Čarolija Fibonaccijevih brojeva

Matematika je logična, funkcionalna i jednostavno... impresivna. Matemagičar Arthur Benjamin istražuje skrivena svojstva tog tajanstvenog i čudesnog niza brojeva - Fibonaccijevog niza. (I podsjeća nas koliko i matematika može biti nadahnjujuća!)

Zašto mi, zapravo, učimo matematiku?

Tri su bitna razloga:

računanje,

primjena,

i posljednje, a nažalost i najmanje važno

u smislu vremena
koje joj posvećujemo,

nadahnuće.

Matematika je znanost o obrascima,

i proučavamo je kako bismo
naučili misliti logički,

kritički i stvaralački,

ali suviše matematike
koju u školi učimo

nije pravilno motivirana,

i kad nas naši učenici pitaju,

"Zašto ovo učimo?"

često čuju da će im to trebati

na sljedećem satu matematike,
ili u nekom testu sljedećeg mjeseca.

Ali, ne bi li bilo sjajno

kad bismo se s vremena
na vrijeme matematikom bavili

jednostavno zato što je ona
zabavna, prelijepa

ili intelektualno uzbudljiva?

Znam da mnogi ljudi nisu nikad imali

prigodu vidjeti kako bi to izgledalo,

pa mi dopustite da vam dam
jednostavan primjer,

primjer mojeg omiljenog skupa brojeva,

Fibonaccijevih brojeva.
(Pljesak)

Odlično! I ovdje ima
ljubitelja Fibonaccijeviih brojeva.

To je odlično.

Vrijednost tih brojeva
moguće je cijeniti

na mnogo različitih načina.

Promotrimo li ih iz kuta računanja,

lako ih je razumjeti kao i

kao jedan plus jedan, što je dva..

Potom, jedan plus dva je tri,

dva plus tri je pet, tri plus pet je osam,

i tako dalje.

Doista, osoba koju nazivamo Fibonacci

zvao se, zapravo, Leonardo od Pise,

a ovi se brojevi pojavljuju u njegovoj knjizi "Liber Abaci",

iz koje je Zapadni svijet naučio

aritmetičke metode koje danas koristimo.

Što se primjene tiče,

Fibonaccijevi brojevi se u prirodi pojavljuju

iznenađujuće često.

Broj latica na cvijetu

obično je neki Fibonaccijev broj,

ili broj spirala na suncokretovom cvijetu,

ili na ananasovom plodu

također teži jednom od Fibonaccijevih brojeva.

Ustvari, u mnogo drugih slučajeva nalazimo Fibonaccijeve brojeve,

ali ono što ja u njima smatram najviše nadahnjujućim

jesu prelijepi brojevni obrasci koje prikazuju.

Pokazat ću vam jedan od svojih omiljenih.

Pretpostavimo da volite kvadrirati brojeve,

i, iskreno, tko ne voli? (Smijeh)

Pogledajmo kvadrate

prvih nekoliko Fibonaccijevih brojeva.

Dakle, jedan na kvadrat je jedan,

dva na kvadrat je četiri, tri na kvadrat je devet,

pet na kvadrat je dvadeset i pet, i tako dalje.

Naravno, nije iznenađujuće

kad pribrajanjem uzastopnih Fibonaccijevih brojeva

dobijemo sljedeći Fibonaccijev broj. Zar ne?

Tako su i stvoreni.

Međutim, ne biste očekivali ništa osobito

krenete li zbrajati kvadrate.

Ali, pogledajte ovo.

Jedan plus jedan daje dva,

a jedan plus četiri daje pet.

A četiri plus devet daju trinaest,

a devet plus 25 je 34,

i da, obrazac se nastavlja.

Zapravo, evo vam još jednog.

Pretpostavimo da ste poželjeli sagledati

zbrajanje kvadrata prvih nekoliko
Fibonaccijevih brojeva.

Pogledajmo što ćemo dobiti.

Dakle jedan plus jedan plus četiri je šest.

Dodamo li tome devet, dobit ćemo 15.

Dodajmo 25 i dobivamo 40.

Dodajmo 64 i dobivamo 104.

Razmotrimo te brojeve.

To nisu Fiboonaccijevi brojevi,

ali promotrite li ih pažljivije,

uočit ćete Fibonaccijeve brojeve

skrivene u njima.

Vidite li ih?
Pokazat ću vam.

Šest je dva puta tri,
a 15 je tri puta pet,

40 je pet puta osam,

dva, tri, pet, osam,
volite me takvog tko sam?

(Smijeh)

Fibonacci!
Naravno.

Koliko god bilo zabavno otkrivati ovakve obrasce,

još je više ispunjavajuće uvidjeti

zašto je tome tako.

Pogledajmo posljednju jednadžbu.

Zašto bi kvadrati brojeva jedan, jedan, dva, tri, pet i osam

u zbroju bili jednaki umnošku osam i 13?

Objasnit ću vam ovim
jednostavnim prikazom.

Započnimo s kvadratom
dimenzija jedan puta jedan

i do njega stavimo još jedan
kvadrat dimenzija jedan puta jedan.

Zajedno, oni čine
pravokutnik dimenzija jedan puta dva.

Ispod njih, nacrtat ću
kvadrat dimenzija dva puta dva,

a do njih, kvadrat tri puta tri,.

Ispod njih, kvadrat pet puta pet,

a potom kvadrat osam puta osam,

kreirajući tako jedan ogroman pravokutnik, zar ne?

Postavit ću vam jednostavno pitanje:

Kolika je površina pravokutnika?

S jedne strane,

ona je suma površina

ucrtanih kvadrata, zar ne?

Tako je pravokutnik i nastao.

Dakle, jedan na kvadrat plus jedan na kvadrat,

plus dva na kvadrat, plus tri na kvadrat,

plus pet na kvadrat, plus osam na kvadrat.

To je površina.

S druge strane, budući da se radi o pravokutniku,

površina je jednaka umnošku
njegove visine i njegove baze,

pri čemu je visina očito osam

a baza je pet plus osam,

što je sljedeći
Fibonaccijev broj, 13.Zar ne?

Prema tome, površina je osam puta 13.

Budući da smo ispravno izračunali površinu

na dva različita načina,

to trebaju biti isti brojevi,

i etto zašto kvadrati brojeva
jedan, jedan, dva, tri, pet i osam

zbrojeni daju osam puta 13.

Nastavimo li ovaj postupak,

stvorit ćemo pravokutnike
oblika 13 puta 21,

21 puta 34, i tako dalje.

A razmotrimo ovo.

Podijelimo li 13 sa osam,

dobit ćemo 1,625.

I dijelimo li veći broj
s manjim brojem,

primijetit ćemo da se
količnici sve više približavaju

broju 1,618,

mnogim ljudima znanom
kao Zlatni omjer,

broj koji je stoljećima očaravao matematičare,

znanstvenike i umjetnike stoljećima.

Sve vam ovo pokazujem zato što,

kao toliko toga u matematici,

ovo posjeduje osobitu ljepotu kojoj,

bojim se, ne poklanjamo dovoljno pozornosti

u našim školama.

Mnogo vremena provodimo učeći o računanju,

ali ne zaboravimo na primjenu,

uključujući, možda, i najvažniju
od svih mogućih primjena,

učiti kako misliti.

Kad bih ovo mogao sažeti u jednoj rečenici,

bila bi to ova:

Matematika ne služi samo za rješavanje x-a,

već i razotkrivanje onoga zašto.

Hvala vam puno.

(Pljesak)