Linear Algebra: Rank(A) = Rank(transpose of A)
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0:01 - 0:02在两三个视频之前
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0:02 - 0:05我说明了矩阵A的秩
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0:05 - 0:09等于它的转置的秩
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0:09 - 0:10我作了许多论证
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0:10 - 0:13在那个视频最后的时候 我累了
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0:13 - 0:14事实上就是在那天结束的时候
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0:14 - 0:16我想这样做是有意义的
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0:16 - 0:18把它讲得明白一点儿
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0:18 - 0:19因为这很重要
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0:19 - 0:21它会帮助我们更好地明白所有的
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0:21 - 0:22我们学过的东西
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0:22 - 0:26那么 我们来看看――我要
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0:26 - 0:28从A转置开始
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0:28 - 0:35A转置的秩等于
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0:35 - 0:39A转置的列空间的维数
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0:39 - 0:42这就是秩的定义
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0:42 - 0:46A转置的列空间的维数是
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0:46 - 0:54A转置的列空间的
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0:54 - 0:56基向量的个数
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0:56 - 0:57这就是维数的意义
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0:57 - 0:58对于任何子空间
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0:58 - 1:00你们算出来有多少基向量
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1:00 - 1:02在这个子空间中 并数出它们
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1:02 - 1:03这就是你的维数
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1:03 - 1:07所以 它就是A的转置的列空间的基向量的维数
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1:07 - 1:10就是 当然 相同的
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1:10 - 1:12这个我们已经看过很多次了
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1:12 - 1:14和A的行空间是相同的
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1:18 - 1:19对吧？
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1:19 - 1:20A转置的列向量
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1:20 - 1:22和A的行向量是相同的
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1:22 - 1:24这是因为你改变了行和列
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1:24 - 1:28现在 我们怎么算出
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1:28 - 1:30A转置的列空间的基向量的个数
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1:30 - 1:32或者说是A的行空间
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1:32 - 1:33我们想一想
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1:33 - 1:35从矩阵A的列空间能得到什么？
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1:35 - 1:39那么 它等价于――我们说
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1:39 - 1:41我这样来画A
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1:41 - 1:45这就是矩阵A
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1:45 - 1:47我们说这是一个m×n的矩阵
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1:47 - 1:49我将它写成一串行向量
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1:49 - 1:51我也可以将它写成一串列向量
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1:51 - 1:53但现在我们来看看行向量
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1:53 - 1:54这是第一行
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1:54 - 1:57这是列向量的转置
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1:57 - 2:00这是第一行 还有第二行
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2:00 - 2:05直到第m行
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2:05 - 2:07对吧？
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2:07 - 2:08这是一个m×n的矩阵
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2:08 - 2:10这些向量都是在Rn中的
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2:10 - 2:12因为它们有n个分量
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2:12 - 2:13因为我们有n列
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2:13 - 2:16所以 A看起来就是这个样子
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2:16 - 2:17矩阵A看起来就像这样
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2:17 - 2:18然后是A的转置
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2:18 - 2:22所有这些行都变成了列
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2:22 - 2:27矩阵A的转置就是这样 r1 r2
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2:27 - 2:30直到rm
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2:30 - 2:34而这个当然就是一个n×m的矩阵
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2:34 - 2:35把它换成这个
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2:35 - 2:38那么 所有的这些行就变成了列
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2:38 - 2:39对吧？
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2:39 - 2:41并且 明显地列空间――
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2:41 - 2:43或者可能不太明显――
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2:43 - 2:47矩阵A的转置的列空间等于
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2:47 - 2:56由r1 r2直到rm张成的空间
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2:56 - 2:57对吧？
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2:57 - 2:59等于这些向量张成的空间
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2:59 - 3:00或者你可以不太精确地称它
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3:00 - 3:02等于由A的行向量张成的空间
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3:02 - 3:03这就是为什么它被称为行空间
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3:03 - 3:12这个等于由A的行空间张成的空间
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3:12 - 3:14这两个是等价的
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3:14 - 3:16现在 这些是张成空间的向量
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3:16 - 3:19这就是说这是某个子空间
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3:19 - 3:20它是由所有这些列的线性组合组成的
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3:20 - 3:22或者是说所有的这些行的线性组合
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3:22 - 3:25如果我们要找到它的基 我们想要找到
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3:25 - 3:28一个最小的线性无关向量的集合
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3:28 - 3:31我们可以用它来构造任何列
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3:31 - 3:34或者可以用来构造这里的任意行
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3:34 - 3:38这里 现在 当我们将A化为
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3:38 - 3:39行简化阶梯形会怎样？
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3:39 - 3:46我们作一些行变换来讲它化为
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3:46 - 3:48行简化阶梯形
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3:48 - 3:50对吧？
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3:50 - 3:53做一些行变换 你最后就得到了
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3:53 - 3:54某个像这样的东西
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3:54 - 3:57你会得到A的行简化阶梯形
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3:57 - 3:59矩阵A的行简化阶梯形
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3:59 - 4:01看起来就像这样
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4:01 - 4:03你会得到一些主行
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4:03 - 4:05主行有主元
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4:05 - 4:07我们说这是其中之一
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4:07 - 4:09我们说这是其中之一
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4:09 - 4:11这个向下都是0
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4:11 - 4:13这个也是0
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4:13 - 4:14主元必须是
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4:14 - 4:16列中的唯一非零元
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4:16 - 4:18而且它左边的必须都是0
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4:18 - 4:20比如说这个不是
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4:20 - 4:21这些是非零值
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4:21 - 4:22这些是0
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4:23 - 4:25这里是另一个主元
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4:25 - 4:26其它的都是0
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4:26 - 4:29我们说其它所有的都是非主元
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4:29 - 4:31所以就得到了这个
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4:31 - 4:33并且有确定数量的主行
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4:33 - 4:35或是说确定数量的主元 对吧？
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4:35 - 4:36那么就得到了这个
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4:36 - 4:39通过对这些作行变换得到
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4:39 - 4:41所以这些行变换――你知道
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4:41 - 4:43我取3乘以第二行 将它加到第一行
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4:43 - 4:45这就变成了新的第二行
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4:45 - 4:48一直这样作下去 然后你就得到了这些结果
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4:48 - 4:49那么 这些就是
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4:49 - 4:51这些的线性组合
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4:51 - 4:52或者换种说法
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4:52 - 4:54你可以反向作行变换
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4:54 - 4:56我可以从这些开始
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4:56 - 4:58我可以很简单地
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4:58 - 5:00进行反向行变换
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5:00 - 5:03任何线性组合 你都可以反向进行
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5:03 - 5:04我们已经看过这个很多次了
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5:04 - 5:09你可以对这些作行变换
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5:10 - 5:11来得到这些东西
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5:11 - 5:15或者另一种方法来看待它 这里的这些向量
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5:15 - 5:16这里的这些行向量
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5:16 - 5:18它们张成了这些――
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5:18 - 5:22或者所有的这些行向量可以被表示成
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5:22 - 5:24主行的线性组合
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5:24 - 5:28明显地 非主行都是0
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5:28 - 5:30而这些是无用的
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5:30 - 5:32但是 对于主行
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5:32 - 5:34如果你取它们的线性组合
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5:34 - 5:38你可以反向作行阶梯形
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5:38 - 5:39得到这个矩阵
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5:39 - 5:41所以 所有的这些都可以被表示成
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5:41 - 5:43它们的线性组合
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5:43 - 5:46而所有的这些主元由定义――好
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5:46 - 5:48几乎由定义――
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5:48 - 5:50它们是线性无关的 对吧？
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5:50 - 5:51因为这里有一个1
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5:51 - 5:52其它地方没有1
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5:53 - 5:55所以这个不能被表示成
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5:55 - 5:57另一个的线性组合
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5:57 - 6:00所以为什么我要将这个练习？
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6:00 - 6:02好 我们开始讲我们想要
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6:02 - 6:05这个行空间的一组基
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6:05 - 6:08我们想要某个
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6:08 - 6:10线性无关向量的极小集
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6:10 - 6:12它张成了所有这些能张成的的东西
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6:12 - 6:15好 如果所有的这些东西可以被表示成
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6:15 - 6:17这些行向量的线性组合
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6:17 - 6:18以行简化阶梯形――
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6:18 - 6:23或是行简化阶梯形的主行――
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6:23 - 6:25而这些都是线性无关的
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6:25 - 6:27那么这就是一组合理的基
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6:27 - 6:30所有这里的这些主行 这是其中之一
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6:30 - 6:33这是第二个 这是第三个
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6:33 - 6:35或许只有这三个
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6:35 - 6:36这就是这个特殊的例子
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6:36 - 6:39这是行空间的一组合适的基
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6:39 - 6:40那么我把它写下来
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6:40 - 6:51矩阵A的行简化阶梯形的主行
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6:51 - 7:03和A的行空间的一组基
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7:03 - 7:06而A的行空间就是
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7:06 - 7:08A转置的列空间
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7:08 - 7:11矩阵A的行空间就是
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7:11 - 7:12A转置的列空间
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7:12 - 7:13我们已经看过很多次了
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7:13 - 7:15现在 如果我们想要知道
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7:15 - 7:18列空间的维数
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7:18 - 7:20我们仅需数一数主行的个数
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7:20 - 7:23那么你仅需数一数主行的个数
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7:23 - 7:25那么行空间的维数
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7:25 - 7:26就是
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7:26 - 7:29A转置的列空间 就是
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7:29 - 7:31在行简化阶梯形中的
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7:31 - 7:32主行的个数
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7:32 - 7:36或者 甚至更简单 是主元的个数
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7:36 - 7:37因为每个主元都有一个主行
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7:37 - 7:47所以我们可以写成A转置的秩等于
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7:47 - 7:50主元的个数
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7:50 - 7:57在A的行简化阶梯形中
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7:57 - 7:59对吧？
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7:59 - 8:00因为每个主元对应于一个主行
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8:00 - 8:02这些主行就是一组合适的基
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8:02 - 8:04对于整个行空间而言
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8:04 - 8:06因为每一行可以被看作是
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8:06 - 8:08这些的一个线性组合
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8:08 - 8:09而因为所有的这些可以是
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8:09 - 8:11那么任何这些可以构造出的东西
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8:11 - 8:13这些就可以构造出来
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8:13 - 8:14很简单的
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8:14 - 8:15现在 A的秩是多少？
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8:15 - 8:18这是A转置的秩
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8:18 - 8:19这是我们已经处理过的问题了
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8:19 - 8:29矩阵A的秩等于
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8:29 - 8:32矩阵A的列空间的维数
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8:33 - 8:41或者 你可以说是
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8:41 - 8:44矩阵A中的列空间的基向量的个数
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8:44 - 8:50所以如果我们取和上面算过的相同的矩阵A
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8:50 - 8:53相反 我们将它写成一串列向量
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8:53 - 8:58就是c1 c2 直到cn
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8:58 - 8:59我们这里有n列
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8:59 - 9:03列空间就是这样的子空间
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9:03 - 9:05它是由所有的这些向量张成的
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9:05 - 9:08对吧？是由这些列向量的每一个张成的
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9:08 - 9:13那么A的列空间等于由c1 c2
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9:13 - 9:16直到cn张成的空间
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9:16 - 9:17这就是它的定义
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9:17 - 9:19但我们想要知道基向量的个数
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9:19 - 9:21我们已经知道了――
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9:21 - 9:22我们已经这样作很多次了――
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9:22 - 9:24正确的基向量是什么样子
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9:24 - 9:27如果你将它化成行简化阶梯形
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9:27 - 9:31并且有某个主元
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9:31 - 9:33和它们对应的主列
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9:33 - 9:36那么某个主元和它们对应的
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9:36 - 9:37主列就像这样
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9:37 - 9:39或许像这样
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9:39 - 9:42然后或许这个不是 而这个是
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9:42 - 9:45所以你就得到了主列的确定数量
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9:45 - 9:49我用另一种颜色
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9:49 - 9:53这里你将A化成行简化阶梯形
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9:53 - 9:55我们知道了基向量
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9:55 - 9:57或者是基列 它们形成了
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9:57 - 9:58列空间的一组基
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9:58 - 10:01而列对应于主列
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10:01 - 10:04所以第一列是一个主列
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10:05 - 10:06这个是一个基向量
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10:06 - 10:07第二列也是
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10:07 - 10:08所以这个是一个主向量
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10:08 - 10:10或者可能这里的第四个也是
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10:10 - 10:12这个也是主向量
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10:12 - 10:14那么 一般来讲 你可以说 嘿
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10:14 - 10:17如果你想要数一数基向量的个数――
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10:17 - 10:18因为我们甚至不必知道
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10:18 - 10:19它们具体都是哪些向量
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10:19 - 10:21我们仅需知道其个数
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10:21 - 10:23好 你说了 对于这里的每一个主列
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10:23 - 10:24我们这里都有一个基向量
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10:24 - 10:26所以我们可以数出主列的个数
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10:26 - 10:29而主列的个数等于
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10:29 - 10:31主元的个数
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10:31 - 10:33因为每个主元都对应一个主列
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10:33 - 10:39所以我们可以说A的秩等于
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10:39 - 10:43主元的个数
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10:43 - 10:49在A的行简化阶梯形中
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10:50 - 10:52而且 你可以很清楚地明白
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10:52 - 10:54这个和我们推导的东西一样
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10:54 - 10:56等于A转置的秩
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10:56 - 11:00就是A转置的列空间的维数
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11:00 - 11:02或者是说A的行空间的维数
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11:02 - 11:05所以现在可以写出我们的结论了
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11:05 - 11:10矩阵A的秩就是
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11:10 - 11:13矩阵A的转置的秩
- Title:
- Linear Algebra: Rank(A) = Rank(transpose of A)
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- English
- Team:
Khan Academy
- Duration:
- 11:14
|
Jenny_Zhang edited Chinese, Simplified subtitles for Linear Algebra: Rank(A) = Rank(transpose of A) |