在两三个视频之前
我说明了矩阵A的秩
等于它的转置的秩
我作了许多论证
在那个视频最后的时候 我累了
事实上就是在那天结束的时候
我想这样做是有意义的
把它讲得明白一点儿
因为这很重要
它会帮助我们更好地明白所有的
我们学过的东西
那么 我们来看看――我要
从A转置开始
A转置的秩等于
A转置的列空间的维数
这就是秩的定义
A转置的列空间的维数是
A转置的列空间的
基向量的个数
这就是维数的意义
对于任何子空间
你们算出来有多少基向量
在这个子空间中 并数出它们
这就是你的维数
所以 它就是A的转置的列空间的基向量的维数
就是 当然 相同的
这个我们已经看过很多次了
和A的行空间是相同的
对吧？
A转置的列向量
和A的行向量是相同的
这是因为你改变了行和列
现在 我们怎么算出
A转置的列空间的基向量的个数
或者说是A的行空间
我们想一想
从矩阵A的列空间能得到什么？
那么 它等价于――我们说
我这样来画A
这就是矩阵A
我们说这是一个m×n的矩阵
我将它写成一串行向量
我也可以将它写成一串列向量
但现在我们来看看行向量
这是第一行
这是列向量的转置
这是第一行 还有第二行
直到第m行
对吧？
这是一个m×n的矩阵
这些向量都是在Rn中的
因为它们有n个分量
因为我们有n列
所以 A看起来就是这个样子
矩阵A看起来就像这样
然后是A的转置
所有这些行都变成了列
矩阵A的转置就是这样 r1 r2
直到rm
而这个当然就是一个n×m的矩阵
把它换成这个
那么 所有的这些行就变成了列
对吧？
并且 明显地列空间――
或者可能不太明显――
矩阵A的转置的列空间等于
由r1 r2直到rm张成的空间
对吧？
等于这些向量张成的空间
或者你可以不太精确地称它
等于由A的行向量张成的空间
这就是为什么它被称为行空间
这个等于由A的行空间张成的空间
这两个是等价的
现在 这些是张成空间的向量
这就是说这是某个子空间
它是由所有这些列的线性组合组成的
或者是说所有的这些行的线性组合
如果我们要找到它的基 我们想要找到
一个最小的线性无关向量的集合
我们可以用它来构造任何列
或者可以用来构造这里的任意行
这里 现在 当我们将A化为
行简化阶梯形会怎样？
我们作一些行变换来讲它化为
行简化阶梯形
对吧？
做一些行变换 你最后就得到了
某个像这样的东西
你会得到A的行简化阶梯形
矩阵A的行简化阶梯形
看起来就像这样
你会得到一些主行
主行有主元
我们说这是其中之一
这个向下都是0
这个也是0
主元必须是
列中的唯一非零元
而且它左边的必须都是0
比如说这个不是
这些是非零值
这些是0
这里是另一个主元
其它的都是0
我们说其它所有的都是非主元
所以就得到了这个
并且有确定数量的主行
或是说确定数量的主元 对吧？
那么就得到了这个
通过对这些作行变换得到
所以这些行变换――你知道
我取3乘以第二行 将它加到第一行
这就变成了新的第二行
一直这样作下去 然后你就得到了这些结果
那么 这些就是
这些的线性组合
或者换种说法
你可以反向作行变换
我可以从这些开始
我可以很简单地
进行反向行变换
任何线性组合 你都可以反向进行
我们已经看过这个很多次了
你可以对这些作行变换
来得到这些东西
或者另一种方法来看待它 这里的这些向量
这里的这些行向量
它们张成了这些――
或者所有的这些行向量可以被表示成
主行的线性组合
明显地 非主行都是0
而这些是无用的
但是 对于主行
如果你取它们的线性组合
你可以反向作行阶梯形
得到这个矩阵
所以 所有的这些都可以被表示成
它们的线性组合
而所有的这些主元由定义――好
几乎由定义――
它们是线性无关的 对吧？
因为这里有一个1
其它地方没有1
所以这个不能被表示成
另一个的线性组合
所以为什么我要将这个练习？
好 我们开始讲我们想要
这个行空间的一组基
我们想要某个
线性无关向量的极小集
它张成了所有这些能张成的的东西
好 如果所有的这些东西可以被表示成
这些行向量的线性组合
以行简化阶梯形――
或是行简化阶梯形的主行――
而这些都是线性无关的
那么这就是一组合理的基
所有这里的这些主行 这是其中之一
这是第二个 这是第三个
或许只有这三个
这就是这个特殊的例子
这是行空间的一组合适的基
那么我把它写下来
矩阵A的行简化阶梯形的主行
和A的行空间的一组基
而A的行空间就是
A转置的列空间
矩阵A的行空间就是
A转置的列空间
我们已经看过很多次了
现在 如果我们想要知道
列空间的维数
我们仅需数一数主行的个数
那么你仅需数一数主行的个数
那么行空间的维数
就是
A转置的列空间 就是
在行简化阶梯形中的
主行的个数
或者 甚至更简单 是主元的个数
因为每个主元都有一个主行
所以我们可以写成A转置的秩等于
主元的个数
在A的行简化阶梯形中
对吧？
因为每个主元对应于一个主行
这些主行就是一组合适的基
对于整个行空间而言
因为每一行可以被看作是
这些的一个线性组合
而因为所有的这些可以是
那么任何这些可以构造出的东西
这些就可以构造出来
很简单的
现在 A的秩是多少？
这是A转置的秩
这是我们已经处理过的问题了
矩阵A的秩等于
矩阵A的列空间的维数
或者 你可以说是
矩阵A中的列空间的基向量的个数
所以如果我们取和上面算过的相同的矩阵A
相反 我们将它写成一串列向量
就是c1 c2 直到cn
我们这里有n列
列空间就是这样的子空间
它是由所有的这些向量张成的
对吧？是由这些列向量的每一个张成的
那么A的列空间等于由c1 c2
直到cn张成的空间
这就是它的定义
但我们想要知道基向量的个数
我们已经知道了――
我们已经这样作很多次了――
正确的基向量是什么样子
如果你将它化成行简化阶梯形
并且有某个主元
和它们对应的主列
那么某个主元和它们对应的
主列就像这样
或许像这样
然后或许这个不是 而这个是
所以你就得到了主列的确定数量
我用另一种颜色
这里你将A化成行简化阶梯形
我们知道了基向量
或者是基列 它们形成了
列空间的一组基
而列对应于主列
所以第一列是一个主列
这个是一个基向量
第二列也是
所以这个是一个主向量
或者可能这里的第四个也是
这个也是主向量
那么 一般来讲 你可以说 嘿
如果你想要数一数基向量的个数――
因为我们甚至不必知道
它们具体都是哪些向量
我们仅需知道其个数
好 你说了 对于这里的每一个主列
我们这里都有一个基向量
所以我们可以数出主列的个数
而主列的个数等于
主元的个数
因为每个主元都对应一个主列
所以我们可以说A的秩等于
主元的个数
在A的行简化阶梯形中
而且 你可以很清楚地明白
这个和我们推导的东西一样
等于A转置的秩
就是A转置的列空间的维数
或者是说A的行空间的维数
所以现在可以写出我们的结论了
矩阵A的秩就是
矩阵A的转置的秩