1
00:00:00,520 --> 00:00:02,120
在两三个视频之前

2
00:00:02,140 --> 00:00:05,240
我说明了矩阵A的秩

3
00:00:05,250 --> 00:00:08,640
等于它的转置的秩

4
00:00:08,650 --> 00:00:10,230
我作了许多论证

5
00:00:10,240 --> 00:00:12,540
在那个视频最后的时候 我累了

6
00:00:12,550 --> 00:00:13,700
事实上就是在那天结束的时候

7
00:00:13,700 --> 00:00:16,010
我想这样做是有意义的

8
00:00:16,020 --> 00:00:17,890
把它讲得明白一点儿

9
00:00:17,910 --> 00:00:18,930
因为这很重要

10
00:00:18,950 --> 00:00:21,140
它会帮助我们更好地明白所有的

11
00:00:21,160 --> 00:00:22,320
我们学过的东西

12
00:00:22,330 --> 00:00:25,690
那么 我们来看看――我要

13
00:00:25,700 --> 00:00:27,980
从A转置开始

14
00:00:28,000 --> 00:00:34,900
A转置的秩等于

15
00:00:34,920 --> 00:00:38,860
A转置的列空间的维数

16
00:00:38,880 --> 00:00:41,630
这就是秩的定义

17
00:00:41,660 --> 00:00:46,350
A转置的列空间的维数是

18
00:00:46,370 --> 00:00:53,950
A转置的列空间的

19
00:00:53,970 --> 00:00:55,560
基向量的个数

20
00:00:55,570 --> 00:00:56,890
这就是维数的意义

21
00:00:56,920 --> 00:00:58,140
对于任何子空间

22
00:00:58,160 --> 00:01:00,050
你们算出来有多少基向量

23
00:01:00,070 --> 00:01:02,160
在这个子空间中 并数出它们

24
00:01:02,180 --> 00:01:03,290
这就是你的维数

25
00:01:03,300 --> 00:01:07,260
所以 它就是A的转置的列空间的基向量的维数

26
00:01:07,280 --> 00:01:09,810
就是 当然 相同的

27
00:01:09,820 --> 00:01:11,840
这个我们已经看过很多次了

28
00:01:11,860 --> 00:01:13,580
和A的行空间是相同的

29
00:01:17,630 --> 00:01:18,710
对吧？

30
00:01:18,720 --> 00:01:20,070
A转置的列向量

31
00:01:20,090 --> 00:01:22,140
和A的行向量是相同的

32
00:01:22,160 --> 00:01:23,610
这是因为你改变了行和列

33
00:01:23,630 --> 00:01:27,720
现在 我们怎么算出

34
00:01:27,750 --> 00:01:30,230
A转置的列空间的基向量的个数

35
00:01:30,250 --> 00:01:31,500
或者说是A的行空间

36
00:01:31,520 --> 00:01:33,090
我们想一想

37
00:01:33,110 --> 00:01:35,390
从矩阵A的列空间能得到什么？

38
00:01:35,410 --> 00:01:38,540
那么 它等价于――我们说

39
00:01:38,560 --> 00:01:40,750
我这样来画A

40
00:01:40,760 --> 00:01:44,800
这就是矩阵A

41
00:01:44,810 --> 00:01:47,050
我们说这是一个m×n的矩阵

42
00:01:47,070 --> 00:01:49,450
我将它写成一串行向量

43
00:01:49,470 --> 00:01:51,080
我也可以将它写成一串列向量

44
00:01:51,100 --> 00:01:52,660
但现在我们来看看行向量

45
00:01:52,680 --> 00:01:54,490
这是第一行

46
00:01:54,500 --> 00:01:57,070
这是列向量的转置

47
00:01:57,090 --> 00:01:59,930
这是第一行 还有第二行

48
00:01:59,950 --> 00:02:05,140
直到第m行

49
00:02:05,150 --> 00:02:06,540
对吧？

50
00:02:06,560 --> 00:02:07,640
这是一个m×n的矩阵

51
00:02:07,670 --> 00:02:10,150
这些向量都是在Rn中的

52
00:02:10,170 --> 00:02:11,970
因为它们有n个分量

53
00:02:11,980 --> 00:02:13,340
因为我们有n列

54
00:02:13,350 --> 00:02:15,610
所以 A看起来就是这个样子

55
00:02:15,630 --> 00:02:17,070
矩阵A看起来就像这样

56
00:02:17,080 --> 00:02:18,380
然后是A的转置

57
00:02:18,400 --> 00:02:21,520
所有这些行都变成了列

58
00:02:21,530 --> 00:02:27,050
矩阵A的转置就是这样 r1 r2

59
00:02:27,060 --> 00:02:30,170
直到rm

60
00:02:30,190 --> 00:02:33,520
而这个当然就是一个n×m的矩阵

61
00:02:33,550 --> 00:02:35,250
把它换成这个

62
00:02:35,270 --> 00:02:37,860
那么 所有的这些行就变成了列

63
00:02:37,880 --> 00:02:39,360
对吧？

64
00:02:39,380 --> 00:02:41,310
并且 明显地列空间――

65
00:02:41,320 --> 00:02:42,740
或者可能不太明显――

66
00:02:42,740 --> 00:02:47,320
矩阵A的转置的列空间等于

67
00:02:47,340 --> 00:02:55,790
由r1 r2直到rm张成的空间

68
00:02:55,810 --> 00:02:57,110
对吧？

69
00:02:57,130 --> 00:02:58,720
等于这些向量张成的空间

70
00:02:58,730 --> 00:02:59,980
或者你可以不太精确地称它

71
00:03:00,010 --> 00:03:01,770
等于由A的行向量张成的空间

72
00:03:01,790 --> 00:03:03,390
这就是为什么它被称为行空间

73
00:03:03,410 --> 00:03:12,430
这个等于由A的行空间张成的空间

74
00:03:12,440 --> 00:03:14,150
这两个是等价的

75
00:03:14,160 --> 00:03:16,240
现在 这些是张成空间的向量

76
00:03:16,250 --> 00:03:18,540
这就是说这是某个子空间

77
00:03:18,550 --> 00:03:19,800
它是由所有这些列的线性组合组成的

78
00:03:19,810 --> 00:03:22,080
或者是说所有的这些行的线性组合

79
00:03:22,100 --> 00:03:25,370
如果我们要找到它的基 我们想要找到

80
00:03:25,390 --> 00:03:27,530
一个最小的线性无关向量的集合

81
00:03:27,550 --> 00:03:30,660
我们可以用它来构造任何列

82
00:03:30,680 --> 00:03:33,670
或者可以用来构造这里的任意行

83
00:03:33,680 --> 00:03:37,630
这里 现在 当我们将A化为

84
00:03:37,650 --> 00:03:38,970
行简化阶梯形会怎样？

85
00:03:38,990 --> 00:03:46,280
我们作一些行变换来讲它化为

86
00:03:46,290 --> 00:03:48,350
行简化阶梯形

87
00:03:48,370 --> 00:03:49,550
对吧？

88
00:03:49,560 --> 00:03:52,600
做一些行变换 你最后就得到了

89
00:03:52,610 --> 00:03:53,840
某个像这样的东西

90
00:03:53,870 --> 00:03:57,000
你会得到A的行简化阶梯形

91
00:03:57,010 --> 00:03:59,350
矩阵A的行简化阶梯形

92
00:03:59,360 --> 00:04:00,790
看起来就像这样

93
00:04:00,800 --> 00:04:03,090
你会得到一些主行

94
00:04:03,100 --> 00:04:05,110
主行有主元

95
00:04:05,130 --> 00:04:07,180
我们说这是其中之一

96
00:04:07,200 --> 00:04:08,800
我们说这是其中之一

97
00:04:08,820 --> 00:04:10,670
这个向下都是0

98
00:04:10,680 --> 00:04:12,730
这个也是0

99
00:04:12,750 --> 00:04:14,140
主元必须是

100
00:04:14,150 --> 00:04:16,190
列中的唯一非零元

101
00:04:16,210 --> 00:04:18,210
而且它左边的必须都是0

102
00:04:18,230 --> 00:04:19,680
比如说这个不是

103
00:04:19,690 --> 00:04:21,460
这些是非零值

104
00:04:21,490 --> 00:04:22,500
这些是0

105
00:04:22,530 --> 00:04:25,110
这里是另一个主元

106
00:04:25,120 --> 00:04:26,130
其它的都是0

107
00:04:26,150 --> 00:04:28,550
我们说其它所有的都是非主元

108
00:04:28,560 --> 00:04:30,820
所以就得到了这个

109
00:04:30,830 --> 00:04:33,340
并且有确定数量的主行

110
00:04:33,360 --> 00:04:34,600
或是说确定数量的主元 对吧？

111
00:04:34,640 --> 00:04:36,310
那么就得到了这个

112
00:04:36,330 --> 00:04:38,890
通过对这些作行变换得到

113
00:04:38,900 --> 00:04:41,340
所以这些行变换――你知道

114
00:04:41,360 --> 00:04:43,460
我取3乘以第二行 将它加到第一行

115
00:04:43,480 --> 00:04:45,350
这就变成了新的第二行

116
00:04:45,360 --> 00:04:48,190
一直这样作下去 然后你就得到了这些结果

117
00:04:48,200 --> 00:04:49,340
那么 这些就是

118
00:04:49,350 --> 00:04:50,660
这些的线性组合

119
00:04:50,670 --> 00:04:52,010
或者换种说法

120
00:04:52,030 --> 00:04:53,560
你可以反向作行变换

121
00:04:53,580 --> 00:04:55,660
我可以从这些开始

122
00:04:55,670 --> 00:04:58,470
我可以很简单地

123
00:04:58,480 --> 00:04:59,900
进行反向行变换

124
00:04:59,920 --> 00:05:02,880
任何线性组合 你都可以反向进行

125
00:05:02,900 --> 00:05:04,210
我们已经看过这个很多次了

126
00:05:04,230 --> 00:05:09,490
你可以对这些作行变换

127
00:05:09,510 --> 00:05:11,290
来得到这些东西

128
00:05:11,310 --> 00:05:14,630
或者另一种方法来看待它 这里的这些向量

129
00:05:14,640 --> 00:05:16,200
这里的这些行向量

130
00:05:16,220 --> 00:05:18,400
它们张成了这些――

131
00:05:18,410 --> 00:05:21,610
或者所有的这些行向量可以被表示成

132
00:05:21,630 --> 00:05:24,410
主行的线性组合

133
00:05:24,430 --> 00:05:27,570
明显地 非主行都是0

134
00:05:27,580 --> 00:05:30,330
而这些是无用的

135
00:05:30,350 --> 00:05:32,440
但是 对于主行

136
00:05:32,450 --> 00:05:34,370
如果你取它们的线性组合

137
00:05:34,390 --> 00:05:38,070
你可以反向作行阶梯形

138
00:05:38,070 --> 00:05:39,370
得到这个矩阵

139
00:05:39,390 --> 00:05:41,010
所以 所有的这些都可以被表示成

140
00:05:41,020 --> 00:05:42,780
它们的线性组合

141
00:05:42,800 --> 00:05:46,200
而所有的这些主元由定义――好

142
00:05:46,210 --> 00:05:48,440
几乎由定义――

143
00:05:48,460 --> 00:05:49,830
它们是线性无关的 对吧？

144
00:05:49,850 --> 00:05:51,220
因为这里有一个1

145
00:05:51,230 --> 00:05:52,500
其它地方没有1

146
00:05:52,520 --> 00:05:55,460
所以这个不能被表示成

147
00:05:55,480 --> 00:05:57,340
另一个的线性组合

148
00:05:57,350 --> 00:06:00,000
所以为什么我要将这个练习？

149
00:06:00,020 --> 00:06:02,420
好 我们开始讲我们想要

150
00:06:02,440 --> 00:06:05,220
这个行空间的一组基

151
00:06:05,240 --> 00:06:07,870
我们想要某个

152
00:06:07,890 --> 00:06:09,870
线性无关向量的极小集

153
00:06:09,890 --> 00:06:12,290
它张成了所有这些能张成的的东西

154
00:06:12,300 --> 00:06:14,790
好 如果所有的这些东西可以被表示成

155
00:06:14,810 --> 00:06:16,740
这些行向量的线性组合

156
00:06:16,760 --> 00:06:18,220
以行简化阶梯形――

157
00:06:18,230 --> 00:06:22,740
或是行简化阶梯形的主行――

158
00:06:22,760 --> 00:06:25,060
而这些都是线性无关的

159
00:06:25,080 --> 00:06:26,790
那么这就是一组合理的基

160
00:06:26,810 --> 00:06:30,370
所有这里的这些主行 这是其中之一

161
00:06:30,380 --> 00:06:33,310
这是第二个 这是第三个

162
00:06:33,320 --> 00:06:34,650
或许只有这三个

163
00:06:34,670 --> 00:06:36,090
这就是这个特殊的例子

164
00:06:36,110 --> 00:06:38,670
这是行空间的一组合适的基

165
00:06:38,680 --> 00:06:40,200
那么我把它写下来

166
00:06:40,210 --> 00:06:51,410
矩阵A的行简化阶梯形的主行

167
00:06:51,430 --> 00:07:03,100
和A的行空间的一组基

168
00:07:03,110 --> 00:07:05,580
而A的行空间就是

169
00:07:05,600 --> 00:07:08,390
A转置的列空间

170
00:07:08,410 --> 00:07:10,590
矩阵A的行空间就是

171
00:07:10,610 --> 00:07:11,810
A转置的列空间

172
00:07:11,820 --> 00:07:12,950
我们已经看过很多次了

173
00:07:12,970 --> 00:07:14,740
现在 如果我们想要知道

174
00:07:14,750 --> 00:07:17,960
列空间的维数

175
00:07:17,980 --> 00:07:20,270
我们仅需数一数主行的个数

176
00:07:20,280 --> 00:07:22,550
那么你仅需数一数主行的个数

177
00:07:22,570 --> 00:07:25,320
那么行空间的维数

178
00:07:25,340 --> 00:07:26,430
就是

179
00:07:26,440 --> 00:07:28,690
A转置的列空间 就是

180
00:07:28,700 --> 00:07:30,800
在行简化阶梯形中的

181
00:07:30,820 --> 00:07:32,170
主行的个数

182
00:07:32,180 --> 00:07:35,590
或者 甚至更简单 是主元的个数

183
00:07:35,610 --> 00:07:37,340
因为每个主元都有一个主行

184
00:07:37,360 --> 00:07:47,160
所以我们可以写成A转置的秩等于

185
00:07:47,180 --> 00:07:49,820
主元的个数

186
00:07:49,850 --> 00:07:57,420
在A的行简化阶梯形中

187
00:07:57,430 --> 00:07:58,680
对吧？

188
00:07:58,690 --> 00:08:00,070
因为每个主元对应于一个主行

189
00:08:00,080 --> 00:08:01,940
这些主行就是一组合适的基

190
00:08:01,960 --> 00:08:04,430
对于整个行空间而言

191
00:08:04,440 --> 00:08:06,240
因为每一行可以被看作是

192
00:08:06,260 --> 00:08:07,630
这些的一个线性组合

193
00:08:07,650 --> 00:08:09,450
而因为所有的这些可以是

194
00:08:09,470 --> 00:08:11,010
那么任何这些可以构造出的东西

195
00:08:11,020 --> 00:08:12,600
这些就可以构造出来

196
00:08:12,620 --> 00:08:13,800
很简单的

197
00:08:13,820 --> 00:08:15,340
现在 A的秩是多少？

198
00:08:15,360 --> 00:08:18,060
这是A转置的秩

199
00:08:18,080 --> 00:08:19,340
这是我们已经处理过的问题了

200
00:08:19,350 --> 00:08:28,550
矩阵A的秩等于

201
00:08:28,570 --> 00:08:32,490
矩阵A的列空间的维数

202
00:08:32,510 --> 00:08:40,680
或者 你可以说是

203
00:08:40,700 --> 00:08:43,870
矩阵A中的列空间的基向量的个数

204
00:08:43,890 --> 00:08:50,030
所以如果我们取和上面算过的相同的矩阵A

205
00:08:50,050 --> 00:08:53,000
相反 我们将它写成一串列向量

206
00:08:53,020 --> 00:08:57,930
就是c1 c2 直到cn

207
00:08:57,950 --> 00:08:59,390
我们这里有n列

208
00:08:59,410 --> 00:09:03,040
列空间就是这样的子空间

209
00:09:03,050 --> 00:09:04,990
它是由所有的这些向量张成的

210
00:09:05,000 --> 00:09:07,540
对吧？是由这些列向量的每一个张成的

211
00:09:07,560 --> 00:09:13,330
那么A的列空间等于由c1 c2

212
00:09:13,360 --> 00:09:16,100
直到cn张成的空间

213
00:09:16,120 --> 00:09:17,430
这就是它的定义

214
00:09:17,450 --> 00:09:19,430
但我们想要知道基向量的个数

215
00:09:19,440 --> 00:09:20,790
我们已经知道了――

216
00:09:20,810 --> 00:09:22,080
我们已经这样作很多次了――

217
00:09:22,090 --> 00:09:23,810
正确的基向量是什么样子

218
00:09:23,830 --> 00:09:27,260
如果你将它化成行简化阶梯形

219
00:09:27,280 --> 00:09:30,900
并且有某个主元

220
00:09:30,910 --> 00:09:32,840
和它们对应的主列

221
00:09:32,860 --> 00:09:35,530
那么某个主元和它们对应的

222
00:09:35,540 --> 00:09:37,340
主列就像这样

223
00:09:37,350 --> 00:09:38,810
或许像这样

224
00:09:38,830 --> 00:09:42,240
然后或许这个不是 而这个是

225
00:09:42,260 --> 00:09:44,530
所以你就得到了主列的确定数量

226
00:09:44,550 --> 00:09:48,880
我用另一种颜色

227
00:09:48,900 --> 00:09:53,140
这里你将A化成行简化阶梯形

228
00:09:53,150 --> 00:09:54,820
我们知道了基向量

229
00:09:54,840 --> 00:09:57,160
或者是基列 它们形成了

230
00:09:57,180 --> 00:09:58,350
列空间的一组基

231
00:09:58,360 --> 00:10:01,270
而列对应于主列

232
00:10:01,280 --> 00:10:04,500
所以第一列是一个主列

233
00:10:04,520 --> 00:10:06,000
这个是一个基向量

234
00:10:06,020 --> 00:10:07,170
第二列也是

235
00:10:07,200 --> 00:10:08,390
所以这个是一个主向量

236
00:10:08,400 --> 00:10:10,320
或者可能这里的第四个也是

237
00:10:10,330 --> 00:10:11,640
这个也是主向量

238
00:10:11,660 --> 00:10:13,610
那么 一般来讲 你可以说 嘿

239
00:10:13,630 --> 00:10:16,600
如果你想要数一数基向量的个数――

240
00:10:16,620 --> 00:10:18,330
因为我们甚至不必知道

241
00:10:18,350 --> 00:10:19,480
它们具体都是哪些向量

242
00:10:19,490 --> 00:10:20,630
我们仅需知道其个数

243
00:10:20,650 --> 00:10:22,970
好 你说了 对于这里的每一个主列

244
00:10:22,990 --> 00:10:24,390
我们这里都有一个基向量

245
00:10:24,400 --> 00:10:26,360
所以我们可以数出主列的个数

246
00:10:26,390 --> 00:10:29,320
而主列的个数等于

247
00:10:29,330 --> 00:10:30,890
主元的个数

248
00:10:30,900 --> 00:10:32,800
因为每个主元都对应一个主列

249
00:10:32,810 --> 00:10:38,860
所以我们可以说A的秩等于

250
00:10:38,890 --> 00:10:43,030
主元的个数

251
00:10:43,040 --> 00:10:49,480
在A的行简化阶梯形中

252
00:10:49,500 --> 00:10:52,260
而且 你可以很清楚地明白

253
00:10:52,270 --> 00:10:53,690
这个和我们推导的东西一样

254
00:10:53,710 --> 00:10:55,690
等于A转置的秩

255
00:10:55,700 --> 00:11:00,050
就是A转置的列空间的维数

256
00:11:00,080 --> 00:11:01,870
或者是说A的行空间的维数

257
00:11:01,890 --> 00:11:04,510
所以现在可以写出我们的结论了

258
00:11:04,530 --> 00:11:09,670
矩阵A的秩就是

259
00:11:09,690 --> 00:11:12,850
矩阵A的转置的秩