A magia da sequência Fibonacci

A matemática é lógica, funcional e simplesmente ... incrível. O matemágico Arthur Benjamin explora as propriedades ocultas desse conjunto estranho e maravilhoso de números, a sequência Fibonacci. (E faz-nos lembrar que a matemática também pode ser inspiradora!)

Por que é que aprendemos matemática?

Essencialmente, por três razões:

cálculo,

aplicação,

e por último, e infelizmente a menor

em termos de quanto tempo
nos dedicamos a ela,

inspiração.

A matemática é a ciência dos padrões

e nós estudamo-la para aprendermos
a pensar

lógica, crítica e criativamente,

mas muito da matemática que aprendemos
na escola

não é efetivamente motivante,

e quando nossos estudantes perguntam:

"Por que é que aprendemos isto?"

frequentemente eles ouvem
que precisarão disto

na próxima aula de matemática
ou num teste futuro.

Mas não seria ótimo

que, de vez enquanto,
praticássemos a matemática

simplesmente por ser divertida ou bela

ou por excitar a nossa mente?

Agora, eu sei que muitas pessoas não

tiveram a oportunidade de ver como é que
isso pode acontecer

então deixem-me dar-vos um exemplo rápido

usando a minha coleção preferida de números,

a sequência Fibonacci.
(Aplausos)

Sim! Eu já aqui tenho fãs de Fibonacci.

Isso é ótimo.

Estes números podem ser apreciados

de várias maneiras.

Pela ótica do cálculo,

eles são tão fáceis de entender

como 1 + 1, que é igual a 2.

Logo, 1 + 2 é igual a 3,

2 + 3 é igual a 5, 3 + 5 são 8,

e por aí adiante.

De facto, a pessoa a quem
chamamos de Fibonacci

chamava-se, na verdade, Leonardo de Pisa

e estes números aparecem
no seu livro "Liber Abaci"

que ensinou ao mundo ocidental

os métodos aritméticos que usamos hoje em dia.

Em termos de aplicações,

a sequência Fibonacci aparece na Natureza

com uma surpreendente frequência.

O número de pétalas de uma rosa

é uma típica sequência Fibonacci,

ou o número de espirais num girassol

ou num ananás

tendem também a ser uma sequência Fibonacci.

Na verdade, existem muitas outras aplicações
para a sequência Fibonacci,

mas o que eu acho mais inspirador nelas

é o belo padrão numérico que ela apresentam.

Vou mostrar-vos um dos meus preferidos.

Suponhamos que gostam de elevar
números ao quadrado,

e francamente, quem não gosta?
(Risos)

Vamos olhar para os quadrados

dos primeiros números da sequência Fibonacci.

Logo, 1² é 1,

2² são 4, 3² são 9

5² são 25, e por aí adiante.

Bem, não é surpresa

que quando somamos números consecutivos
da sequência Fibonacci

obtemos o número seguinte
da sequência. Certo?

Foi assim que eles foram criados.

Mas vocês não esperam que aconteça

nada de especial quando somam
os seus quadrados.

Mas vejam isto.

1 + 1 é igual a 2,

e 1 + 4 dá-nos 5.

E 4 + 9 são 13,

9 + 25 são 34,

e sim, o padrão continua.

Na verdade, aqui está outro.

Suponham que queriam olhar para

a adição dos quadrados dos primeiros números
da sequência Fibonacci.

Vejamos o que acontece.

Logo, 1 + 1 + 4 são 6.

Somem 9 a esse resultado e teremos 15.

Somem 25 e teremos 40.

Somem 64 e teremos 104.

Agora olhem para estes números.

Estes não são números de Fibonacci,

mas se vocês olharem para eles
mais atentamente,

verão a sequência Fibonacci

enterrada dentro deles

Conseguem ver? Vou mostrar-vos.

6 é 2 x 3, 15 é 3 x 5,

40 é 5 x 8,

2, 3, 5, 8, de que é que estamos a falar?

(Risos)

Fibonacci! É claro.

Agora, por mais divertido que seja
descobrir esses padrões,

é ainda mais gratificante entender

por que é que eles são verdadeiros.

Vamos olhar para a última equação.

Por que é que os quadrados de 1, 1, 2, 3, 5, e 8

somados, resultam em 8 x 13?

Vou mostrar-vos através de um simples desenho.

Começamos com um quadrado de 1 x 1

em seguida colocamos outro quadrado de 1 x 1.

Juntos, eles formam um retângulo de 1 x 2.

Por baixo, vou colocar um quadrado de 2 x 2,

e ao lado dele, um quadrado de 3 x 3,

por baixo, um quadrado de 5 x 5,

e então um quadrado de 8 x 8,

criando um retângulo gigante, certo?

Agora, deixem-me fazer-vos
uma pergunta simples:

qual é a área do retângulo?

Bem, por um lado,

é a soma das áreas

dos quadrados dentro dele, certo?

Exatamente como o construímos.

É o quadrado de 1, mais o quadrado de 1,

mais o quadrado de 2, mais o quadrado de 3,

mais o quadrado de 5 ,
mais o quadrado de 8. Certo?

Esta é a área.

Por outro lado, por ser um retângulo,

a área é igual à altura vezes a base,

e a altura é claramente 8,

e a base é 5 + 8,

que é o próximo número da
sequência Fibonacci, 13. Certo?

Logo a área é também, 8 x 13.

Já que calculámos corretamente a área

de duas formas diferentes,

elas têm de ser o mesmo número,

é o por isso que os quadrados de 1, 1, 2, 3, 5, e 8

somados, resultam em 8 x 13.

Então, se continuarmos este processo,

criaremos retângulos de 13 x 21,

21 x 34, e por aí adiante.

Agora, vejam só.

Se vocês dividirem 13 por 8,

obterão 1,625.

E se vocês dividirem
o número maior pelo número menor,

então essas proporções
vão ficando cada vez mais próximas

de cerca de 1,618.

conhecidas por muitos como a Proporção Áurea,

um número que tem fascinado matemáticos,

cientistas e artistas durante séculos.

Agora, eu mostrei-vos tudo isto porque,

como muitas coisas na matemática,

há um lado belo nisso

que eu receio que não desperte muita atenção

nas escolas.

Gastamos muito tempo a aprender sobre o cálculo,

mas não nos esqueçamos da aplicação,

incluindo, talvez, a mais importante
aplicação de todas,

aprender a pensar.

Se eu pudesse resumir tudo isto
numa frase apenas,

seria esta:

A matemática não é apenas a solução para x,

é também descobrir o porquê.

Muito obrigado.

(Aplausos)