在兩三個影片之前
我說明了矩陣A的秩
等於它的轉置的秩
我作了許多論證
在那個影片最後的時候 我累了
事實上就是在那天結束的時候
我想這樣做是有意義的
把它講得明白一點兒
因爲這很重要
它會幫助我們更好地明白所有的
我們學過的東西
那麽 我們來看看――我要
從A轉置開始
A轉置的秩等於
A轉置的列空間的維數
這就是秩的定義
A轉置的列空間的維數是
A轉置的列空間的
基向量的個數
這就是維數的意義
對於任何次空間
你們算出來有多少基向量
在這個次空間中 並數出它們
這就是你的維數
所以 它就是A的轉置的列空間的基向量的維數
就是 當然 相同的
這個我們已經看過很多次了
和A的行空間是相同的
對吧？
A轉置的行向量
和A的行向量是相同的
這是因爲你改變了行和列
現在 我們怎麽算出
A轉置的列空間的基向量的個數
或者說是A的行空間
我們想一想
從矩陣A的列空間能得到什麽？
那麽 它等價於――我們說
我這樣來畫A
這就是矩陣A
我們說這是一個m×n的矩陣
我將它寫成一串行向量
我也可以將它寫成一串行向量
但現在我們來看看行向量
這是第一行
這是行向量的轉置
這是第一行 還有第二行
直到第m行
對吧？
這是一個m×n的矩陣
這些向量都是在Rn中的
因爲它們有n個分量
因爲我們有n列
所以 A看起來就是這個樣子
矩陣A看起來就像這樣
然後是A的轉置
所有這些行都變成了列
矩陣A的轉置就是這樣 r1 r2
直到rm
而這個當然就是一個n×m的矩陣
把它換成這個
那麽 所有的這些行就變成了列
對吧？
並且 明顯地列空間――
或者可能不太明顯――
矩陣A的轉置的列空間等於
由r1 r2直到rm張成的空間
對吧？
等於這些向量張成的空間
或者你可以不太精確地稱它
等於由A的行向量張成的空間
這就是爲什麽它被稱爲行空間
這個等於由A的行空間張成的空間
這兩個是等價的
現在 這些是張成空間的向量
這就是說這是某個次空間
它是由所有這些列的線性組合組成的
或者是說所有的這些行的線性組合
如果我們要找到它的基 我們想要找到
一個最小的線性獨立向量的集合
我們可以用它來構造任何列
或者可以用來構造這裡的任意行
這裡 現在 當我們將A化爲
行簡化階梯形會怎樣？
我們作一些行變換來講它化爲
行簡化階梯形
對吧？
做一些行變換 你最後就得到了
某個像這樣的東西
你會得到A的行簡化階梯形
矩陣A的行簡化階梯形
看起來就像這樣
你會得到一些主行
主行有軸元
我們說這是其中之一
這個向下都是0
這個也是0
軸元必須是
列中的唯一非零元
而且它左邊的必須都是0
比如說這個不是
這些是非零值
這些是0
這裡是另一個軸元
其它的都是0
我們說其它所有的都是非軸元
所以就得到了這個
並且有確定數量的主行
或是說確定數量的軸元 對吧？
那麽就得到了這個
通過對這些作行變換得到
所以這些行變換――你知道
我取3乘以第二行 將它加到第一行
這就變成了新的第二行
一直這樣作下去 然後你就得到了這些結果
那麽 這些就是
這些的線性組合
或者換種說法
你可以反向作行變換
我可以從這些開始
我可以很簡單地
進行反向行變換
任何線性組合 你都可以反向進行
我們已經看過這個很多次了
你可以對這些作行變換
來得到這些東西
或者另一種方法來看待它 這裡的這些向量
這裡的這些行向量
它們張成了這些――
或者所有的這些行向量可以被表示成
主行的線性組合
明顯地 非主行都是0
而這些是無用的
但是 對於主行
如果你取它們的線性組合
你可以反向作行階梯形
得到這個矩陣
所以 所有的這些都可以被表示成
它們的線性組合
而所有的這些軸元由定義――好
幾乎由定義――
它們是線性獨立的 對吧？
因爲這裡有一個1
其它地方沒有1
所以這個不能被表示成
另一個的線性組合
所以爲什麽我要將這個練習？
好 我們開始講我們想要
這個行空間的一組基
我們想要某個
線性獨立向量的極小集
它張成了所有這些能張成的的東西
好 如果所有的這些東西可以被表示成
這些行向量的線性組合
以行簡化階梯形――
或是行簡化階梯形的主行――
而這些都是線性獨立的
那麽這就是一組合理的基
所有這裡的這些主行 這是其中之一
這是第二個 這是第三個
或許只有這三個
這就是這個特殊的例子
這是行空間的一組合適的基
那麽我把它寫下來
矩陣A的行簡化階梯形的主行
和A的行空間的一組基
而A的行空間就是
A轉置的列空間
矩陣A的行空間就是
A轉置的列空間
我們已經看過很多次了
現在 如果我們想要知道
列空間的維數
我們僅需數一數主行的個數
那麽你僅需數一數主行的個數
那麽行空間的維數
就是
A轉置的列空間 就是
在行簡化階梯形中的
主行的個數
或者 甚至更簡單 是軸元的個數
因爲每個軸元都有一個主行
所以我們可以寫成A轉置的秩等於
軸元的個數
在A的行簡化階梯形中
對吧？
因爲每個軸元對應於一個主行
這些主行就是一組合適的基
對於整個行空間而言
因爲每一行可以被看作是
這些的一個線性組合
而因爲所有的這些可以是
那麽任何這些可以構造出的東西
這些就可以構造出來
很簡單的
現在 A的秩是多少？
這是A轉置的秩
這是我們已經處理過的問題了
矩陣A的秩等於
矩陣A的列空間的維數
或者 你可以說是
矩陣A中的列空間的基向量的個數
所以如果我們取和上面算過的相同的矩陣A
相反 我們將它寫成一串行向量
就是c1 c2 直到cn
我們這裡有n列
列空間就是這樣的次空間
它是由所有的這些向量張成的
對吧？是由這些行向量的每一個張成的
那麽A的列空間等於由c1 c2
直到cn張成的空間
這就是它的定義
但我們想要知道基向量的個數
我們已經知道了――
我們已經這樣作很多次了――
正確的基向量是什麽樣子
如果你將它化成行簡化階梯形
並且有某個軸元
和它們對應的主列
那麽某個軸元和它們對應的
主列就像這樣
或許像這樣
然後或許這個不是 而這個是
所以你就得到了主列的確定數量
我用另一種顏色
這裡你將A化成行簡化階梯形
我們知道了基向量
或者是基列 它們形成了
列空間的一組基
而列對應於主列
所以第一列是一個主列
這個是一個基向量
第二列也是
所以這個是一個主向量
或者可能這裡的第四個也是
這個也是主向量
那麽 一般來講 你可以說 嘿
如果你想要數一數基向量的個數――
因爲我們甚至不必知道
它們具體都是哪些向量
我們僅需知道其個數
好 你說了 對於這裡的每一個主列
我們這裡都有一個基向量
所以我們可以數出主列的個數
而主列的個數等於
軸元的個數
因爲每個軸元都對應一個主列
所以我們可以說A的秩等於
軸元的個數
在A的行簡化階梯形中
而且 你可以很清楚地明白
這個和我們推導的東西一樣
等於A轉置的秩
就是A轉置的列空間的維數
或者是說A的行空間的維數
所以現在可以寫出我們的結論了
矩陣A的秩就是
矩陣A的轉置的秩