1
00:00:00,520 --> 00:00:02,120
在兩三個影片之前

2
00:00:02,140 --> 00:00:05,240
我說明了矩陣A的秩

3
00:00:05,250 --> 00:00:08,640
等於它的轉置的秩

4
00:00:08,650 --> 00:00:10,230
我作了許多論證

5
00:00:10,240 --> 00:00:12,540
在那個影片最後的時候 我累了

6
00:00:12,550 --> 00:00:13,700
事實上就是在那天結束的時候

7
00:00:13,700 --> 00:00:16,010
我想這樣做是有意義的

8
00:00:16,020 --> 00:00:17,890
把它講得明白一點兒

9
00:00:17,910 --> 00:00:18,930
因爲這很重要

10
00:00:18,950 --> 00:00:21,140
它會幫助我們更好地明白所有的

11
00:00:21,160 --> 00:00:22,320
我們學過的東西

12
00:00:22,330 --> 00:00:25,690
那麽 我們來看看――我要

13
00:00:25,700 --> 00:00:27,980
從A轉置開始

14
00:00:28,000 --> 00:00:34,900
A轉置的秩等於

15
00:00:34,920 --> 00:00:38,860
A轉置的列空間的維數

16
00:00:38,880 --> 00:00:41,630
這就是秩的定義

17
00:00:41,660 --> 00:00:46,350
A轉置的列空間的維數是

18
00:00:46,370 --> 00:00:53,950
A轉置的列空間的

19
00:00:53,970 --> 00:00:55,560
基向量的個數

20
00:00:55,570 --> 00:00:56,890
這就是維數的意義

21
00:00:56,920 --> 00:00:58,140
對於任何次空間

22
00:00:58,160 --> 00:01:00,050
你們算出來有多少基向量

23
00:01:00,070 --> 00:01:02,160
在這個次空間中 並數出它們

24
00:01:02,180 --> 00:01:03,290
這就是你的維數

25
00:01:03,300 --> 00:01:07,260
所以 它就是A的轉置的列空間的基向量的維數

26
00:01:07,280 --> 00:01:09,810
就是 當然 相同的

27
00:01:09,820 --> 00:01:11,840
這個我們已經看過很多次了

28
00:01:11,860 --> 00:01:13,580
和A的行空間是相同的

29
00:01:17,630 --> 00:01:18,710
對吧？

30
00:01:18,720 --> 00:01:20,070
A轉置的行向量

31
00:01:20,090 --> 00:01:22,140
和A的行向量是相同的

32
00:01:22,160 --> 00:01:23,610
這是因爲你改變了行和列

33
00:01:23,630 --> 00:01:27,720
現在 我們怎麽算出

34
00:01:27,750 --> 00:01:30,230
A轉置的列空間的基向量的個數

35
00:01:30,250 --> 00:01:31,500
或者說是A的行空間

36
00:01:31,520 --> 00:01:33,090
我們想一想

37
00:01:33,110 --> 00:01:35,390
從矩陣A的列空間能得到什麽？

38
00:01:35,410 --> 00:01:38,540
那麽 它等價於――我們說

39
00:01:38,560 --> 00:01:40,750
我這樣來畫A

40
00:01:40,760 --> 00:01:44,800
這就是矩陣A

41
00:01:44,810 --> 00:01:47,050
我們說這是一個m×n的矩陣

42
00:01:47,070 --> 00:01:49,450
我將它寫成一串行向量

43
00:01:49,470 --> 00:01:51,080
我也可以將它寫成一串行向量

44
00:01:51,100 --> 00:01:52,660
但現在我們來看看行向量

45
00:01:52,680 --> 00:01:54,490
這是第一行

46
00:01:54,500 --> 00:01:57,070
這是行向量的轉置

47
00:01:57,090 --> 00:01:59,930
這是第一行 還有第二行

48
00:01:59,950 --> 00:02:05,140
直到第m行

49
00:02:05,150 --> 00:02:06,540
對吧？

50
00:02:06,560 --> 00:02:07,640
這是一個m×n的矩陣

51
00:02:07,670 --> 00:02:10,150
這些向量都是在Rn中的

52
00:02:10,170 --> 00:02:11,970
因爲它們有n個分量

53
00:02:11,980 --> 00:02:13,340
因爲我們有n列

54
00:02:13,350 --> 00:02:15,610
所以 A看起來就是這個樣子

55
00:02:15,630 --> 00:02:17,070
矩陣A看起來就像這樣

56
00:02:17,080 --> 00:02:18,380
然後是A的轉置

57
00:02:18,400 --> 00:02:21,520
所有這些行都變成了列

58
00:02:21,530 --> 00:02:27,050
矩陣A的轉置就是這樣 r1 r2

59
00:02:27,060 --> 00:02:30,170
直到rm

60
00:02:30,190 --> 00:02:33,520
而這個當然就是一個n×m的矩陣

61
00:02:33,550 --> 00:02:35,250
把它換成這個

62
00:02:35,270 --> 00:02:37,860
那麽 所有的這些行就變成了列

63
00:02:37,880 --> 00:02:39,360
對吧？

64
00:02:39,380 --> 00:02:41,310
並且 明顯地列空間――

65
00:02:41,320 --> 00:02:42,740
或者可能不太明顯――

66
00:02:42,740 --> 00:02:47,320
矩陣A的轉置的列空間等於

67
00:02:47,340 --> 00:02:55,790
由r1 r2直到rm張成的空間

68
00:02:55,810 --> 00:02:57,110
對吧？

69
00:02:57,130 --> 00:02:58,720
等於這些向量張成的空間

70
00:02:58,730 --> 00:02:59,980
或者你可以不太精確地稱它

71
00:03:00,010 --> 00:03:01,770
等於由A的行向量張成的空間

72
00:03:01,790 --> 00:03:03,390
這就是爲什麽它被稱爲行空間

73
00:03:03,410 --> 00:03:12,430
這個等於由A的行空間張成的空間

74
00:03:12,440 --> 00:03:14,150
這兩個是等價的

75
00:03:14,160 --> 00:03:16,240
現在 這些是張成空間的向量

76
00:03:16,250 --> 00:03:18,540
這就是說這是某個次空間

77
00:03:18,550 --> 00:03:19,800
它是由所有這些列的線性組合組成的

78
00:03:19,810 --> 00:03:22,080
或者是說所有的這些行的線性組合

79
00:03:22,100 --> 00:03:25,370
如果我們要找到它的基 我們想要找到

80
00:03:25,390 --> 00:03:27,530
一個最小的線性獨立向量的集合

81
00:03:27,550 --> 00:03:30,660
我們可以用它來構造任何列

82
00:03:30,680 --> 00:03:33,670
或者可以用來構造這裡的任意行

83
00:03:33,680 --> 00:03:37,630
這裡 現在 當我們將A化爲

84
00:03:37,650 --> 00:03:38,970
行簡化階梯形會怎樣？

85
00:03:38,990 --> 00:03:46,280
我們作一些行變換來講它化爲

86
00:03:46,290 --> 00:03:48,350
行簡化階梯形

87
00:03:48,370 --> 00:03:49,550
對吧？

88
00:03:49,560 --> 00:03:52,600
做一些行變換 你最後就得到了

89
00:03:52,610 --> 00:03:53,840
某個像這樣的東西

90
00:03:53,870 --> 00:03:57,000
你會得到A的行簡化階梯形

91
00:03:57,010 --> 00:03:59,350
矩陣A的行簡化階梯形

92
00:03:59,360 --> 00:04:00,790
看起來就像這樣

93
00:04:00,800 --> 00:04:03,090
你會得到一些主行

94
00:04:03,100 --> 00:04:05,110
主行有軸元

95
00:04:05,130 --> 00:04:07,180
我們說這是其中之一

96
00:04:07,200 --> 00:04:08,800
我們說這是其中之一

97
00:04:08,820 --> 00:04:10,670
這個向下都是0

98
00:04:10,680 --> 00:04:12,730
這個也是0

99
00:04:12,750 --> 00:04:14,140
軸元必須是

100
00:04:14,150 --> 00:04:16,190
列中的唯一非零元

101
00:04:16,210 --> 00:04:18,210
而且它左邊的必須都是0

102
00:04:18,230 --> 00:04:19,680
比如說這個不是

103
00:04:19,690 --> 00:04:21,460
這些是非零值

104
00:04:21,490 --> 00:04:22,500
這些是0

105
00:04:22,530 --> 00:04:25,110
這裡是另一個軸元

106
00:04:25,120 --> 00:04:26,130
其它的都是0

107
00:04:26,150 --> 00:04:28,550
我們說其它所有的都是非軸元

108
00:04:28,560 --> 00:04:30,820
所以就得到了這個

109
00:04:30,830 --> 00:04:33,340
並且有確定數量的主行

110
00:04:33,360 --> 00:04:34,600
或是說確定數量的軸元 對吧？

111
00:04:34,640 --> 00:04:36,310
那麽就得到了這個

112
00:04:36,330 --> 00:04:38,890
通過對這些作行變換得到

113
00:04:38,900 --> 00:04:41,340
所以這些行變換――你知道

114
00:04:41,360 --> 00:04:43,460
我取3乘以第二行 將它加到第一行

115
00:04:43,480 --> 00:04:45,350
這就變成了新的第二行

116
00:04:45,360 --> 00:04:48,190
一直這樣作下去 然後你就得到了這些結果

117
00:04:48,200 --> 00:04:49,340
那麽 這些就是

118
00:04:49,350 --> 00:04:50,660
這些的線性組合

119
00:04:50,670 --> 00:04:52,010
或者換種說法

120
00:04:52,030 --> 00:04:53,560
你可以反向作行變換

121
00:04:53,580 --> 00:04:55,660
我可以從這些開始

122
00:04:55,670 --> 00:04:58,470
我可以很簡單地

123
00:04:58,480 --> 00:04:59,900
進行反向行變換

124
00:04:59,920 --> 00:05:02,880
任何線性組合 你都可以反向進行

125
00:05:02,900 --> 00:05:04,210
我們已經看過這個很多次了

126
00:05:04,230 --> 00:05:09,490
你可以對這些作行變換

127
00:05:09,510 --> 00:05:11,290
來得到這些東西

128
00:05:11,310 --> 00:05:14,630
或者另一種方法來看待它 這裡的這些向量

129
00:05:14,640 --> 00:05:16,200
這裡的這些行向量

130
00:05:16,220 --> 00:05:18,400
它們張成了這些――

131
00:05:18,410 --> 00:05:21,610
或者所有的這些行向量可以被表示成

132
00:05:21,630 --> 00:05:24,410
主行的線性組合

133
00:05:24,430 --> 00:05:27,570
明顯地 非主行都是0

134
00:05:27,580 --> 00:05:30,330
而這些是無用的

135
00:05:30,350 --> 00:05:32,440
但是 對於主行

136
00:05:32,450 --> 00:05:34,370
如果你取它們的線性組合

137
00:05:34,390 --> 00:05:38,070
你可以反向作行階梯形

138
00:05:38,070 --> 00:05:39,370
得到這個矩陣

139
00:05:39,390 --> 00:05:41,010
所以 所有的這些都可以被表示成

140
00:05:41,020 --> 00:05:42,780
它們的線性組合

141
00:05:42,800 --> 00:05:46,200
而所有的這些軸元由定義――好

142
00:05:46,210 --> 00:05:48,440
幾乎由定義――

143
00:05:48,460 --> 00:05:49,830
它們是線性獨立的 對吧？

144
00:05:49,850 --> 00:05:51,220
因爲這裡有一個1

145
00:05:51,230 --> 00:05:52,500
其它地方沒有1

146
00:05:52,520 --> 00:05:55,460
所以這個不能被表示成

147
00:05:55,480 --> 00:05:57,340
另一個的線性組合

148
00:05:57,350 --> 00:06:00,000
所以爲什麽我要將這個練習？

149
00:06:00,020 --> 00:06:02,420
好 我們開始講我們想要

150
00:06:02,440 --> 00:06:05,220
這個行空間的一組基

151
00:06:05,240 --> 00:06:07,870
我們想要某個

152
00:06:07,890 --> 00:06:09,870
線性獨立向量的極小集

153
00:06:09,890 --> 00:06:12,290
它張成了所有這些能張成的的東西

154
00:06:12,300 --> 00:06:14,790
好 如果所有的這些東西可以被表示成

155
00:06:14,810 --> 00:06:16,740
這些行向量的線性組合

156
00:06:16,760 --> 00:06:18,220
以行簡化階梯形――

157
00:06:18,230 --> 00:06:22,740
或是行簡化階梯形的主行――

158
00:06:22,760 --> 00:06:25,060
而這些都是線性獨立的

159
00:06:25,080 --> 00:06:26,790
那麽這就是一組合理的基

160
00:06:26,810 --> 00:06:30,370
所有這裡的這些主行 這是其中之一

161
00:06:30,380 --> 00:06:33,310
這是第二個 這是第三個

162
00:06:33,320 --> 00:06:34,650
或許只有這三個

163
00:06:34,670 --> 00:06:36,090
這就是這個特殊的例子

164
00:06:36,110 --> 00:06:38,670
這是行空間的一組合適的基

165
00:06:38,680 --> 00:06:40,200
那麽我把它寫下來

166
00:06:40,210 --> 00:06:51,410
矩陣A的行簡化階梯形的主行

167
00:06:51,430 --> 00:07:03,100
和A的行空間的一組基

168
00:07:03,110 --> 00:07:05,580
而A的行空間就是

169
00:07:05,600 --> 00:07:08,390
A轉置的列空間

170
00:07:08,410 --> 00:07:10,590
矩陣A的行空間就是

171
00:07:10,610 --> 00:07:11,810
A轉置的列空間

172
00:07:11,820 --> 00:07:12,950
我們已經看過很多次了

173
00:07:12,970 --> 00:07:14,740
現在 如果我們想要知道

174
00:07:14,750 --> 00:07:17,960
列空間的維數

175
00:07:17,980 --> 00:07:20,270
我們僅需數一數主行的個數

176
00:07:20,280 --> 00:07:22,550
那麽你僅需數一數主行的個數

177
00:07:22,570 --> 00:07:25,320
那麽行空間的維數

178
00:07:25,340 --> 00:07:26,430
就是

179
00:07:26,440 --> 00:07:28,690
A轉置的列空間 就是

180
00:07:28,700 --> 00:07:30,800
在行簡化階梯形中的

181
00:07:30,820 --> 00:07:32,170
主行的個數

182
00:07:32,180 --> 00:07:35,590
或者 甚至更簡單 是軸元的個數

183
00:07:35,610 --> 00:07:37,340
因爲每個軸元都有一個主行

184
00:07:37,360 --> 00:07:47,160
所以我們可以寫成A轉置的秩等於

185
00:07:47,180 --> 00:07:49,820
軸元的個數

186
00:07:49,850 --> 00:07:57,420
在A的行簡化階梯形中

187
00:07:57,430 --> 00:07:58,680
對吧？

188
00:07:58,690 --> 00:08:00,070
因爲每個軸元對應於一個主行

189
00:08:00,080 --> 00:08:01,940
這些主行就是一組合適的基

190
00:08:01,960 --> 00:08:04,430
對於整個行空間而言

191
00:08:04,440 --> 00:08:06,240
因爲每一行可以被看作是

192
00:08:06,260 --> 00:08:07,630
這些的一個線性組合

193
00:08:07,650 --> 00:08:09,450
而因爲所有的這些可以是

194
00:08:09,470 --> 00:08:11,010
那麽任何這些可以構造出的東西

195
00:08:11,020 --> 00:08:12,600
這些就可以構造出來

196
00:08:12,620 --> 00:08:13,800
很簡單的

197
00:08:13,820 --> 00:08:15,340
現在 A的秩是多少？

198
00:08:15,360 --> 00:08:18,060
這是A轉置的秩

199
00:08:18,080 --> 00:08:19,340
這是我們已經處理過的問題了

200
00:08:19,350 --> 00:08:28,550
矩陣A的秩等於

201
00:08:28,570 --> 00:08:32,490
矩陣A的列空間的維數

202
00:08:32,510 --> 00:08:40,680
或者 你可以說是

203
00:08:40,700 --> 00:08:43,870
矩陣A中的列空間的基向量的個數

204
00:08:43,890 --> 00:08:50,030
所以如果我們取和上面算過的相同的矩陣A

205
00:08:50,050 --> 00:08:53,000
相反 我們將它寫成一串行向量

206
00:08:53,020 --> 00:08:57,930
就是c1 c2 直到cn

207
00:08:57,950 --> 00:08:59,390
我們這裡有n列

208
00:08:59,410 --> 00:09:03,040
列空間就是這樣的次空間

209
00:09:03,050 --> 00:09:04,990
它是由所有的這些向量張成的

210
00:09:05,000 --> 00:09:07,540
對吧？是由這些行向量的每一個張成的

211
00:09:07,560 --> 00:09:13,330
那麽A的列空間等於由c1 c2

212
00:09:13,360 --> 00:09:16,100
直到cn張成的空間

213
00:09:16,120 --> 00:09:17,430
這就是它的定義

214
00:09:17,450 --> 00:09:19,430
但我們想要知道基向量的個數

215
00:09:19,440 --> 00:09:20,790
我們已經知道了――

216
00:09:20,810 --> 00:09:22,080
我們已經這樣作很多次了――

217
00:09:22,090 --> 00:09:23,810
正確的基向量是什麽樣子

218
00:09:23,830 --> 00:09:27,260
如果你將它化成行簡化階梯形

219
00:09:27,280 --> 00:09:30,900
並且有某個軸元

220
00:09:30,910 --> 00:09:32,840
和它們對應的主列

221
00:09:32,860 --> 00:09:35,530
那麽某個軸元和它們對應的

222
00:09:35,540 --> 00:09:37,340
主列就像這樣

223
00:09:37,350 --> 00:09:38,810
或許像這樣

224
00:09:38,830 --> 00:09:42,240
然後或許這個不是 而這個是

225
00:09:42,260 --> 00:09:44,530
所以你就得到了主列的確定數量

226
00:09:44,550 --> 00:09:48,880
我用另一種顏色

227
00:09:48,900 --> 00:09:53,140
這裡你將A化成行簡化階梯形

228
00:09:53,150 --> 00:09:54,820
我們知道了基向量

229
00:09:54,840 --> 00:09:57,160
或者是基列 它們形成了

230
00:09:57,180 --> 00:09:58,350
列空間的一組基

231
00:09:58,360 --> 00:10:01,270
而列對應於主列

232
00:10:01,280 --> 00:10:04,500
所以第一列是一個主列

233
00:10:04,520 --> 00:10:06,000
這個是一個基向量

234
00:10:06,020 --> 00:10:07,170
第二列也是

235
00:10:07,200 --> 00:10:08,390
所以這個是一個主向量

236
00:10:08,400 --> 00:10:10,320
或者可能這裡的第四個也是

237
00:10:10,330 --> 00:10:11,640
這個也是主向量

238
00:10:11,660 --> 00:10:13,610
那麽 一般來講 你可以說 嘿

239
00:10:13,630 --> 00:10:16,600
如果你想要數一數基向量的個數――

240
00:10:16,620 --> 00:10:18,330
因爲我們甚至不必知道

241
00:10:18,350 --> 00:10:19,480
它們具體都是哪些向量

242
00:10:19,490 --> 00:10:20,630
我們僅需知道其個數

243
00:10:20,650 --> 00:10:22,970
好 你說了 對於這裡的每一個主列

244
00:10:22,990 --> 00:10:24,390
我們這裡都有一個基向量

245
00:10:24,400 --> 00:10:26,360
所以我們可以數出主列的個數

246
00:10:26,390 --> 00:10:29,320
而主列的個數等於

247
00:10:29,330 --> 00:10:30,890
軸元的個數

248
00:10:30,900 --> 00:10:32,800
因爲每個軸元都對應一個主列

249
00:10:32,810 --> 00:10:38,860
所以我們可以說A的秩等於

250
00:10:38,890 --> 00:10:43,030
軸元的個數

251
00:10:43,040 --> 00:10:49,480
在A的行簡化階梯形中

252
00:10:49,500 --> 00:10:52,260
而且 你可以很清楚地明白

253
00:10:52,270 --> 00:10:53,690
這個和我們推導的東西一樣

254
00:10:53,710 --> 00:10:55,690
等於A轉置的秩

255
00:10:55,700 --> 00:11:00,050
就是A轉置的列空間的維數

256
00:11:00,080 --> 00:11:01,870
或者是說A的行空間的維數

257
00:11:01,890 --> 00:11:04,510
所以現在可以寫出我們的結論了

258
00:11:04,530 --> 00:11:09,670
矩陣A的秩就是

259
00:11:09,690 --> 00:11:12,850
矩陣A的轉置的秩