Linear Algebra: Rank(A) = Rank(transpose of A)
-
0:01 - 0:02在兩三個影片之前
-
0:02 - 0:05我說明了矩陣A的秩
-
0:05 - 0:09等於它的轉置的秩
-
0:09 - 0:10我作了許多論證
-
0:10 - 0:13在那個影片最後的時候 我累了
-
0:13 - 0:14事實上就是在那天結束的時候
-
0:14 - 0:16我想這樣做是有意義的
-
0:16 - 0:18把它講得明白一點兒
-
0:18 - 0:19因爲這很重要
-
0:19 - 0:21它會幫助我們更好地明白所有的
-
0:21 - 0:22我們學過的東西
-
0:22 - 0:26那麽 我們來看看――我要
-
0:26 - 0:28從A轉置開始
-
0:28 - 0:35A轉置的秩等於
-
0:35 - 0:39A轉置的列空間的維數
-
0:39 - 0:42這就是秩的定義
-
0:42 - 0:46A轉置的列空間的維數是
-
0:46 - 0:54A轉置的列空間的
-
0:54 - 0:56基向量的個數
-
0:56 - 0:57這就是維數的意義
-
0:57 - 0:58對於任何次空間
-
0:58 - 1:00你們算出來有多少基向量
-
1:00 - 1:02在這個次空間中 並數出它們
-
1:02 - 1:03這就是你的維數
-
1:03 - 1:07所以 它就是A的轉置的列空間的基向量的維數
-
1:07 - 1:10就是 當然 相同的
-
1:10 - 1:12這個我們已經看過很多次了
-
1:12 - 1:14和A的行空間是相同的
-
1:18 - 1:19對吧？
-
1:19 - 1:20A轉置的行向量
-
1:20 - 1:22和A的行向量是相同的
-
1:22 - 1:24這是因爲你改變了行和列
-
1:24 - 1:28現在 我們怎麽算出
-
1:28 - 1:30A轉置的列空間的基向量的個數
-
1:30 - 1:32或者說是A的行空間
-
1:32 - 1:33我們想一想
-
1:33 - 1:35從矩陣A的列空間能得到什麽？
-
1:35 - 1:39那麽 它等價於――我們說
-
1:39 - 1:41我這樣來畫A
-
1:41 - 1:45這就是矩陣A
-
1:45 - 1:47我們說這是一個m×n的矩陣
-
1:47 - 1:49我將它寫成一串行向量
-
1:49 - 1:51我也可以將它寫成一串行向量
-
1:51 - 1:53但現在我們來看看行向量
-
1:53 - 1:54這是第一行
-
1:54 - 1:57這是行向量的轉置
-
1:57 - 2:00這是第一行 還有第二行
-
2:00 - 2:05直到第m行
-
2:05 - 2:07對吧？
-
2:07 - 2:08這是一個m×n的矩陣
-
2:08 - 2:10這些向量都是在Rn中的
-
2:10 - 2:12因爲它們有n個分量
-
2:12 - 2:13因爲我們有n列
-
2:13 - 2:16所以 A看起來就是這個樣子
-
2:16 - 2:17矩陣A看起來就像這樣
-
2:17 - 2:18然後是A的轉置
-
2:18 - 2:22所有這些行都變成了列
-
2:22 - 2:27矩陣A的轉置就是這樣 r1 r2
-
2:27 - 2:30直到rm
-
2:30 - 2:34而這個當然就是一個n×m的矩陣
-
2:34 - 2:35把它換成這個
-
2:35 - 2:38那麽 所有的這些行就變成了列
-
2:38 - 2:39對吧？
-
2:39 - 2:41並且 明顯地列空間――
-
2:41 - 2:43或者可能不太明顯――
-
2:43 - 2:47矩陣A的轉置的列空間等於
-
2:47 - 2:56由r1 r2直到rm張成的空間
-
2:56 - 2:57對吧？
-
2:57 - 2:59等於這些向量張成的空間
-
2:59 - 3:00或者你可以不太精確地稱它
-
3:00 - 3:02等於由A的行向量張成的空間
-
3:02 - 3:03這就是爲什麽它被稱爲行空間
-
3:03 - 3:12這個等於由A的行空間張成的空間
-
3:12 - 3:14這兩個是等價的
-
3:14 - 3:16現在 這些是張成空間的向量
-
3:16 - 3:19這就是說這是某個次空間
-
3:19 - 3:20它是由所有這些列的線性組合組成的
-
3:20 - 3:22或者是說所有的這些行的線性組合
-
3:22 - 3:25如果我們要找到它的基 我們想要找到
-
3:25 - 3:28一個最小的線性獨立向量的集合
-
3:28 - 3:31我們可以用它來構造任何列
-
3:31 - 3:34或者可以用來構造這裡的任意行
-
3:34 - 3:38這裡 現在 當我們將A化爲
-
3:38 - 3:39行簡化階梯形會怎樣？
-
3:39 - 3:46我們作一些行變換來講它化爲
-
3:46 - 3:48行簡化階梯形
-
3:48 - 3:50對吧？
-
3:50 - 3:53做一些行變換 你最後就得到了
-
3:53 - 3:54某個像這樣的東西
-
3:54 - 3:57你會得到A的行簡化階梯形
-
3:57 - 3:59矩陣A的行簡化階梯形
-
3:59 - 4:01看起來就像這樣
-
4:01 - 4:03你會得到一些主行
-
4:03 - 4:05主行有軸元
-
4:05 - 4:07我們說這是其中之一
-
4:07 - 4:09我們說這是其中之一
-
4:09 - 4:11這個向下都是0
-
4:11 - 4:13這個也是0
-
4:13 - 4:14軸元必須是
-
4:14 - 4:16列中的唯一非零元
-
4:16 - 4:18而且它左邊的必須都是0
-
4:18 - 4:20比如說這個不是
-
4:20 - 4:21這些是非零值
-
4:21 - 4:22這些是0
-
4:23 - 4:25這裡是另一個軸元
-
4:25 - 4:26其它的都是0
-
4:26 - 4:29我們說其它所有的都是非軸元
-
4:29 - 4:31所以就得到了這個
-
4:31 - 4:33並且有確定數量的主行
-
4:33 - 4:35或是說確定數量的軸元 對吧？
-
4:35 - 4:36那麽就得到了這個
-
4:36 - 4:39通過對這些作行變換得到
-
4:39 - 4:41所以這些行變換――你知道
-
4:41 - 4:43我取3乘以第二行 將它加到第一行
-
4:43 - 4:45這就變成了新的第二行
-
4:45 - 4:48一直這樣作下去 然後你就得到了這些結果
-
4:48 - 4:49那麽 這些就是
-
4:49 - 4:51這些的線性組合
-
4:51 - 4:52或者換種說法
-
4:52 - 4:54你可以反向作行變換
-
4:54 - 4:56我可以從這些開始
-
4:56 - 4:58我可以很簡單地
-
4:58 - 5:00進行反向行變換
-
5:00 - 5:03任何線性組合 你都可以反向進行
-
5:03 - 5:04我們已經看過這個很多次了
-
5:04 - 5:09你可以對這些作行變換
-
5:10 - 5:11來得到這些東西
-
5:11 - 5:15或者另一種方法來看待它 這裡的這些向量
-
5:15 - 5:16這裡的這些行向量
-
5:16 - 5:18它們張成了這些――
-
5:18 - 5:22或者所有的這些行向量可以被表示成
-
5:22 - 5:24主行的線性組合
-
5:24 - 5:28明顯地 非主行都是0
-
5:28 - 5:30而這些是無用的
-
5:30 - 5:32但是 對於主行
-
5:32 - 5:34如果你取它們的線性組合
-
5:34 - 5:38你可以反向作行階梯形
-
5:38 - 5:39得到這個矩陣
-
5:39 - 5:41所以 所有的這些都可以被表示成
-
5:41 - 5:43它們的線性組合
-
5:43 - 5:46而所有的這些軸元由定義――好
-
5:46 - 5:48幾乎由定義――
-
5:48 - 5:50它們是線性獨立的 對吧？
-
5:50 - 5:51因爲這裡有一個1
-
5:51 - 5:52其它地方沒有1
-
5:53 - 5:55所以這個不能被表示成
-
5:55 - 5:57另一個的線性組合
-
5:57 - 6:00所以爲什麽我要將這個練習？
-
6:00 - 6:02好 我們開始講我們想要
-
6:02 - 6:05這個行空間的一組基
-
6:05 - 6:08我們想要某個
-
6:08 - 6:10線性獨立向量的極小集
-
6:10 - 6:12它張成了所有這些能張成的的東西
-
6:12 - 6:15好 如果所有的這些東西可以被表示成
-
6:15 - 6:17這些行向量的線性組合
-
6:17 - 6:18以行簡化階梯形――
-
6:18 - 6:23或是行簡化階梯形的主行――
-
6:23 - 6:25而這些都是線性獨立的
-
6:25 - 6:27那麽這就是一組合理的基
-
6:27 - 6:30所有這裡的這些主行 這是其中之一
-
6:30 - 6:33這是第二個 這是第三個
-
6:33 - 6:35或許只有這三個
-
6:35 - 6:36這就是這個特殊的例子
-
6:36 - 6:39這是行空間的一組合適的基
-
6:39 - 6:40那麽我把它寫下來
-
6:40 - 6:51矩陣A的行簡化階梯形的主行
-
6:51 - 7:03和A的行空間的一組基
-
7:03 - 7:06而A的行空間就是
-
7:06 - 7:08A轉置的列空間
-
7:08 - 7:11矩陣A的行空間就是
-
7:11 - 7:12A轉置的列空間
-
7:12 - 7:13我們已經看過很多次了
-
7:13 - 7:15現在 如果我們想要知道
-
7:15 - 7:18列空間的維數
-
7:18 - 7:20我們僅需數一數主行的個數
-
7:20 - 7:23那麽你僅需數一數主行的個數
-
7:23 - 7:25那麽行空間的維數
-
7:25 - 7:26就是
-
7:26 - 7:29A轉置的列空間 就是
-
7:29 - 7:31在行簡化階梯形中的
-
7:31 - 7:32主行的個數
-
7:32 - 7:36或者 甚至更簡單 是軸元的個數
-
7:36 - 7:37因爲每個軸元都有一個主行
-
7:37 - 7:47所以我們可以寫成A轉置的秩等於
-
7:47 - 7:50軸元的個數
-
7:50 - 7:57在A的行簡化階梯形中
-
7:57 - 7:59對吧？
-
7:59 - 8:00因爲每個軸元對應於一個主行
-
8:00 - 8:02這些主行就是一組合適的基
-
8:02 - 8:04對於整個行空間而言
-
8:04 - 8:06因爲每一行可以被看作是
-
8:06 - 8:08這些的一個線性組合
-
8:08 - 8:09而因爲所有的這些可以是
-
8:09 - 8:11那麽任何這些可以構造出的東西
-
8:11 - 8:13這些就可以構造出來
-
8:13 - 8:14很簡單的
-
8:14 - 8:15現在 A的秩是多少？
-
8:15 - 8:18這是A轉置的秩
-
8:18 - 8:19這是我們已經處理過的問題了
-
8:19 - 8:29矩陣A的秩等於
-
8:29 - 8:32矩陣A的列空間的維數
-
8:33 - 8:41或者 你可以說是
-
8:41 - 8:44矩陣A中的列空間的基向量的個數
-
8:44 - 8:50所以如果我們取和上面算過的相同的矩陣A
-
8:50 - 8:53相反 我們將它寫成一串行向量
-
8:53 - 8:58就是c1 c2 直到cn
-
8:58 - 8:59我們這裡有n列
-
8:59 - 9:03列空間就是這樣的次空間
-
9:03 - 9:05它是由所有的這些向量張成的
-
9:05 - 9:08對吧？是由這些行向量的每一個張成的
-
9:08 - 9:13那麽A的列空間等於由c1 c2
-
9:13 - 9:16直到cn張成的空間
-
9:16 - 9:17這就是它的定義
-
9:17 - 9:19但我們想要知道基向量的個數
-
9:19 - 9:21我們已經知道了――
-
9:21 - 9:22我們已經這樣作很多次了――
-
9:22 - 9:24正確的基向量是什麽樣子
-
9:24 - 9:27如果你將它化成行簡化階梯形
-
9:27 - 9:31並且有某個軸元
-
9:31 - 9:33和它們對應的主列
-
9:33 - 9:36那麽某個軸元和它們對應的
-
9:36 - 9:37主列就像這樣
-
9:37 - 9:39或許像這樣
-
9:39 - 9:42然後或許這個不是 而這個是
-
9:42 - 9:45所以你就得到了主列的確定數量
-
9:45 - 9:49我用另一種顏色
-
9:49 - 9:53這裡你將A化成行簡化階梯形
-
9:53 - 9:55我們知道了基向量
-
9:55 - 9:57或者是基列 它們形成了
-
9:57 - 9:58列空間的一組基
-
9:58 - 10:01而列對應於主列
-
10:01 - 10:04所以第一列是一個主列
-
10:05 - 10:06這個是一個基向量
-
10:06 - 10:07第二列也是
-
10:07 - 10:08所以這個是一個主向量
-
10:08 - 10:10或者可能這裡的第四個也是
-
10:10 - 10:12這個也是主向量
-
10:12 - 10:14那麽 一般來講 你可以說 嘿
-
10:14 - 10:17如果你想要數一數基向量的個數――
-
10:17 - 10:18因爲我們甚至不必知道
-
10:18 - 10:19它們具體都是哪些向量
-
10:19 - 10:21我們僅需知道其個數
-
10:21 - 10:23好 你說了 對於這裡的每一個主列
-
10:23 - 10:24我們這裡都有一個基向量
-
10:24 - 10:26所以我們可以數出主列的個數
-
10:26 - 10:29而主列的個數等於
-
10:29 - 10:31軸元的個數
-
10:31 - 10:33因爲每個軸元都對應一個主列
-
10:33 - 10:39所以我們可以說A的秩等於
-
10:39 - 10:43軸元的個數
-
10:43 - 10:49在A的行簡化階梯形中
-
10:50 - 10:52而且 你可以很清楚地明白
-
10:52 - 10:54這個和我們推導的東西一樣
-
10:54 - 10:56等於A轉置的秩
-
10:56 - 11:00就是A轉置的列空間的維數
-
11:00 - 11:02或者是說A的行空間的維數
-
11:02 - 11:05所以現在可以寫出我們的結論了
-
11:05 - 11:10矩陣A的秩就是
-
11:10 - 11:13矩陣A的轉置的秩
- Title:
- Linear Algebra: Rank(A) = Rank(transpose of A)
- Description:
-
more » « less
- Video Language:
- English
- Team:
Khan Academy
- Duration:
- 11:14
|
Fran Ontanaya edited Chinese (Traditional, Taiwan) subtitles for Linear Algebra: Rank(A) = Rank(transpose of A) |