WEBVTT

00:00:00.520 --> 00:00:02.120
在兩三個影片之前

00:00:02.140 --> 00:00:05.240
我說明了矩陣A的秩

00:00:05.250 --> 00:00:08.640
等於它的轉置的秩

00:00:08.650 --> 00:00:10.230
我作了許多論證

00:00:10.240 --> 00:00:12.540
在那個影片最後的時候 我累了

00:00:12.550 --> 00:00:13.700
事實上就是在那天結束的時候

00:00:13.700 --> 00:00:16.010
我想這樣做是有意義的

00:00:16.020 --> 00:00:17.890
把它講得明白一點兒

00:00:17.910 --> 00:00:18.930
因爲這很重要

00:00:18.950 --> 00:00:21.140
它會幫助我們更好地明白所有的

00:00:21.160 --> 00:00:22.320
我們學過的東西

00:00:22.330 --> 00:00:25.690
那麽 我們來看看――我要

00:00:25.700 --> 00:00:27.980
從A轉置開始

00:00:28.000 --> 00:00:34.900
A轉置的秩等於

00:00:34.920 --> 00:00:38.860
A轉置的列空間的維數

00:00:38.880 --> 00:00:41.630
這就是秩的定義

00:00:41.660 --> 00:00:46.350
A轉置的列空間的維數是

00:00:46.370 --> 00:00:53.950
A轉置的列空間的

00:00:53.970 --> 00:00:55.560
基向量的個數

00:00:55.570 --> 00:00:56.890
這就是維數的意義

00:00:56.920 --> 00:00:58.140
對於任何次空間

00:00:58.160 --> 00:01:00.050
你們算出來有多少基向量

00:01:00.070 --> 00:01:02.160
在這個次空間中 並數出它們

00:01:02.180 --> 00:01:03.290
這就是你的維數

00:01:03.300 --> 00:01:07.260
所以 它就是A的轉置的列空間的基向量的維數

00:01:07.280 --> 00:01:09.810
就是 當然 相同的

00:01:09.820 --> 00:01:11.840
這個我們已經看過很多次了

00:01:11.860 --> 00:01:13.580
和A的行空間是相同的

00:01:17.630 --> 00:01:18.710
對吧？

00:01:18.720 --> 00:01:20.070
A轉置的行向量

00:01:20.090 --> 00:01:22.140
和A的行向量是相同的

00:01:22.160 --> 00:01:23.610
這是因爲你改變了行和列

00:01:23.630 --> 00:01:27.720
現在 我們怎麽算出

00:01:27.750 --> 00:01:30.230
A轉置的列空間的基向量的個數

00:01:30.250 --> 00:01:31.500
或者說是A的行空間

00:01:31.520 --> 00:01:33.090
我們想一想

00:01:33.110 --> 00:01:35.390
從矩陣A的列空間能得到什麽？

00:01:35.410 --> 00:01:38.540
那麽 它等價於――我們說

00:01:38.560 --> 00:01:40.750
我這樣來畫A

00:01:40.760 --> 00:01:44.800
這就是矩陣A

00:01:44.810 --> 00:01:47.050
我們說這是一個m×n的矩陣

00:01:47.070 --> 00:01:49.450
我將它寫成一串行向量

00:01:49.470 --> 00:01:51.080
我也可以將它寫成一串行向量

00:01:51.100 --> 00:01:52.660
但現在我們來看看行向量

00:01:52.680 --> 00:01:54.490
這是第一行

00:01:54.500 --> 00:01:57.070
這是行向量的轉置

00:01:57.090 --> 00:01:59.930
這是第一行 還有第二行

00:01:59.950 --> 00:02:05.140
直到第m行

00:02:05.150 --> 00:02:06.540
對吧？

00:02:06.560 --> 00:02:07.640
這是一個m×n的矩陣

00:02:07.670 --> 00:02:10.150
這些向量都是在Rn中的

00:02:10.170 --> 00:02:11.970
因爲它們有n個分量

00:02:11.980 --> 00:02:13.340
因爲我們有n列

00:02:13.350 --> 00:02:15.610
所以 A看起來就是這個樣子

00:02:15.630 --> 00:02:17.070
矩陣A看起來就像這樣

00:02:17.080 --> 00:02:18.380
然後是A的轉置

00:02:18.400 --> 00:02:21.520
所有這些行都變成了列

00:02:21.530 --> 00:02:27.050
矩陣A的轉置就是這樣 r1 r2

00:02:27.060 --> 00:02:30.170
直到rm

00:02:30.190 --> 00:02:33.520
而這個當然就是一個n×m的矩陣

00:02:33.550 --> 00:02:35.250
把它換成這個

00:02:35.270 --> 00:02:37.860
那麽 所有的這些行就變成了列

00:02:37.880 --> 00:02:39.360
對吧？

00:02:39.380 --> 00:02:41.310
並且 明顯地列空間――

00:02:41.320 --> 00:02:42.740
或者可能不太明顯――

00:02:42.740 --> 00:02:47.320
矩陣A的轉置的列空間等於

00:02:47.340 --> 00:02:55.790
由r1 r2直到rm張成的空間

00:02:55.810 --> 00:02:57.110
對吧？

00:02:57.130 --> 00:02:58.720
等於這些向量張成的空間

00:02:58.730 --> 00:02:59.980
或者你可以不太精確地稱它

00:03:00.010 --> 00:03:01.770
等於由A的行向量張成的空間

00:03:01.790 --> 00:03:03.390
這就是爲什麽它被稱爲行空間

00:03:03.410 --> 00:03:12.430
這個等於由A的行空間張成的空間

00:03:12.440 --> 00:03:14.150
這兩個是等價的

00:03:14.160 --> 00:03:16.240
現在 這些是張成空間的向量

00:03:16.250 --> 00:03:18.540
這就是說這是某個次空間

00:03:18.550 --> 00:03:19.800
它是由所有這些列的線性組合組成的

00:03:19.810 --> 00:03:22.080
或者是說所有的這些行的線性組合

00:03:22.100 --> 00:03:25.370
如果我們要找到它的基 我們想要找到

00:03:25.390 --> 00:03:27.530
一個最小的線性獨立向量的集合

00:03:27.550 --> 00:03:30.660
我們可以用它來構造任何列

00:03:30.680 --> 00:03:33.670
或者可以用來構造這裡的任意行

00:03:33.680 --> 00:03:37.630
這裡 現在 當我們將A化爲

00:03:37.650 --> 00:03:38.970
行簡化階梯形會怎樣？

00:03:38.990 --> 00:03:46.280
我們作一些行變換來講它化爲

00:03:46.290 --> 00:03:48.350
行簡化階梯形

00:03:48.370 --> 00:03:49.550
對吧？

00:03:49.560 --> 00:03:52.600
做一些行變換 你最後就得到了

00:03:52.610 --> 00:03:53.840
某個像這樣的東西

00:03:53.870 --> 00:03:57.000
你會得到A的行簡化階梯形

00:03:57.010 --> 00:03:59.350
矩陣A的行簡化階梯形

00:03:59.360 --> 00:04:00.790
看起來就像這樣

00:04:00.800 --> 00:04:03.090
你會得到一些主行

00:04:03.100 --> 00:04:05.110
主行有軸元

00:04:05.130 --> 00:04:07.180
我們說這是其中之一

00:04:07.200 --> 00:04:08.800
我們說這是其中之一

00:04:08.820 --> 00:04:10.670
這個向下都是0

00:04:10.680 --> 00:04:12.730
這個也是0

00:04:12.750 --> 00:04:14.140
軸元必須是

00:04:14.150 --> 00:04:16.190
列中的唯一非零元

00:04:16.210 --> 00:04:18.210
而且它左邊的必須都是0

00:04:18.230 --> 00:04:19.680
比如說這個不是

00:04:19.690 --> 00:04:21.460
這些是非零值

00:04:21.490 --> 00:04:22.500
這些是0

00:04:22.530 --> 00:04:25.110
這裡是另一個軸元

00:04:25.120 --> 00:04:26.130
其它的都是0

00:04:26.150 --> 00:04:28.550
我們說其它所有的都是非軸元

00:04:28.560 --> 00:04:30.820
所以就得到了這個

00:04:30.830 --> 00:04:33.340
並且有確定數量的主行

00:04:33.360 --> 00:04:34.600
或是說確定數量的軸元 對吧？

00:04:34.640 --> 00:04:36.310
那麽就得到了這個

00:04:36.330 --> 00:04:38.890
通過對這些作行變換得到

00:04:38.900 --> 00:04:41.340
所以這些行變換――你知道

00:04:41.360 --> 00:04:43.460
我取3乘以第二行 將它加到第一行

00:04:43.480 --> 00:04:45.350
這就變成了新的第二行

00:04:45.360 --> 00:04:48.190
一直這樣作下去 然後你就得到了這些結果

00:04:48.200 --> 00:04:49.340
那麽 這些就是

00:04:49.350 --> 00:04:50.660
這些的線性組合

00:04:50.670 --> 00:04:52.010
或者換種說法

00:04:52.030 --> 00:04:53.560
你可以反向作行變換

00:04:53.580 --> 00:04:55.660
我可以從這些開始

00:04:55.670 --> 00:04:58.470
我可以很簡單地

00:04:58.480 --> 00:04:59.900
進行反向行變換

00:04:59.920 --> 00:05:02.880
任何線性組合 你都可以反向進行

00:05:02.900 --> 00:05:04.210
我們已經看過這個很多次了

00:05:04.230 --> 00:05:09.490
你可以對這些作行變換

00:05:09.510 --> 00:05:11.290
來得到這些東西

00:05:11.310 --> 00:05:14.630
或者另一種方法來看待它 這裡的這些向量

00:05:14.640 --> 00:05:16.200
這裡的這些行向量

00:05:16.220 --> 00:05:18.400
它們張成了這些――

00:05:18.410 --> 00:05:21.610
或者所有的這些行向量可以被表示成

00:05:21.630 --> 00:05:24.410
主行的線性組合

00:05:24.430 --> 00:05:27.570
明顯地 非主行都是0

00:05:27.580 --> 00:05:30.330
而這些是無用的

00:05:30.350 --> 00:05:32.440
但是 對於主行

00:05:32.450 --> 00:05:34.370
如果你取它們的線性組合

00:05:34.390 --> 00:05:38.070
你可以反向作行階梯形

00:05:38.070 --> 00:05:39.370
得到這個矩陣

00:05:39.390 --> 00:05:41.010
所以 所有的這些都可以被表示成

00:05:41.020 --> 00:05:42.780
它們的線性組合

00:05:42.800 --> 00:05:46.200
而所有的這些軸元由定義――好

00:05:46.210 --> 00:05:48.440
幾乎由定義――

00:05:48.460 --> 00:05:49.830
它們是線性獨立的 對吧？

00:05:49.850 --> 00:05:51.220
因爲這裡有一個1

00:05:51.230 --> 00:05:52.500
其它地方沒有1

00:05:52.520 --> 00:05:55.460
所以這個不能被表示成

00:05:55.480 --> 00:05:57.340
另一個的線性組合

00:05:57.350 --> 00:06:00.000
所以爲什麽我要將這個練習？

00:06:00.020 --> 00:06:02.420
好 我們開始講我們想要

00:06:02.440 --> 00:06:05.220
這個行空間的一組基

00:06:05.240 --> 00:06:07.870
我們想要某個

00:06:07.890 --> 00:06:09.870
線性獨立向量的極小集

00:06:09.890 --> 00:06:12.290
它張成了所有這些能張成的的東西

00:06:12.300 --> 00:06:14.790
好 如果所有的這些東西可以被表示成

00:06:14.810 --> 00:06:16.740
這些行向量的線性組合

00:06:16.760 --> 00:06:18.220
以行簡化階梯形――

00:06:18.230 --> 00:06:22.740
或是行簡化階梯形的主行――

00:06:22.760 --> 00:06:25.060
而這些都是線性獨立的

00:06:25.080 --> 00:06:26.790
那麽這就是一組合理的基

00:06:26.810 --> 00:06:30.370
所有這裡的這些主行 這是其中之一

00:06:30.380 --> 00:06:33.310
這是第二個 這是第三個

00:06:33.320 --> 00:06:34.650
或許只有這三個

00:06:34.670 --> 00:06:36.090
這就是這個特殊的例子

00:06:36.110 --> 00:06:38.670
這是行空間的一組合適的基

00:06:38.680 --> 00:06:40.200
那麽我把它寫下來

00:06:40.210 --> 00:06:51.410
矩陣A的行簡化階梯形的主行

00:06:51.430 --> 00:07:03.100
和A的行空間的一組基

00:07:03.110 --> 00:07:05.580
而A的行空間就是

00:07:05.600 --> 00:07:08.390
A轉置的列空間

00:07:08.410 --> 00:07:10.590
矩陣A的行空間就是

00:07:10.610 --> 00:07:11.810
A轉置的列空間

00:07:11.820 --> 00:07:12.950
我們已經看過很多次了

00:07:12.970 --> 00:07:14.740
現在 如果我們想要知道

00:07:14.750 --> 00:07:17.960
列空間的維數

00:07:17.980 --> 00:07:20.270
我們僅需數一數主行的個數

00:07:20.280 --> 00:07:22.550
那麽你僅需數一數主行的個數

00:07:22.570 --> 00:07:25.320
那麽行空間的維數

00:07:25.340 --> 00:07:26.430
就是

00:07:26.440 --> 00:07:28.690
A轉置的列空間 就是

00:07:28.700 --> 00:07:30.800
在行簡化階梯形中的

00:07:30.820 --> 00:07:32.170
主行的個數

00:07:32.180 --> 00:07:35.590
或者 甚至更簡單 是軸元的個數

00:07:35.610 --> 00:07:37.340
因爲每個軸元都有一個主行

00:07:37.360 --> 00:07:47.160
所以我們可以寫成A轉置的秩等於

00:07:47.180 --> 00:07:49.820
軸元的個數

00:07:49.850 --> 00:07:57.420
在A的行簡化階梯形中

00:07:57.430 --> 00:07:58.680
對吧？

00:07:58.690 --> 00:08:00.070
因爲每個軸元對應於一個主行

00:08:00.080 --> 00:08:01.940
這些主行就是一組合適的基

00:08:01.960 --> 00:08:04.430
對於整個行空間而言

00:08:04.440 --> 00:08:06.240
因爲每一行可以被看作是

00:08:06.260 --> 00:08:07.630
這些的一個線性組合

00:08:07.650 --> 00:08:09.450
而因爲所有的這些可以是

00:08:09.470 --> 00:08:11.010
那麽任何這些可以構造出的東西

00:08:11.020 --> 00:08:12.600
這些就可以構造出來

00:08:12.620 --> 00:08:13.800
很簡單的

00:08:13.820 --> 00:08:15.340
現在 A的秩是多少？

00:08:15.360 --> 00:08:18.060
這是A轉置的秩

00:08:18.080 --> 00:08:19.340
這是我們已經處理過的問題了

00:08:19.350 --> 00:08:28.550
矩陣A的秩等於

00:08:28.570 --> 00:08:32.490
矩陣A的列空間的維數

00:08:32.510 --> 00:08:40.680
或者 你可以說是

00:08:40.700 --> 00:08:43.870
矩陣A中的列空間的基向量的個數

00:08:43.890 --> 00:08:50.030
所以如果我們取和上面算過的相同的矩陣A

00:08:50.050 --> 00:08:53.000
相反 我們將它寫成一串行向量

00:08:53.020 --> 00:08:57.930
就是c1 c2 直到cn

00:08:57.950 --> 00:08:59.390
我們這裡有n列

00:08:59.410 --> 00:09:03.040
列空間就是這樣的次空間

00:09:03.050 --> 00:09:04.990
它是由所有的這些向量張成的

00:09:05.000 --> 00:09:07.540
對吧？是由這些行向量的每一個張成的

00:09:07.560 --> 00:09:13.330
那麽A的列空間等於由c1 c2

00:09:13.360 --> 00:09:16.100
直到cn張成的空間

00:09:16.120 --> 00:09:17.430
這就是它的定義

00:09:17.450 --> 00:09:19.430
但我們想要知道基向量的個數

00:09:19.440 --> 00:09:20.790
我們已經知道了――

00:09:20.810 --> 00:09:22.080
我們已經這樣作很多次了――

00:09:22.090 --> 00:09:23.810
正確的基向量是什麽樣子

00:09:23.830 --> 00:09:27.260
如果你將它化成行簡化階梯形

00:09:27.280 --> 00:09:30.900
並且有某個軸元

00:09:30.910 --> 00:09:32.840
和它們對應的主列

00:09:32.860 --> 00:09:35.530
那麽某個軸元和它們對應的

00:09:35.540 --> 00:09:37.340
主列就像這樣

00:09:37.350 --> 00:09:38.810
或許像這樣

00:09:38.830 --> 00:09:42.240
然後或許這個不是 而這個是

00:09:42.260 --> 00:09:44.530
所以你就得到了主列的確定數量

00:09:44.550 --> 00:09:48.880
我用另一種顏色

00:09:48.900 --> 00:09:53.140
這裡你將A化成行簡化階梯形

00:09:53.150 --> 00:09:54.820
我們知道了基向量

00:09:54.840 --> 00:09:57.160
或者是基列 它們形成了

00:09:57.180 --> 00:09:58.350
列空間的一組基

00:09:58.360 --> 00:10:01.270
而列對應於主列

00:10:01.280 --> 00:10:04.500
所以第一列是一個主列

00:10:04.520 --> 00:10:06.000
這個是一個基向量

00:10:06.020 --> 00:10:07.170
第二列也是

00:10:07.200 --> 00:10:08.390
所以這個是一個主向量

00:10:08.400 --> 00:10:10.320
或者可能這裡的第四個也是

00:10:10.330 --> 00:10:11.640
這個也是主向量

00:10:11.660 --> 00:10:13.610
那麽 一般來講 你可以說 嘿

00:10:13.630 --> 00:10:16.600
如果你想要數一數基向量的個數――

00:10:16.620 --> 00:10:18.330
因爲我們甚至不必知道

00:10:18.350 --> 00:10:19.480
它們具體都是哪些向量

00:10:19.490 --> 00:10:20.630
我們僅需知道其個數

00:10:20.650 --> 00:10:22.970
好 你說了 對於這裡的每一個主列

00:10:22.990 --> 00:10:24.390
我們這裡都有一個基向量

00:10:24.400 --> 00:10:26.360
所以我們可以數出主列的個數

00:10:26.390 --> 00:10:29.320
而主列的個數等於

00:10:29.330 --> 00:10:30.890
軸元的個數

00:10:30.900 --> 00:10:32.800
因爲每個軸元都對應一個主列

00:10:32.810 --> 00:10:38.860
所以我們可以說A的秩等於

00:10:38.890 --> 00:10:43.030
軸元的個數

00:10:43.040 --> 00:10:49.480
在A的行簡化階梯形中

00:10:49.500 --> 00:10:52.260
而且 你可以很清楚地明白

00:10:52.270 --> 00:10:53.690
這個和我們推導的東西一樣

00:10:53.710 --> 00:10:55.690
等於A轉置的秩

00:10:55.700 --> 00:11:00.050
就是A轉置的列空間的維數

00:11:00.080 --> 00:11:01.870
或者是說A的行空間的維數

00:11:01.890 --> 00:11:04.510
所以現在可以寫出我們的結論了

00:11:04.530 --> 00:11:09.670
矩陣A的秩就是

00:11:09.690 --> 00:11:12.850
矩陣A的轉置的秩