Statistics: Sample Variance

-

วิดีโออันนี้เป็นวิดีโอที่พิเศษสุด

ด้วยเหตุผลหลายอย่าง

อย่างแรก, ผมจะแนะนำให้คุณรู้จักความแปรปรวนของตัวอย่าง,

ซึ่งเป็นเรื่องที่น่สนใจ

และผมพายามจะบันทึกวิดีโอนี้เป็นแบบ HD

หวังว่าคุณจะเห็นได้ใหญ่ขึ้นและชัดขึ้น

กว่าที่เคย

แต่เราจะดุว่ามันเป็นอย่างไร

นี่เป็นการทดลองนิดหน่อย, ทนกับผมหน่อยนะ

แต่, ก่อนที่เราจะพูดถึงความแปรปรวนของตัวอย่างล

ผมคิดว่ามันดีต่อการเรียน ถ้าเราจะทบทวนความแปรปรวน

ของประชากรกันก่อน

แล้วเราถึงเปรียบเทียบสูตรของมันได้

ความแปรปรวนของประชากร -- นี่คือตัวอักษร

กรีกซิกม่า

ซิกม่าเล็ก กำลังสอง

นั่นหมายถึงความแปรปรวน

ผมรู้ว่ามันแปลกๆ ที่ตัวแปร

มีกำลังสองติดมาอยู่แล้ว

คุณได้กำลังสองตัวแปรนี้

นี่คือตัวแปร

ซิกม่ากำลังสอง หมายถึงความแปรปรวน

ที่จริง, ขอผมเขียนลงไปนะ

นั่นเท่ากับความแปรปรวน

-

และนั่นเท่ากับ -- คุณหาจุดข้อมูลแต่ละจุดมา -- แล้ว

เราจะเรียกมันว่า x ห้อย i

คุณเอาจุดข้อมูลแต่จุดมา หาว่ามันห่างจาก

ค่าเฉลี่ยประชากรเท่าไหร่, คุณกำลังสองมัน, แล้วคุณก็

หาค่าเฉลี่ยของทั้งหมดนั้น

แล้วคุณหาค่าเฉลี่ย, คุณบวกทุกอย่างเข้าด้วยกัน

คุณก็ไปจาก i เท่ากับ 1

จากจุดนั้น, ไปจนถึงจุดที่ n

แล้ว, เวลาเฉลี่ย, คุณบวกมันจนหมด

แล้วหารด้วย n

ความแปรปรวนก็คือค่าเฉลี่ยของกำลังสองของระยะห่าง

แต่ละจุดเหล่านี้ ไปยังค่าเฉลี่ย

เพื่อให้คุณได้สัญชาตญาณอีกที, มันบอกว่า

โดยเฉลี่ยแล้ว, แต่ละจุด

หาจากตรงกลางแค่ไหน

นั่นคือวิธีคิดถึงความแปรปรวนที่ดีที่สุด

ทีนี้ ถ้าเกิดเรามี -- นี่

สำหรับประชากร, จริงไหม?

และเราบอกว่า ถ้าเราอยากหาความแปรปรวนของ

ความสูงของคนในประเทศนี้, มันยาก

ที่จะหาความแปรปรวนของประชากร

คุณต้องไป, วัดความสูง

ของทุกคน

250 ล้านคน

หรือถ้ามีประชากรซึ่งเราไม่มีทาง

หาข้อมูลได้ มาจาก

ตัวแปรสุ่ม

เราจะพูดถึงเรื่องนั้นทีหลัง

หลายครั้งคุณต้องประมาณค่าความแปรปรวนนี้

ด้วยการหาความแปรปรวนของตัวอย่างแทน

เหมือนกับที่คุณไม่มีทางหาค่าเฉลี่ยของประชากร

บางทีคุณอาจกะค่ามันด้วย

การหาค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง

และเราเรียนไปในวิดีโอที่แล้ว

ถ้านี่คือ -- ถ้านี่คือประชากรทั้งหมด

นั่นคือจุดข้อมูลเป็นล้าน, หรือแม้กระทั่งจุดข้อมูล

ในอนาคตที่คุณหาไม่ได้ เพราะมันเป็น

ตัวแปรสุ่ม

นี่คือประชากร

-

คุณอาจอยากประมาณค่าด้วยการดูที่กลุ่มตัวอย่าง

และนี่คือสถิติเชิงอนุมาน

เกี่ยวข้องเป็นส่วนใหญ่

คือการหาสถิติเชิงพรรณนาของกลุ่มตัวอย่าง

แล้วอนุมานไปถึงประชากร

ขอผมลองใช้ยานี้กับคน 100 คน แล้วถ้ามัน

ดูได้ผลอย่างมีนัยสำคัญทางสถิติ, ยานี้ก็ควร

ใช้ได้กับประชาการทั้งหมดด้วย

นั่นคือสิ่งที่มันหมายถึง

การเข้าใจแนวคิดเรื่องกลุ่มตัวอย่าง

เทียบกับประชากรเป็นสิ่งสำคัญ

การหาค่าทางสถิติของตัวอย่างได้,

ส่วนใหญ่แล้ว, สามารถใช้บรรยายประชากร หรือช่วย

ให้ประมาณค่า, เขาเรียกกันว่า, พารามิเตอร์ของประชากรได้

แล้วค่าเฉลี่ยของ -- ขอผมเขียนนิยามพวกนี้ใหม่นะ

ค่าเฉลี่ยของประชากรคืออะไร?

ผมจะใช้สีม่วงนะ

สีม่วงแทนประชากร

ค่าเฉลี่ยของประชากร

คุณแค่เอาจุดข้อมูลแต่ละตัวมาในประชากร, x i

คุณบวกมันเข้า

คุณเริ่มด้วยจุดข้อมูลอันแรก แล้วคุณก็ทำ

ไปจนถึงจุดข้อมูลที่ n

แล้วคุณหารด้วย n

คุณบวกพวกมันไปจนถึง n

นั่นคือค่าเฉลี่ย

แล้วคุณก็แทนมันลงในสูตรนี้

แล้วคุณก็หาได้ว่าแต่ละจุดไกลจากจุดศูนย์กลาง

จากค่าเฉลี่ยนั้นแค่ไหน

และคุณจะได้ความแปรปรวน

ทีนี้ เกิดอะไรขึ้นถ้าเราทำสำหรับตัวอย่างด้วย?

ทีนี้, ถ้าเราอยากประมาณค่าเฉลี่ยประชากร ด้วย

การคำนวณค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง, สิ่งที่ดีที่สุดที่ผม

คิดได้ -- นี่คือสูตรที่ประดิษฐ์ขึ้นมาทั้งนั้น

มีคนบอกว่า, เราจะหาค่าตัวอย่าง

ที่ดีที่สุดอย่างไร?

ทีนี้ สิ่งที่เราทำได้ ก็แค่หาค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง

และนั่นคือค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง

และเราเรียนในวิดีโอแรก ว่าสัญลักษณ์ --

สูตรเกือบเหมือนกันเลย

แต่สัญลักษณ์ต่างกัน

แทนที่จะเขีน มิว, คุณเขียนว่า x มีขีดอยู่ข้างบน

ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง เท่ากับ -- เหมือนเดิม, คุณเอา

จุดข้อมูลตอนนี้ คือในกลุ่มตัวอย่าง, ไม่ใช่ประชากรทั้งหมด

คุณบวกพวกมันเข้า จากอันแรกไป

จนถึงตัวที่ n, จริงไหม?

เขาบอกว่า มันมีจุดข้อมูล n ตัวในกลุ่มตัวอย่าง

แล้วคุณหารมันด้วยจำนวนจุดข้อมูลที่คุณมี

ใช้ได้

นี่มีสูตรเหมือนกัน

วิธีที่ผมหาค่าเฉลี่ยขอประชากร, ผมบอกว่า, เอาล่ะ, ถ้า

ผมมีตัวอย่าง, ขอผมหาค่าเฉลี่ยแบบเดียวกัน

และมันอาจเป็นค่าประมาณที่ดีสำหรับค่าเฉลี่ย

ของประชากรด้วย

ทีนี้ มันน่าสนใจตอนเราพูดถึงความแปรปรวน

ปฏิกิริยาตามธรรมชาติคือว่า โอเค, ผมมีกลุ่มตัวอย่างนี้

ถ้าผมอยากหาค่าความแปรปรวนของประชากร, ทำไม

เราไม่ใช้สูตรเดียวกับที่เรา

ใช้กับตัวอย่างล่ะ?

ผมก็บอกได้ว่า -- นี่คือความแปรปรวนตัวอย่าง

เขาใช้สูตร s กำลังสอง

ซิกม่าก็เหมือนกับตัวอักษรกรีกของ s

ตอนนี้เวลาเราคิดกลุ่มตัวอย่าง, เรา

แค่เขียน s ลงไป

นี่ก็คือความแปรปรวนของตัวอย่าง

ขอผมเขียนมันลงไปนะ

ความแปรปรวนของตัวอย่าง

-

นี่คือ -- เราก็อาจบอกว่า, นี่อาจเป็นวิธีที่ดีในการ

หาความแปรปรวนตัวอย่าง คือทำแบบนี้

ลองหาระยะห่างของแต่ละจุดในตัวอย่าง

หาว่ามันห่างจากค่าเฉลี่ยตัวอย่างแค่ไหน

ตรงนี้ เราใช้ค่าเฉลี่ยประชากร, แต่ตอนนี้เราจะใช้

ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง เพราะนั่นคือสิ่งที่เรามี

เราไม่รู้ว่าค่าเฉลี่ยประชากรเป็นเท่าไหร่

หากไม่ดูประชากรทั้งหมด

ยกกำลังมัน

นั่นทำให้มันเป็นบวก และมันมีสมบัติอื่น

ซึ่งเราจะพูดถึงต่อไป

แล้วถ้าเราหาค่าเฉลี่ยของระยะกำลังสองพวกนี้

แล้วคุณก็หาค่ามันจาก -- คุณรวมพวกมันเข้า

มันมีอยู่ n ตัวให้รวม, จริงไหม?

n เล็ก

แล้วคุณก็หารมันด้วยตัว n เล็ก

และคุณบอกว่า, นี่เป็นค่าประมาณที่ดี

ไม่ว่าความแปรปรวนนี้เป็นอะไร, มันน่าจะเป็นค่าประมาณที่ดี

สำหรับประชากรทั้งหมด

ที่จริง นี่คือสิ่งที่บางคนมักหมายถึง เวลาเขา

พูดถึงความแปรปรวนของตัวอย่าง

และบางครั้ง มันมักหมายถึงอันนี้

เขาจะเขียน n เล็กตรงนี้

และสาเหตุที่เขาทำอย่างนั้น เพราะเราหารด้วย n

แล้วคุณบอกว่า, ซาล มันมีปัญหาอะไรเหรอ?

และปัญหา -- ผมจะบอกถึงสัญชาตญาณให้ฟัง เพราะนี่

เป็นบางสิ่งที่ผมเคยสงสัยในใจ

และผมยังคงมีปัญหากับ

สัญชาตญาณเบื้องหลังเรื่องนี้อยู่

ผมมีสัญชาตญาณอยู่, แต่เราต้องพิสูจน์

ด้วยตัวองว่ามันเป็นอย่างนั้นจริง

แต่ลองคิดดู

ถ้าผมมีเลขหลายๆ ตัว, และผมจะวาด

เส้นจำนวนตรงนี้

ถ้าผมวาดเส้นจำนวนตรงนี้ -- สมมุติคุณรู้ว่า --

สมมุติว่าผมมีเลขหลายๆ ตัวในประชากร

สมมุติว่า -- ผมจะสุ่มใส่เลข

ลงไปเป็นประชากรนะ

อันที่อยู่ทางขวา มากกว่าอัน

ที่อยู่ทางซ้าย

-

แล้วถ้าผมเลือกกลุ่มตัวอย่างจากมัน, บางทีผมเลือก --

ตัวอย่าง, มันเป็นไปอย่างสุ่ม

ที่จริงคุณอยากเลือกตัวอย่างแบบสุ่ม

คุณไม่อยากเลือกให้มันเบี้ยวไป

บางทีผมเลือกอันนี้, อันนี้, อันนี้,

แล้วก็อันนั้น, ดีไหม?

แล้วถ้าเราหาค่าเฉลี่ยและเลขนั้น,

เลขนั้น, เลขนั้น, เลขนั้น

มันจะอยู่ตรงกลางสักที่

มันอาจจะอยู่แถวโน้น

แล้วถ้าเราหาความแปรปรวนตัวอย่าง โดยใช้

สูตรนี้, ผมก็บอกว่า โอเค ระยะนี่กำลังสอง บวกระยะนี่

กำลังสอง บวกระยะนี่กำลังสอง บวก

ระยะนั่นกำลังสอง แล้วเฉลี่ยทุกอย่างออกมา

แล้วผมจะได้เลขนี้มา

แล้วมันอาจเป็นค่าประมาณที่ดี

สำหรับความแปรปรวนของประชากรทั้งหมดนี้

ค่าเฉลี่ยของประชากรก็จะ

-- ไม่รู้สิ

มันอาจอยู่ใกล้อันนี้

ถ้าเราเอาข้อมูลทุกจุดมาแล้วเฉลี่ยมัน,

มันอาจอยู่ตรงนี้สักที่

แล้วถ้าคุณหาความแปรปรวน, มันอาจอยู่

ใกล้กับค่าเฉลี่ยของเส้นพวกนี้มาก, จริงไหม?

ระยะทางของความแปรปรวนตัวอย่างทั้งหมด, จริงไหม?

ใช้ได้

แล้วคุณบอกว่า, เฮ้ ซาล

นี่ก็ดูดีแล้วนี่

แต่มันมีปัญหาอยู่นิดหน่อย

ถ้าเกิด -- มันมีโอกาสที่ แทนที่จะ

เลือกตัวเลขที่กระจายตัวดีอย่างนี้

เป็นตัวอย่าง, ถ้าเกิดผมเลือกได้เลขนี้, เลขนี้

แล้วก็เลขนั้น เป็นกลุ่ม -- สมมุติว่าเลขนั้นด้วย

เป็นกลุ่มตัวอย่างของผมล่ะ?

ทีนี้ ไม่ว่ากลุ่มตัวอย่างคุณเป็นอะไร ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง

จะอยู่ตรงกลางของมัน, จริงไหม?

ในกรณีนี้, ค่าเฉลี่ยตัวอย่างอาจอยู่ตรงนี้

แล้วตัวเลขทั้งหมดนี้, คุณอาจบอกว่า โอเค เลขนี้

ไม่ไกลจากเลขนั้น, แต่เลขนั้นไม่ไกลนัก, แล้ว

เลขนั้นก็ไม่ไกลเกินไป

ค่าความแปรปรวนตัวอย่าง, เมื่อคุณหาแบบนี้, มันจะ

ออกมาต่ำไปหน่อย

เพราะตัวเลขพวกนี้, พวกมัน -- พวกมัน

ตามนิยามนี้, จะอยู่ใกล้ค่าเฉลี่ย

ของกันและกัน

แต่ในกรณนี้, ตัวอย่างของคุณเบี้ยว

ค่าเฉลี่ยของประชากรจริง อยู่ข้างนอกสักที่

ดังนั้นความแปรปรวนจริงของตัวอย่าง, ถ้าคุณรู้

ค่าเฉลี่ยจริง -- ผมรู้ว่านี่มันน่าสับสนหน่อย

ถ้าคุณรู้ค่าเฉลี่ย, คุณจะบอกว่า

โอ้ ว้าว

คุณหาระยะพวกนี้ได้, ซึ่ง

มีมากกว่านี้อีก

ประเด็นที่ผมบอกคือว่า, เวลาคุณเลือก

กลุ่มตัวอย่าง, มันมีโอกาสที่ค่าเฉลี่ยตัวอย่างของคุณ

มันใกล้กับค่าเฉลี่ยประชากร, จริงไหม?

บางทีค่าเฉลี่ยตัวอย่างอยู่ตรงนี้ และค่าเฉลี่ย

ประชากรอยู่ตรงนี้

แล้วสูตรนี้จะใช้ได้เหมือนกัน,

อย่างน้อยเมื่อรู้จุดข้อมูลของกลุ่มตัวอย่าง แล้วหา

ว่าความแปรปรวนเป็นเท่าไหร่

แต่มันมีโอกาสทีเดียว ที่ค่าเฉลี่ยตัวอย่างของคุณ -- ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง

จะอยู่ข้างในกลุ่มตัวอย่างเสมอ, จริงไหม?

มันจะอยู่ตรงศูนย์กลางของกลุ่มตัวอย่างเสมอ

แต่มันเป็นไปได้ที่ค่าเฉลี่ยประชากร

อยู่ข้างนอกกลุ่มตัวอย่าง

มันอาจเป็นว่า คุณเลือกอัน

ที่มันไม่มีค่าเฉลี่ยประชากรอยู่ข้างใน

แล้วความแปรปรวนตัวอย่าง ที่คำนวณแบบนี้ จะ

คาดเดาความแปรปรวนประชากรต่ำไป

, จริงไหม?

เพราะมันเลือกค่าเฉลี่ยที่ใกล้ตัวเอง

มากกว่าค่าเฉลี่ยประชากร

และถ้าคุณเข้าใจ, ที่จริง, แค่สัก 10%

ของอันนี้, คุณก็เป็นนักเรียนวิชาสิถิตระดับสูงแล้ว

แต่ผมบอกเรื่องพวกนี้ให้คุณ, หวังว่า

จะได้สัญชาตญาณเพื่อเข้าใจว่า อันนี้มักประเมินค่าต่ำไป

สูตรนี้มักกะค่าความแปรปรวนของ

ประชากรจริงต่ำไป

และมันมีสูตร, และที่จริงมีวิธีพิสูจน์

ที่รัดกุมกว่าที่ผมทำ, มันมีวิธีที่ดีกว่า

และเขาเรียกมันว่าค่าประมาณความแปรปรวน

ประชารที่ไม่เอนเอียง

หรือความแปรปรวนตัวอย่างแบบไม่เอนเอียง

บางครั้งเขาเขียนแทนด้วย s กำลังสองเหมือนเดิม

บางครั้งเขาเขียนด้วย s n ลบ 1 กำลังสอง

และผมจะแสดงให้ดูว่าทำไม

มันเกือบเหมือนเดิม

คุณเอาจุดข้อมูลแต่ละจุดมา, หาว่าพวกมัน

ใกล้จากค่าเฉลี่ยตัวอย่างแค่ไหน

คุณยกกำลังพวกมัน

แล้วคุณหาค่าเฉลี่ยของพวกนั้นกำลังสอง, ยกเว้น

อยู่อย่างเดียว

i เท่ากับ 1 ถึง i เท่ากับ n

แทนที่จะหารด้วย n, คุณหารด้วยเลข

ที่น้อยลงหน่อย

คุณหารด้วย n ลบ 1

แล้วเมื่อคุณหารด้วย n-1 แทนที่จะหารด้วย

n, คุณจะได้ค่าที่มากกว่านิดหน่อยตรงนี้

ปรากฏว่านี่คือ

ค่าประมาณที่ดีกว่า

และวันหนึ่ง ผมจะเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์เพื่อพิสูจน์

อย่างน้อยด้วยการทดลอง ว่านี่

คือการประมาณควาามแปรปรวนของประชากรที่ดีกว่า

และคุณสามารถคำนวณมันแบบเดียวกันได้

คุณแค่หารด้วย n ลบ 1

วิธีคิดอีกอย่างคือว่า -- และที่จริง, ไม่

ผมหมดเวลาแล้ว

ผมปล่อยคุณไปก่อนนะ

แล้วในวิดีโอหน้าล เราจะมาคำนวณ

เพื่อให้คุณไม่รู้สึกล้นเกินไป

เนื่องจากแนวคิดพวกนี้

เพราะเราใช้แนวคิดที่เป็นนามธรรมอยู่

แล้วพบกันในวิดีโอหน้าครับ

-