[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.52,0:00:02.12,Default,,0000,0000,0000,,在两三个视频之前
Dialogue: 0,0:00:02.14,0:00:05.24,Default,,0000,0000,0000,,我说明了矩阵A的秩
Dialogue: 0,0:00:05.25,0:00:08.64,Default,,0000,0000,0000,,等于它的转置的秩
Dialogue: 0,0:00:08.65,0:00:10.23,Default,,0000,0000,0000,,我作了许多论证
Dialogue: 0,0:00:10.24,0:00:12.54,Default,,0000,0000,0000,,在那个视频最后的时候 我累了
Dialogue: 0,0:00:12.55,0:00:13.70,Default,,0000,0000,0000,,事实上就是在那天结束的时候
Dialogue: 0,0:00:13.70,0:00:16.01,Default,,0000,0000,0000,,我想这样做是有意义的
Dialogue: 0,0:00:16.02,0:00:17.89,Default,,0000,0000,0000,,把它讲得明白一点儿
Dialogue: 0,0:00:17.91,0:00:18.93,Default,,0000,0000,0000,,因为这很重要
Dialogue: 0,0:00:18.95,0:00:21.14,Default,,0000,0000,0000,,它会帮助我们更好地明白所有的
Dialogue: 0,0:00:21.16,0:00:22.32,Default,,0000,0000,0000,,我们学过的东西
Dialogue: 0,0:00:22.33,0:00:25.69,Default,,0000,0000,0000,,那么 我们来看看――我要
Dialogue: 0,0:00:25.70,0:00:27.98,Default,,0000,0000,0000,,从A转置开始
Dialogue: 0,0:00:28.00,0:00:34.90,Default,,0000,0000,0000,,A转置的秩等于
Dialogue: 0,0:00:34.92,0:00:38.86,Default,,0000,0000,0000,,A转置的列空间的维数
Dialogue: 0,0:00:38.88,0:00:41.63,Default,,0000,0000,0000,,这就是秩的定义
Dialogue: 0,0:00:41.66,0:00:46.35,Default,,0000,0000,0000,,A转置的列空间的维数是
Dialogue: 0,0:00:46.37,0:00:53.95,Default,,0000,0000,0000,,A转置的列空间的
Dialogue: 0,0:00:53.97,0:00:55.56,Default,,0000,0000,0000,,基向量的个数
Dialogue: 0,0:00:55.57,0:00:56.89,Default,,0000,0000,0000,,这就是维数的意义
Dialogue: 0,0:00:56.92,0:00:58.14,Default,,0000,0000,0000,,对于任何子空间
Dialogue: 0,0:00:58.16,0:01:00.05,Default,,0000,0000,0000,,你们算出来有多少基向量
Dialogue: 0,0:01:00.07,0:01:02.16,Default,,0000,0000,0000,,在这个子空间中 并数出它们
Dialogue: 0,0:01:02.18,0:01:03.29,Default,,0000,0000,0000,,这就是你的维数
Dialogue: 0,0:01:03.30,0:01:07.26,Default,,0000,0000,0000,,所以 它就是A的转置的列空间的基向量的维数
Dialogue: 0,0:01:07.28,0:01:09.81,Default,,0000,0000,0000,,就是 当然 相同的
Dialogue: 0,0:01:09.82,0:01:11.84,Default,,0000,0000,0000,,这个我们已经看过很多次了
Dialogue: 0,0:01:11.86,0:01:13.58,Default,,0000,0000,0000,,和A的行空间是相同的
Dialogue: 0,0:01:17.63,0:01:18.71,Default,,0000,0000,0000,,对吧？
Dialogue: 0,0:01:18.72,0:01:20.07,Default,,0000,0000,0000,,A转置的列向量
Dialogue: 0,0:01:20.09,0:01:22.14,Default,,0000,0000,0000,,和A的行向量是相同的
Dialogue: 0,0:01:22.16,0:01:23.61,Default,,0000,0000,0000,,这是因为你改变了行和列
Dialogue: 0,0:01:23.63,0:01:27.72,Default,,0000,0000,0000,,现在 我们怎么算出
Dialogue: 0,0:01:27.75,0:01:30.23,Default,,0000,0000,0000,,A转置的列空间的基向量的个数
Dialogue: 0,0:01:30.25,0:01:31.50,Default,,0000,0000,0000,,或者说是A的行空间
Dialogue: 0,0:01:31.52,0:01:33.09,Default,,0000,0000,0000,,我们想一想
Dialogue: 0,0:01:33.11,0:01:35.39,Default,,0000,0000,0000,,从矩阵A的列空间能得到什么？
Dialogue: 0,0:01:35.41,0:01:38.54,Default,,0000,0000,0000,,那么 它等价于――我们说
Dialogue: 0,0:01:38.56,0:01:40.75,Default,,0000,0000,0000,,我这样来画A
Dialogue: 0,0:01:40.76,0:01:44.80,Default,,0000,0000,0000,,这就是矩阵A
Dialogue: 0,0:01:44.81,0:01:47.05,Default,,0000,0000,0000,,我们说这是一个m×n的矩阵
Dialogue: 0,0:01:47.07,0:01:49.45,Default,,0000,0000,0000,,我将它写成一串行向量
Dialogue: 0,0:01:49.47,0:01:51.08,Default,,0000,0000,0000,,我也可以将它写成一串列向量
Dialogue: 0,0:01:51.10,0:01:52.66,Default,,0000,0000,0000,,但现在我们来看看行向量
Dialogue: 0,0:01:52.68,0:01:54.49,Default,,0000,0000,0000,,这是第一行
Dialogue: 0,0:01:54.50,0:01:57.07,Default,,0000,0000,0000,,这是列向量的转置
Dialogue: 0,0:01:57.09,0:01:59.93,Default,,0000,0000,0000,,这是第一行 还有第二行
Dialogue: 0,0:01:59.95,0:02:05.14,Default,,0000,0000,0000,,直到第m行
Dialogue: 0,0:02:05.15,0:02:06.54,Default,,0000,0000,0000,,对吧？
Dialogue: 0,0:02:06.56,0:02:07.64,Default,,0000,0000,0000,,这是一个m×n的矩阵
Dialogue: 0,0:02:07.67,0:02:10.15,Default,,0000,0000,0000,,这些向量都是在Rn中的
Dialogue: 0,0:02:10.17,0:02:11.97,Default,,0000,0000,0000,,因为它们有n个分量
Dialogue: 0,0:02:11.98,0:02:13.34,Default,,0000,0000,0000,,因为我们有n列
Dialogue: 0,0:02:13.35,0:02:15.61,Default,,0000,0000,0000,,所以 A看起来就是这个样子
Dialogue: 0,0:02:15.63,0:02:17.07,Default,,0000,0000,0000,,矩阵A看起来就像这样
Dialogue: 0,0:02:17.08,0:02:18.38,Default,,0000,0000,0000,,然后是A的转置
Dialogue: 0,0:02:18.40,0:02:21.52,Default,,0000,0000,0000,,所有这些行都变成了列
Dialogue: 0,0:02:21.53,0:02:27.05,Default,,0000,0000,0000,,矩阵A的转置就是这样 r1 r2
Dialogue: 0,0:02:27.06,0:02:30.17,Default,,0000,0000,0000,,直到rm
Dialogue: 0,0:02:30.19,0:02:33.52,Default,,0000,0000,0000,,而这个当然就是一个n×m的矩阵
Dialogue: 0,0:02:33.55,0:02:35.25,Default,,0000,0000,0000,,把它换成这个
Dialogue: 0,0:02:35.27,0:02:37.86,Default,,0000,0000,0000,,那么 所有的这些行就变成了列
Dialogue: 0,0:02:37.88,0:02:39.36,Default,,0000,0000,0000,,对吧？
Dialogue: 0,0:02:39.38,0:02:41.31,Default,,0000,0000,0000,,并且 明显地列空间――
Dialogue: 0,0:02:41.32,0:02:42.74,Default,,0000,0000,0000,,或者可能不太明显――
Dialogue: 0,0:02:42.74,0:02:47.32,Default,,0000,0000,0000,,矩阵A的转置的列空间等于
Dialogue: 0,0:02:47.34,0:02:55.79,Default,,0000,0000,0000,,由r1 r2直到rm张成的空间
Dialogue: 0,0:02:55.81,0:02:57.11,Default,,0000,0000,0000,,对吧？
Dialogue: 0,0:02:57.13,0:02:58.72,Default,,0000,0000,0000,,等于这些向量张成的空间
Dialogue: 0,0:02:58.73,0:02:59.98,Default,,0000,0000,0000,,或者你可以不太精确地称它
Dialogue: 0,0:03:00.01,0:03:01.77,Default,,0000,0000,0000,,等于由A的行向量张成的空间
Dialogue: 0,0:03:01.79,0:03:03.39,Default,,0000,0000,0000,,这就是为什么它被称为行空间
Dialogue: 0,0:03:03.41,0:03:12.43,Default,,0000,0000,0000,,这个等于由A的行空间张成的空间
Dialogue: 0,0:03:12.44,0:03:14.15,Default,,0000,0000,0000,,这两个是等价的
Dialogue: 0,0:03:14.16,0:03:16.24,Default,,0000,0000,0000,,现在 这些是张成空间的向量
Dialogue: 0,0:03:16.25,0:03:18.54,Default,,0000,0000,0000,,这就是说这是某个子空间
Dialogue: 0,0:03:18.55,0:03:19.80,Default,,0000,0000,0000,,它是由所有这些列的线性组合组成的
Dialogue: 0,0:03:19.81,0:03:22.08,Default,,0000,0000,0000,,或者是说所有的这些行的线性组合
Dialogue: 0,0:03:22.10,0:03:25.37,Default,,0000,0000,0000,,如果我们要找到它的基 我们想要找到
Dialogue: 0,0:03:25.39,0:03:27.53,Default,,0000,0000,0000,,一个最小的线性无关向量的集合
Dialogue: 0,0:03:27.55,0:03:30.66,Default,,0000,0000,0000,,我们可以用它来构造任何列
Dialogue: 0,0:03:30.68,0:03:33.67,Default,,0000,0000,0000,,或者可以用来构造这里的任意行
Dialogue: 0,0:03:33.68,0:03:37.63,Default,,0000,0000,0000,,这里 现在 当我们将A化为
Dialogue: 0,0:03:37.65,0:03:38.97,Default,,0000,0000,0000,,行简化阶梯形会怎样？
Dialogue: 0,0:03:38.99,0:03:46.28,Default,,0000,0000,0000,,我们作一些行变换来讲它化为
Dialogue: 0,0:03:46.29,0:03:48.35,Default,,0000,0000,0000,,行简化阶梯形
Dialogue: 0,0:03:48.37,0:03:49.55,Default,,0000,0000,0000,,对吧？
Dialogue: 0,0:03:49.56,0:03:52.60,Default,,0000,0000,0000,,做一些行变换 你最后就得到了
Dialogue: 0,0:03:52.61,0:03:53.84,Default,,0000,0000,0000,,某个像这样的东西
Dialogue: 0,0:03:53.87,0:03:57.00,Default,,0000,0000,0000,,你会得到A的行简化阶梯形
Dialogue: 0,0:03:57.01,0:03:59.35,Default,,0000,0000,0000,,矩阵A的行简化阶梯形
Dialogue: 0,0:03:59.36,0:04:00.79,Default,,0000,0000,0000,,看起来就像这样
Dialogue: 0,0:04:00.80,0:04:03.09,Default,,0000,0000,0000,,你会得到一些主行
Dialogue: 0,0:04:03.10,0:04:05.11,Default,,0000,0000,0000,,主行有主元
Dialogue: 0,0:04:05.13,0:04:07.18,Default,,0000,0000,0000,,我们说这是其中之一
Dialogue: 0,0:04:07.20,0:04:08.80,Default,,0000,0000,0000,,我们说这是其中之一
Dialogue: 0,0:04:08.82,0:04:10.67,Default,,0000,0000,0000,,这个向下都是0
Dialogue: 0,0:04:10.68,0:04:12.73,Default,,0000,0000,0000,,这个也是0
Dialogue: 0,0:04:12.75,0:04:14.14,Default,,0000,0000,0000,,主元必须是
Dialogue: 0,0:04:14.15,0:04:16.19,Default,,0000,0000,0000,,列中的唯一非零元
Dialogue: 0,0:04:16.21,0:04:18.21,Default,,0000,0000,0000,,而且它左边的必须都是0
Dialogue: 0,0:04:18.23,0:04:19.68,Default,,0000,0000,0000,,比如说这个不是
Dialogue: 0,0:04:19.69,0:04:21.46,Default,,0000,0000,0000,,这些是非零值
Dialogue: 0,0:04:21.49,0:04:22.50,Default,,0000,0000,0000,,这些是0
Dialogue: 0,0:04:22.53,0:04:25.11,Default,,0000,0000,0000,,这里是另一个主元
Dialogue: 0,0:04:25.12,0:04:26.13,Default,,0000,0000,0000,,其它的都是0
Dialogue: 0,0:04:26.15,0:04:28.55,Default,,0000,0000,0000,,我们说其它所有的都是非主元
Dialogue: 0,0:04:28.56,0:04:30.82,Default,,0000,0000,0000,,所以就得到了这个
Dialogue: 0,0:04:30.83,0:04:33.34,Default,,0000,0000,0000,,并且有确定数量的主行
Dialogue: 0,0:04:33.36,0:04:34.60,Default,,0000,0000,0000,,或是说确定数量的主元 对吧？
Dialogue: 0,0:04:34.64,0:04:36.31,Default,,0000,0000,0000,,那么就得到了这个
Dialogue: 0,0:04:36.33,0:04:38.89,Default,,0000,0000,0000,,通过对这些作行变换得到
Dialogue: 0,0:04:38.90,0:04:41.34,Default,,0000,0000,0000,,所以这些行变换――你知道
Dialogue: 0,0:04:41.36,0:04:43.46,Default,,0000,0000,0000,,我取3乘以第二行 将它加到第一行
Dialogue: 0,0:04:43.48,0:04:45.35,Default,,0000,0000,0000,,这就变成了新的第二行
Dialogue: 0,0:04:45.36,0:04:48.19,Default,,0000,0000,0000,,一直这样作下去 然后你就得到了这些结果
Dialogue: 0,0:04:48.20,0:04:49.34,Default,,0000,0000,0000,,那么 这些就是
Dialogue: 0,0:04:49.35,0:04:50.66,Default,,0000,0000,0000,,这些的线性组合
Dialogue: 0,0:04:50.67,0:04:52.01,Default,,0000,0000,0000,,或者换种说法
Dialogue: 0,0:04:52.03,0:04:53.56,Default,,0000,0000,0000,,你可以反向作行变换
Dialogue: 0,0:04:53.58,0:04:55.66,Default,,0000,0000,0000,,我可以从这些开始
Dialogue: 0,0:04:55.67,0:04:58.47,Default,,0000,0000,0000,,我可以很简单地
Dialogue: 0,0:04:58.48,0:04:59.90,Default,,0000,0000,0000,,进行反向行变换
Dialogue: 0,0:04:59.92,0:05:02.88,Default,,0000,0000,0000,,任何线性组合 你都可以反向进行
Dialogue: 0,0:05:02.90,0:05:04.21,Default,,0000,0000,0000,,我们已经看过这个很多次了
Dialogue: 0,0:05:04.23,0:05:09.49,Default,,0000,0000,0000,,你可以对这些作行变换
Dialogue: 0,0:05:09.51,0:05:11.29,Default,,0000,0000,0000,,来得到这些东西
Dialogue: 0,0:05:11.31,0:05:14.63,Default,,0000,0000,0000,,或者另一种方法来看待它 这里的这些向量
Dialogue: 0,0:05:14.64,0:05:16.20,Default,,0000,0000,0000,,这里的这些行向量
Dialogue: 0,0:05:16.22,0:05:18.40,Default,,0000,0000,0000,,它们张成了这些――
Dialogue: 0,0:05:18.41,0:05:21.61,Default,,0000,0000,0000,,或者所有的这些行向量可以被表示成
Dialogue: 0,0:05:21.63,0:05:24.41,Default,,0000,0000,0000,,主行的线性组合
Dialogue: 0,0:05:24.43,0:05:27.57,Default,,0000,0000,0000,,明显地 非主行都是0
Dialogue: 0,0:05:27.58,0:05:30.33,Default,,0000,0000,0000,,而这些是无用的
Dialogue: 0,0:05:30.35,0:05:32.44,Default,,0000,0000,0000,,但是 对于主行
Dialogue: 0,0:05:32.45,0:05:34.37,Default,,0000,0000,0000,,如果你取它们的线性组合
Dialogue: 0,0:05:34.39,0:05:38.07,Default,,0000,0000,0000,,你可以反向作行阶梯形
Dialogue: 0,0:05:38.07,0:05:39.37,Default,,0000,0000,0000,,得到这个矩阵
Dialogue: 0,0:05:39.39,0:05:41.01,Default,,0000,0000,0000,,所以 所有的这些都可以被表示成
Dialogue: 0,0:05:41.02,0:05:42.78,Default,,0000,0000,0000,,它们的线性组合
Dialogue: 0,0:05:42.80,0:05:46.20,Default,,0000,0000,0000,,而所有的这些主元由定义――好
Dialogue: 0,0:05:46.21,0:05:48.44,Default,,0000,0000,0000,,几乎由定义――
Dialogue: 0,0:05:48.46,0:05:49.83,Default,,0000,0000,0000,,它们是线性无关的 对吧？
Dialogue: 0,0:05:49.85,0:05:51.22,Default,,0000,0000,0000,,因为这里有一个1
Dialogue: 0,0:05:51.23,0:05:52.50,Default,,0000,0000,0000,,其它地方没有1
Dialogue: 0,0:05:52.52,0:05:55.46,Default,,0000,0000,0000,,所以这个不能被表示成
Dialogue: 0,0:05:55.48,0:05:57.34,Default,,0000,0000,0000,,另一个的线性组合
Dialogue: 0,0:05:57.35,0:06:00.00,Default,,0000,0000,0000,,所以为什么我要将这个练习？
Dialogue: 0,0:06:00.02,0:06:02.42,Default,,0000,0000,0000,,好 我们开始讲我们想要
Dialogue: 0,0:06:02.44,0:06:05.22,Default,,0000,0000,0000,,这个行空间的一组基
Dialogue: 0,0:06:05.24,0:06:07.87,Default,,0000,0000,0000,,我们想要某个
Dialogue: 0,0:06:07.89,0:06:09.87,Default,,0000,0000,0000,,线性无关向量的极小集
Dialogue: 0,0:06:09.89,0:06:12.29,Default,,0000,0000,0000,,它张成了所有这些能张成的的东西
Dialogue: 0,0:06:12.30,0:06:14.79,Default,,0000,0000,0000,,好 如果所有的这些东西可以被表示成
Dialogue: 0,0:06:14.81,0:06:16.74,Default,,0000,0000,0000,,这些行向量的线性组合
Dialogue: 0,0:06:16.76,0:06:18.22,Default,,0000,0000,0000,,以行简化阶梯形――
Dialogue: 0,0:06:18.23,0:06:22.74,Default,,0000,0000,0000,,或是行简化阶梯形的主行――
Dialogue: 0,0:06:22.76,0:06:25.06,Default,,0000,0000,0000,,而这些都是线性无关的
Dialogue: 0,0:06:25.08,0:06:26.79,Default,,0000,0000,0000,,那么这就是一组合理的基
Dialogue: 0,0:06:26.81,0:06:30.37,Default,,0000,0000,0000,,所有这里的这些主行 这是其中之一
Dialogue: 0,0:06:30.38,0:06:33.31,Default,,0000,0000,0000,,这是第二个 这是第三个
Dialogue: 0,0:06:33.32,0:06:34.65,Default,,0000,0000,0000,,或许只有这三个
Dialogue: 0,0:06:34.67,0:06:36.09,Default,,0000,0000,0000,,这就是这个特殊的例子
Dialogue: 0,0:06:36.11,0:06:38.67,Default,,0000,0000,0000,,这是行空间的一组合适的基
Dialogue: 0,0:06:38.68,0:06:40.20,Default,,0000,0000,0000,,那么我把它写下来
Dialogue: 0,0:06:40.21,0:06:51.41,Default,,0000,0000,0000,,矩阵A的行简化阶梯形的主行
Dialogue: 0,0:06:51.43,0:07:03.10,Default,,0000,0000,0000,,和A的行空间的一组基
Dialogue: 0,0:07:03.11,0:07:05.58,Default,,0000,0000,0000,,而A的行空间就是
Dialogue: 0,0:07:05.60,0:07:08.39,Default,,0000,0000,0000,,A转置的列空间
Dialogue: 0,0:07:08.41,0:07:10.59,Default,,0000,0000,0000,,矩阵A的行空间就是
Dialogue: 0,0:07:10.61,0:07:11.81,Default,,0000,0000,0000,,A转置的列空间
Dialogue: 0,0:07:11.82,0:07:12.95,Default,,0000,0000,0000,,我们已经看过很多次了
Dialogue: 0,0:07:12.97,0:07:14.74,Default,,0000,0000,0000,,现在 如果我们想要知道
Dialogue: 0,0:07:14.75,0:07:17.96,Default,,0000,0000,0000,,列空间的维数
Dialogue: 0,0:07:17.98,0:07:20.27,Default,,0000,0000,0000,,我们仅需数一数主行的个数
Dialogue: 0,0:07:20.28,0:07:22.55,Default,,0000,0000,0000,,那么你仅需数一数主行的个数
Dialogue: 0,0:07:22.57,0:07:25.32,Default,,0000,0000,0000,,那么行空间的维数
Dialogue: 0,0:07:25.34,0:07:26.43,Default,,0000,0000,0000,,就是
Dialogue: 0,0:07:26.44,0:07:28.69,Default,,0000,0000,0000,,A转置的列空间 就是
Dialogue: 0,0:07:28.70,0:07:30.80,Default,,0000,0000,0000,,在行简化阶梯形中的
Dialogue: 0,0:07:30.82,0:07:32.17,Default,,0000,0000,0000,,主行的个数
Dialogue: 0,0:07:32.18,0:07:35.59,Default,,0000,0000,0000,,或者 甚至更简单 是主元的个数
Dialogue: 0,0:07:35.61,0:07:37.34,Default,,0000,0000,0000,,因为每个主元都有一个主行
Dialogue: 0,0:07:37.36,0:07:47.16,Default,,0000,0000,0000,,所以我们可以写成A转置的秩等于
Dialogue: 0,0:07:47.18,0:07:49.82,Default,,0000,0000,0000,,主元的个数
Dialogue: 0,0:07:49.85,0:07:57.42,Default,,0000,0000,0000,,在A的行简化阶梯形中
Dialogue: 0,0:07:57.43,0:07:58.68,Default,,0000,0000,0000,,对吧？
Dialogue: 0,0:07:58.69,0:08:00.07,Default,,0000,0000,0000,,因为每个主元对应于一个主行
Dialogue: 0,0:08:00.08,0:08:01.94,Default,,0000,0000,0000,,这些主行就是一组合适的基
Dialogue: 0,0:08:01.96,0:08:04.43,Default,,0000,0000,0000,,对于整个行空间而言
Dialogue: 0,0:08:04.44,0:08:06.24,Default,,0000,0000,0000,,因为每一行可以被看作是
Dialogue: 0,0:08:06.26,0:08:07.63,Default,,0000,0000,0000,,这些的一个线性组合
Dialogue: 0,0:08:07.65,0:08:09.45,Default,,0000,0000,0000,,而因为所有的这些可以是
Dialogue: 0,0:08:09.47,0:08:11.01,Default,,0000,0000,0000,,那么任何这些可以构造出的东西
Dialogue: 0,0:08:11.02,0:08:12.60,Default,,0000,0000,0000,,这些就可以构造出来
Dialogue: 0,0:08:12.62,0:08:13.80,Default,,0000,0000,0000,,很简单的
Dialogue: 0,0:08:13.82,0:08:15.34,Default,,0000,0000,0000,,现在 A的秩是多少？
Dialogue: 0,0:08:15.36,0:08:18.06,Default,,0000,0000,0000,,这是A转置的秩
Dialogue: 0,0:08:18.08,0:08:19.34,Default,,0000,0000,0000,,这是我们已经处理过的问题了
Dialogue: 0,0:08:19.35,0:08:28.55,Default,,0000,0000,0000,,矩阵A的秩等于
Dialogue: 0,0:08:28.57,0:08:32.49,Default,,0000,0000,0000,,矩阵A的列空间的维数
Dialogue: 0,0:08:32.51,0:08:40.68,Default,,0000,0000,0000,,或者 你可以说是
Dialogue: 0,0:08:40.70,0:08:43.87,Default,,0000,0000,0000,,矩阵A中的列空间的基向量的个数
Dialogue: 0,0:08:43.89,0:08:50.03,Default,,0000,0000,0000,,所以如果我们取和上面算过的相同的矩阵A
Dialogue: 0,0:08:50.05,0:08:53.00,Default,,0000,0000,0000,,相反 我们将它写成一串列向量
Dialogue: 0,0:08:53.02,0:08:57.93,Default,,0000,0000,0000,,就是c1 c2 直到cn
Dialogue: 0,0:08:57.95,0:08:59.39,Default,,0000,0000,0000,,我们这里有n列
Dialogue: 0,0:08:59.41,0:09:03.04,Default,,0000,0000,0000,,列空间就是这样的子空间
Dialogue: 0,0:09:03.05,0:09:04.99,Default,,0000,0000,0000,,它是由所有的这些向量张成的
Dialogue: 0,0:09:05.00,0:09:07.54,Default,,0000,0000,0000,,对吧？是由这些列向量的每一个张成的
Dialogue: 0,0:09:07.56,0:09:13.33,Default,,0000,0000,0000,,那么A的列空间等于由c1 c2
Dialogue: 0,0:09:13.36,0:09:16.10,Default,,0000,0000,0000,,直到cn张成的空间
Dialogue: 0,0:09:16.12,0:09:17.43,Default,,0000,0000,0000,,这就是它的定义
Dialogue: 0,0:09:17.45,0:09:19.43,Default,,0000,0000,0000,,但我们想要知道基向量的个数
Dialogue: 0,0:09:19.44,0:09:20.79,Default,,0000,0000,0000,,我们已经知道了――
Dialogue: 0,0:09:20.81,0:09:22.08,Default,,0000,0000,0000,,我们已经这样作很多次了――
Dialogue: 0,0:09:22.09,0:09:23.81,Default,,0000,0000,0000,,正确的基向量是什么样子
Dialogue: 0,0:09:23.83,0:09:27.26,Default,,0000,0000,0000,,如果你将它化成行简化阶梯形
Dialogue: 0,0:09:27.28,0:09:30.90,Default,,0000,0000,0000,,并且有某个主元
Dialogue: 0,0:09:30.91,0:09:32.84,Default,,0000,0000,0000,,和它们对应的主列
Dialogue: 0,0:09:32.86,0:09:35.53,Default,,0000,0000,0000,,那么某个主元和它们对应的
Dialogue: 0,0:09:35.54,0:09:37.34,Default,,0000,0000,0000,,主列就像这样
Dialogue: 0,0:09:37.35,0:09:38.81,Default,,0000,0000,0000,,或许像这样
Dialogue: 0,0:09:38.83,0:09:42.24,Default,,0000,0000,0000,,然后或许这个不是 而这个是
Dialogue: 0,0:09:42.26,0:09:44.53,Default,,0000,0000,0000,,所以你就得到了主列的确定数量
Dialogue: 0,0:09:44.55,0:09:48.88,Default,,0000,0000,0000,,我用另一种颜色
Dialogue: 0,0:09:48.90,0:09:53.14,Default,,0000,0000,0000,,这里你将A化成行简化阶梯形
Dialogue: 0,0:09:53.15,0:09:54.82,Default,,0000,0000,0000,,我们知道了基向量
Dialogue: 0,0:09:54.84,0:09:57.16,Default,,0000,0000,0000,,或者是基列 它们形成了
Dialogue: 0,0:09:57.18,0:09:58.35,Default,,0000,0000,0000,,列空间的一组基
Dialogue: 0,0:09:58.36,0:10:01.27,Default,,0000,0000,0000,,而列对应于主列
Dialogue: 0,0:10:01.28,0:10:04.50,Default,,0000,0000,0000,,所以第一列是一个主列
Dialogue: 0,0:10:04.52,0:10:06.00,Default,,0000,0000,0000,,这个是一个基向量
Dialogue: 0,0:10:06.02,0:10:07.17,Default,,0000,0000,0000,,第二列也是
Dialogue: 0,0:10:07.20,0:10:08.39,Default,,0000,0000,0000,,所以这个是一个主向量
Dialogue: 0,0:10:08.40,0:10:10.32,Default,,0000,0000,0000,,或者可能这里的第四个也是
Dialogue: 0,0:10:10.33,0:10:11.64,Default,,0000,0000,0000,,这个也是主向量
Dialogue: 0,0:10:11.66,0:10:13.61,Default,,0000,0000,0000,,那么 一般来讲 你可以说 嘿
Dialogue: 0,0:10:13.63,0:10:16.60,Default,,0000,0000,0000,,如果你想要数一数基向量的个数――
Dialogue: 0,0:10:16.62,0:10:18.33,Default,,0000,0000,0000,,因为我们甚至不必知道
Dialogue: 0,0:10:18.35,0:10:19.48,Default,,0000,0000,0000,,它们具体都是哪些向量
Dialogue: 0,0:10:19.49,0:10:20.63,Default,,0000,0000,0000,,我们仅需知道其个数
Dialogue: 0,0:10:20.65,0:10:22.97,Default,,0000,0000,0000,,好 你说了 对于这里的每一个主列
Dialogue: 0,0:10:22.99,0:10:24.39,Default,,0000,0000,0000,,我们这里都有一个基向量
Dialogue: 0,0:10:24.40,0:10:26.36,Default,,0000,0000,0000,,所以我们可以数出主列的个数
Dialogue: 0,0:10:26.39,0:10:29.32,Default,,0000,0000,0000,,而主列的个数等于
Dialogue: 0,0:10:29.33,0:10:30.89,Default,,0000,0000,0000,,主元的个数
Dialogue: 0,0:10:30.90,0:10:32.80,Default,,0000,0000,0000,,因为每个主元都对应一个主列
Dialogue: 0,0:10:32.81,0:10:38.86,Default,,0000,0000,0000,,所以我们可以说A的秩等于
Dialogue: 0,0:10:38.89,0:10:43.03,Default,,0000,0000,0000,,主元的个数
Dialogue: 0,0:10:43.04,0:10:49.48,Default,,0000,0000,0000,,在A的行简化阶梯形中
Dialogue: 0,0:10:49.50,0:10:52.26,Default,,0000,0000,0000,,而且 你可以很清楚地明白
Dialogue: 0,0:10:52.27,0:10:53.69,Default,,0000,0000,0000,,这个和我们推导的东西一样
Dialogue: 0,0:10:53.71,0:10:55.69,Default,,0000,0000,0000,,等于A转置的秩
Dialogue: 0,0:10:55.70,0:11:00.05,Default,,0000,0000,0000,,就是A转置的列空间的维数
Dialogue: 0,0:11:00.08,0:11:01.87,Default,,0000,0000,0000,,或者是说A的行空间的维数
Dialogue: 0,0:11:01.89,0:11:04.51,Default,,0000,0000,0000,,所以现在可以写出我们的结论了
Dialogue: 0,0:11:04.53,0:11:09.67,Default,,0000,0000,0000,,矩阵A的秩就是
Dialogue: 0,0:11:09.69,0:11:12.85,Default,,0000,0000,0000,,矩阵A的转置的秩