ai mis ces parenthèses avec la puissance moins 1 à l'extérieur

0:04:32.810,0:04:34.610
parce que je ne voulais pas mettre la puissance moins 1 ici et vous

0:04:34.610,0:04:37.590
que vous pensiez qu'il s'agit d'un cosinus inverse ou un arccosinus.

0:04:37.590,0:04:41.680
Donc, ceci est la dérivée du sinus multiplié par le cosinus et maintenant je

0:04:41.680,0:04:45.690
veux ajouter plus la dérivée du cosinus.

0:04:45.690,0:04:48.720
-

0:04:48.720,0:04:50.770
Pas seulement le cosinus, mais la dérivée du cosinus à la puissance moins 1.

0:04:50.770,0:04:57.710
Donc, ceci est moins 1 multiplié par le cosinus à la puissance moins 2 de theta.

0:04:57.710,0:05:01.466
Ceci est la dérivée de l'extérieur multiplié par la

0:05:01.466,0:05:03.110
dérivée de l'intérieur.

0:05:03.110,0:05:05.060
Laissez me décaler encore un peu.

0:05:05.060,0:05:06.620
Donc, ceci est la dérivée de l'extérieur.

0:05:06.620,0:05:09.160
Si le cosinus de theta était seulement x, on aurait pu dire que a dérivée de x à la puissance moins 1

0:05:09.160,0:05:12.360
est moins 1 multiplié par x à la puissance moins 2.

0:05:12.360,0:05:14.560
Puis on multiplie la dérivée de l'intérieur.

0:05:14.560,0:05:16.230
Du cosinus de theta par rapport à theta.

0:05:16.230,0:05:21.180
Alors c'est multiplié par le sinus de theta.

0:05:21.180,0:05:26.350
Je vais donc multiplié tout ceci par le sinus de theta.

0:05:26.350,0:05:28.690
La dérivée de tout ça, la partie en verte,

0:05:28.690,0:05:30.550
multiplié par la première expression.

0:05:30.550,0:05:32.520
Qu'est que l'on obtient?

0:05:32.520,0:05:34.890
Ce cosinus de theta divisé par le cosinus

0:05:34.890,0:05:36.960
de theta, on obtient donc 1.

0:05:36.960,0:05:40.400
Il me reste donc un moins 1 et un moins sinus de theta.

0:05:40.400,0:05:42.670
Ceci est plus plus.

0:05:42.670,0:05:43.190
Qu'est-ce que j'ai?

0:05:43.190,0:05:45.910
J'ai le sinus au carré, sinus de theta multiplié par le sinus de theta

0:05:45.910,0:05:47.980
sur le cosinus au carré.

0:05:47.980,0:05:54.430
Alors, plus sinus de theta sur le cosinus au carré de theta

0:05:54.430,0:05:58.570
qui est égal à 1 plus la tangente au carré de theta.

0:05:58.570,0:06:00.290
Qu'obtient-on si on additionne 1 et la tangente au carré de theta?

0:06:00.290,0:06:00.980
Je viens de vous le démontrer.

0:06:00.980,0:06:04.720
C'est la sécante au carré de theta.

0:06:04.720,0:06:07.100
Alors, la dérivée de la tangente de theta est égale à la

0:06:07.100,0:06:09.410
sécante au carré de theta

0:06:09.410,0:06:11.940
Tout ce travail pour obtenir quelque chose de simple-- c'est bien

0:06:11.940,0:06:13.490
quand ça devient simple.

0:06:13.490,0:06:17.440
Alors, dx sur d theta, ceci est égal à la sécante

0:06:17.440,0:06:19.780
au carré de theta

0:06:19.780,0:06:23.440
Si vous voulez comprendre à quoi dx correspond, dx est égal au

0:06:23.440,0:06:25.510
deux côtés multiplié par d theta.

0:06:25.510,0:06:32.680
Alors, ce'st 6 fois la sécante au carré de theta fois d theta.

0:06:32.680,0:06:34.290
Voici notre dx.

0:06:34.290,0:06:37.330
Bien sure, nous devrons resubstituer

0:06:37.330,0:06:39.780
alors nous avons besoin de résoudre pour theta.

0:06:39.780,0:06:41.000
C'est assez direct.

0:06:41.000,0:06:43.600
Nous avons simplement à faire l'arctangente des deux côtés de l'équation.

0:06:43.600,0:06:50.270
Vous comprenez que l'arctangente de x sur 6 est égale à theta.

0:06:50.270,0:06:52.600
Nous allons garder ça pour plus tard.

0:06:52.600,0:06:54.640
Alors à quoi notre intégrale est-elle réduite?

0:06:54.640,0:06:58.020
Notre intégrale est maintenant l'intégrale de dx?

0:06:58.020,0:06:59.210
Qu'est-ce qu dx?

0:06:59.210,0:07:06.430
C'est 6 fois la sécante au carré de theta d theta.

0:07:06.430,0:07:11.860
Tout ça sur ce dénominateur qui est 36.

0:07:11.860,0:07:19.380
fois 1 plus la tangente au carré de theta.

0:07:19.380,0:07:23.600
Nous savons que ceci est la sécante au carré de theta.

0:07:23.600,0:07:25.420
Je vous l'ai démontré plusieurs fois.

0:07:25.420,0:07:27.470
Alors ceci est la sécante au carré de theta au dénominateur.

0:07:27.470,0:07:31.370
Nous avons la sécante au carré au numérateur, donc ils s'annulent.

0:07:31.370,0:07:32.990
Ceux-ci s'annulent.

0:07:32.990,0:07:37.400
L'intégrale est donc réduite, nous sommes chanceux, 6/36 qui

0:07:37.400,0:07:40.910
correspond à 1/6 d theta.

0:07:40.910,0:07:45.760
Est égale à 1/6 theta plus C.

0:07:45.760,0:07:48.650
Maintenant nous pouvons resubstituer en utilisant ce résultat.

0:07:48.650,0:07:52.240
Theta est égal à l'arctangente de x sur 6.

0:07:52.240,0:07:55.710
L'intégrale de 1 sur 36 plus x au carré est

0:07:55.710,0:07:58.220
égal à 1/6 fois theta.

0:07:58.220,0:08:06.210
Theta est simplement égal à l'artangente de x sur 6 plus C.

0:08:06.210,0:08:07.000
Et c'est résolue!

0:08:07.000,0:08:09.770
Celle-ci n'était pas si mal.

0:08:09.770,0:08:10.144
-