0:00:00.520,0:00:02.120
在两三个视频之前

0:00:02.140,0:00:05.240
我说明了矩阵A的秩

0:00:05.250,0:00:08.640
等于它的转置的秩

0:00:08.650,0:00:10.230
我作了许多论证

0:00:10.240,0:00:12.540
在那个视频最后的时候 我累了

0:00:12.550,0:00:13.700
事实上就是在那天结束的时候

0:00:13.700,0:00:16.010
我想这样做是有意义的

0:00:16.020,0:00:17.890
把它讲得明白一点儿

0:00:17.910,0:00:18.930
因为这很重要

0:00:18.950,0:00:21.140
它会帮助我们更好地明白所有的

0:00:21.160,0:00:22.320
我们学过的东西

0:00:22.330,0:00:25.690
那么 我们来看看――我要

0:00:25.700,0:00:27.980
从A转置开始

0:00:28.000,0:00:34.900
A转置的秩等于

0:00:34.920,0:00:38.860
A转置的列空间的维数

0:00:38.880,0:00:41.630
这就是秩的定义

0:00:41.660,0:00:46.350
A转置的列空间的维数是

0:00:46.370,0:00:53.950
A转置的列空间的

0:00:53.970,0:00:55.560
基向量的个数

0:00:55.570,0:00:56.890
这就是维数的意义

0:00:56.920,0:00:58.140
对于任何子空间

0:00:58.160,0:01:00.050
你们算出来有多少基向量

0:01:00.070,0:01:02.160
在这个子空间中 并数出它们

0:01:02.180,0:01:03.290
这就是你的维数

0:01:03.300,0:01:07.260
所以 它就是A的转置的列空间的基向量的维数

0:01:07.280,0:01:09.810
就是 当然 相同的

0:01:09.820,0:01:11.840
这个我们已经看过很多次了

0:01:11.860,0:01:13.580
和A的行空间是相同的

0:01:17.630,0:01:18.710
对吧？

0:01:18.720,0:01:20.070
A转置的列向量

0:01:20.090,0:01:22.140
和A的行向量是相同的

0:01:22.160,0:01:23.610
这是因为你改变了行和列

0:01:23.630,0:01:27.720
现在 我们怎么算出

0:01:27.750,0:01:30.230
A转置的列空间的基向量的个数

0:01:30.250,0:01:31.500
或者说是A的行空间

0:01:31.520,0:01:33.090
我们想一想

0:01:33.110,0:01:35.390
从矩阵A的列空间能得到什么？

0:01:35.410,0:01:38.540
那么 它等价于――我们说

0:01:38.560,0:01:40.750
我这样来画A

0:01:40.760,0:01:44.800
这就是矩阵A

0:01:44.810,0:01:47.050
我们说这是一个m×n的矩阵

0:01:47.070,0:01:49.450
我将它写成一串行向量

0:01:49.470,0:01:51.080
我也可以将它写成一串列向量

0:01:51.100,0:01:52.660
但现在我们来看看行向量

0:01:52.680,0:01:54.490
这是第一行

0:01:54.500,0:01:57.070
这是列向量的转置

0:01:57.090,0:01:59.930
这是第一行 还有第二行

0:01:59.950,0:02:05.140
直到第m行

0:02:05.150,0:02:06.540
对吧？

0:02:06.560,0:02:07.640
这是一个m×n的矩阵

0:02:07.670,0:02:10.150
这些向量都是在Rn中的

0:02:10.170,0:02:11.970
因为它们有n个分量

0:02:11.980,0:02:13.340
因为我们有n列

0:02:13.350,0:02:15.610
所以 A看起来就是这个样子

0:02:15.630,0:02:17.070
矩阵A看起来就像这样

0:02:17.080,0:02:18.380
然后是A的转置

0:02:18.400,0:02:21.520
所有这些行都变成了列

0:02:21.530,0:02:27.050
矩阵A的转置就是这样 r1 r2

0:02:27.060,0:02:30.170
直到rm

0:02:30.190,0:02:33.520
而这个当然就是一个n×m的矩阵

0:02:33.550,0:02:35.250
把它换成这个

0:02:35.270,0:02:37.860
那么 所有的这些行就变成了列

0:02:37.880,0:02:39.360
对吧？

0:02:39.380,0:02:41.310
并且 明显地列空间――

0:02:41.320,0:02:42.740
或者可能不太明显――

0:02:42.740,0:02:47.320
矩阵A的转置的列空间等于

0:02:47.340,0:02:55.790
由r1 r2直到rm张成的空间

0:02:55.810,0:02:57.110
对吧？

0:02:57.130,0:02:58.720
等于这些向量张成的空间

0:02:58.730,0:02:59.980
或者你可以不太精确地称它

0:03:00.010,0:03:01.770
等于由A的行向量张成的空间

0:03:01.790,0:03:03.390
这就是为什么它被称为行空间

0:03:03.410,0:03:12.430
这个等于由A的行空间张成的空间

0:03:12.440,0:03:14.150
这两个是等价的

0:03:14.160,0:03:16.240
现在 这些是张成空间的向量

0:03:16.250,0:03:18.540
这就是说这是某个子空间

0:03:18.550,0:03:19.800
它是由所有这些列的线性组合组成的

0:03:19.810,0:03:22.080
或者是说所有的这些行的线性组合

0:03:22.100,0:03:25.370
如果我们要找到它的基 我们想要找到

0:03:25.390,0:03:27.530
一个最小的线性无关向量的集合

0:03:27.550,0:03:30.660
我们可以用它来构造任何列

0:03:30.680,0:03:33.670
或者可以用来构造这里的任意行

0:03:33.680,0:03:37.630
这里 现在 当我们将A化为

0:03:37.650,0:03:38.970
行简化阶梯形会怎样？

0:03:38.990,0:03:46.280
我们作一些行变换来讲它化为

0:03:46.290,0:03:48.350
行简化阶梯形

0:03:48.370,0:03:49.550
对吧？

0:03:49.560,0:03:52.600
做一些行变换 你最后就得到了

0:03:52.610,0:03:53.840
某个像这样的东西

0:03:53.870,0:03:57.000
你会得到A的行简化阶梯形

0:03:57.010,0:03:59.350
矩阵A的行简化阶梯形

0:03:59.360,0:04:00.790
看起来就像这样

0:04:00.800,0:04:03.090
你会得到一些主行

0:04:03.100,0:04:05.110
主行有主元

0:04:05.130,0:04:07.180
我们说这是其中之一

0:04:07.200,0:04:08.800
我们说这是其中之一

0:04:08.820,0:04:10.670
这个向下都是0

0:04:10.680,0:04:12.730
这个也是0

0:04:12.750,0:04:14.140
主元必须是

0:04:14.150,0:04:16.190
列中的唯一非零元

0:04:16.210,0:04:18.210
而且它左边的必须都是0

0:04:18.230,0:04:19.680
比如说这个不是

0:04:19.690,0:04:21.460
这些是非零值

0:04:21.490,0:04:22.500
这些是0

0:04:22.530,0:04:25.110
这里是另一个主元

0:04:25.120,0:04:26.130
其它的都是0

0:04:26.150,0:04:28.550
我们说其它所有的都是非主元

0:04:28.560,0:04:30.820
所以就得到了这个

0:04:30.830,0:04:33.340
并且有确定数量的主行

0:04:33.360,0:04:34.600
或是说确定数量的主元 对吧？

0:04:34.640,0:04:36.310
那么就得到了这个

0:04:36.330,0:04:38.890
通过对这些作行变换得到

0:04:38.900,0:04:41.340
所以这些行变换――你知道

0:04:41.360,0:04:43.460
我取3乘以第二行 将它加到第一行

0:04:43.480,0:04:45.350
这就变成了新的第二行

0:04:45.360,0:04:48.190
一直这样作下去 然后你就得到了这些结果

0:04:48.200,0:04:49.340
那么 这些就是

0:04:49.350,0:04:50.660
这些的线性组合

0:04:50.670,0:04:52.010
或者换种说法

0:04:52.030,0:04:53.560
你可以反向作行变换

0:04:53.580,0:04:55.660
我可以从这些开始

0:04:55.670,0:04:58.470
我可以很简单地

0:04:58.480,0:04:59.900
进行反向行变换

0:04:59.920,0:05:02.880
任何线性组合 你都可以反向进行

0:05:02.900,0:05:04.210
我们已经看过这个很多次了

0:05:04.230,0:05:09.490
你可以对这些作行变换

0:05:09.510,0:05:11.290
来得到这些东西

0:05:11.310,0:05:14.630
或者另一种方法来看待它 这里的这些向量

0:05:14.640,0:05:16.200
这里的这些行向量

0:05:16.220,0:05:18.400
它们张成了这些――

0:05:18.410,0:05:21.610
或者所有的这些行向量可以被表示成

0:05:21.630,0:05:24.410
主行的线性组合

0:05:24.430,0:05:27.570
明显地 非主行都是0

0:05:27.580,0:05:30.330
而这些是无用的

0:05:30.350,0:05:32.440
但是 对于主行

0:05:32.450,0:05:34.370
如果你取它们的线性组合

0:05:34.390,0:05:38.070
你可以反向作行阶梯形

0:05:38.070,0:05:39.370
得到这个矩阵

0:05:39.390,0:05:41.010
所以 所有的这些都可以被表示成

0:05:41.020,0:05:42.780
它们的线性组合

0:05:42.800,0:05:46.200
而所有的这些主元由定义――好

0:05:46.210,0:05:48.440
几乎由定义――

0:05:48.460,0:05:49.830
它们是线性无关的 对吧？

0:05:49.850,0:05:51.220
因为这里有一个1

0:05:51.230,0:05:52.500
其它地方没有1

0:05:52.520,0:05:55.460
所以这个不能被表示成

0:05:55.480,0:05:57.340
另一个的线性组合

0:05:57.350,0:06:00.000
所以为什么我要将这个练习？

0:06:00.020,0:06:02.420
好 我们开始讲我们想要

0:06:02.440,0:06:05.220
这个行空间的一组基

0:06:05.240,0:06:07.870
我们想要某个

0:06:07.890,0:06:09.870
线性无关向量的极小集

0:06:09.890,0:06:12.290
它张成了所有这些能张成的的东西

0:06:12.300,0:06:14.790
好 如果所有的这些东西可以被表示成

0:06:14.810,0:06:16.740
这些行向量的线性组合

0:06:16.760,0:06:18.220
以行简化阶梯形――

0:06:18.230,0:06:22.740
或是行简化阶梯形的主行――

0:06:22.760,0:06:25.060
而这些都是线性无关的

0:06:25.080,0:06:26.790
那么这就是一组合理的基

0:06:26.810,0:06:30.370
所有这里的这些主行 这是其中之一

0:06:30.380,0:06:33.310
这是第二个 这是第三个

0:06:33.320,0:06:34.650
或许只有这三个

0:06:34.670,0:06:36.090
这就是这个特殊的例子

0:06:36.110,0:06:38.670
这是行空间的一组合适的基

0:06:38.680,0:06:40.200
那么我把它写下来

0:06:40.210,0:06:51.410
矩阵A的行简化阶梯形的主行

0:06:51.430,0:07:03.100
和A的行空间的一组基

0:07:03.110,0:07:05.580
而A的行空间就是

0:07:05.600,0:07:08.390
A转置的列空间

0:07:08.410,0:07:10.590
矩阵A的行空间就是

0:07:10.610,0:07:11.810
A转置的列空间

0:07:11.820,0:07:12.950
我们已经看过很多次了

0:07:12.970,0:07:14.740
现在 如果我们想要知道

0:07:14.750,0:07:17.960
列空间的维数

0:07:17.980,0:07:20.270
我们仅需数一数主行的个数

0:07:20.280,0:07:22.550
那么你仅需数一数主行的个数

0:07:22.570,0:07:25.320
那么行空间的维数

0:07:25.340,0:07:26.430
就是

0:07:26.440,0:07:28.690
A转置的列空间 就是

0:07:28.700,0:07:30.800
在行简化阶梯形中的

0:07:30.820,0:07:32.170
主行的个数

0:07:32.180,0:07:35.590
或者 甚至更简单 是主元的个数

0:07:35.610,0:07:37.340
因为每个主元都有一个主行

0:07:37.360,0:07:47.160
所以我们可以写成A转置的秩等于

0:07:47.180,0:07:49.820
主元的个数

0:07:49.850,0:07:57.420
在A的行简化阶梯形中

0:07:57.430,0:07:58.680
对吧？

0:07:58.690,0:08:00.070
因为每个主元对应于一个主行

0:08:00.080,0:08:01.940
这些主行就是一组合适的基

0:08:01.960,0:08:04.430
对于整个行空间而言

0:08:04.440,0:08:06.240
因为每一行可以被看作是

0:08:06.260,0:08:07.630
这些的一个线性组合

0:08:07.650,0:08:09.450
而因为所有的这些可以是

0:08:09.470,0:08:11.010
那么任何这些可以构造出的东西

0:08:11.020,0:08:12.600
这些就可以构造出来

0:08:12.620,0:08:13.800
很简单的

0:08:13.820,0:08:15.340
现在 A的秩是多少？

0:08:15.360,0:08:18.060
这是A转置的秩

0:08:18.080,0:08:19.340
这是我们已经处理过的问题了

0:08:19.350,0:08:28.550
矩阵A的秩等于

0:08:28.570,0:08:32.490
矩阵A的列空间的维数

0:08:32.510,0:08:40.680
或者 你可以说是

0:08:40.700,0:08:43.870
矩阵A中的列空间的基向量的个数

0:08:43.890,0:08:50.030
所以如果我们取和上面算过的相同的矩阵A

0:08:50.050,0:08:53.000
相反 我们将它写成一串列向量

0:08:53.020,0:08:57.930
就是c1 c2 直到cn

0:08:57.950,0:08:59.390
我们这里有n列

0:08:59.410,0:09:03.040
列空间就是这样的子空间

0:09:03.050,0:09:04.990
它是由所有的这些向量张成的

0:09:05.000,0:09:07.540
对吧？是由这些列向量的每一个张成的

0:09:07.560,0:09:13.330
那么A的列空间等于由c1 c2

0:09:13.360,0:09:16.100
直到cn张成的空间

0:09:16.120,0:09:17.430
这就是它的定义

0:09:17.450,0:09:19.430
但我们想要知道基向量的个数

0:09:19.440,0:09:20.790
我们已经知道了――

0:09:20.810,0:09:22.080
我们已经这样作很多次了――

0:09:22.090,0:09:23.810
正确的基向量是什么样子

0:09:23.830,0:09:27.260
如果你将它化成行简化阶梯形

0:09:27.280,0:09:30.900
并且有某个主元

0:09:30.910,0:09:32.840
和它们对应的主列

0:09:32.860,0:09:35.530
那么某个主元和它们对应的

0:09:35.540,0:09:37.340
主列就像这样

0:09:37.350,0:09:38.810
或许像这样

0:09:38.830,0:09:42.240
然后或许这个不是 而这个是

0:09:42.260,0:09:44.530
所以你就得到了主列的确定数量

0:09:44.550,0:09:48.880
我用另一种颜色

0:09:48.900,0:09:53.140
这里你将A化成行简化阶梯形

0:09:53.150,0:09:54.820
我们知道了基向量

0:09:54.840,0:09:57.160
或者是基列 它们形成了

0:09:57.180,0:09:58.350
列空间的一组基

0:09:58.360,0:10:01.270
而列对应于主列

0:10:01.280,0:10:04.500
所以第一列是一个主列

0:10:04.520,0:10:06.000
这个是一个基向量

0:10:06.020,0:10:07.170
第二列也是

0:10:07.200,0:10:08.390
所以这个是一个主向量

0:10:08.400,0:10:10.320
或者可能这里的第四个也是

0:10:10.330,0:10:11.640
这个也是主向量

0:10:11.660,0:10:13.610
那么 一般来讲 你可以说 嘿

0:10:13.630,0:10:16.600
如果你想要数一数基向量的个数――

0:10:16.620,0:10:18.330
因为我们甚至不必知道

0:10:18.350,0:10:19.480
它们具体都是哪些向量

0:10:19.490,0:10:20.630
我们仅需知道其个数

0:10:20.650,0:10:22.970
好 你说了 对于这里的每一个主列

0:10:22.990,0:10:24.390
我们这里都有一个基向量

0:10:24.400,0:10:26.360
所以我们可以数出主列的个数

0:10:26.390,0:10:29.320
而主列的个数等于

0:10:29.330,0:10:30.890
主元的个数

0:10:30.900,0:10:32.800
因为每个主元都对应一个主列

0:10:32.810,0:10:38.860
所以我们可以说A的秩等于

0:10:38.890,0:10:43.030
主元的个数

0:10:43.040,0:10:49.480
在A的行简化阶梯形中

0:10:49.500,0:10:52.260
而且 你可以很清楚地明白

0:10:52.270,0:10:53.690
这个和我们推导的东西一样

0:10:53.710,0:10:55.690
等于A转置的秩

0:10:55.700,0:11:00.050
就是A转置的列空间的维数

0:11:00.080,0:11:01.870
或者是说A的行空间的维数

0:11:01.890,0:11:04.510
所以现在可以写出我们的结论了

0:11:04.530,0:11:09.670
矩阵A的秩就是

0:11:09.690,0:11:12.850
矩阵A的转置的秩