Teorema da divergência em 2D

RKA2JV - Olá, meu amigo ou minha amiga!

Tudo bem com você?

Seja muito bem-vindo ou bem-vinda
a mais um vídeo da Khan Academy Brasil!

Neste vídeo, vamos conversar sobre o
teorema da divergência em duas dimensões.

Para começar a conversar sobre isso,

vamos relembrar que, antes,

aprendemos um pouco sobre como
construir um vetor normal unitário

em qualquer ponto de uma curva.

Inclusive, foi isso que fizemos
no último vídeo.

Agora eu quero começar a explorar
uma expressão interessante.

Eu vou escrever aqui a integral de linha
em torno de um caminho fechado

e vamos definir que a orientação positiva
está no sentido anti-horário.

Nós vamos nos movimentar nesse sentido.

Aí, esta integral do produto escalar
entre uma função F

com vetor normal unitário
em qualquer ponto dessa curva.

Ah, e colocamos o ds aqui, também.

A primeira coisa a fazer é conceituar
isto que eu estou fazendo aqui

e tentar compreender o que
isso está me dizendo.

Sendo assim, vamos manipular
esta expressão um pouco

para ver se podemos chegar
a uma conclusão interessante.

Para isso, eu vou usar o teorema de Green

e aí vamos chegar a uma versão
bidimensional do teorema da divergência,

o que parece muito complicado,

mas eu espero que a gente
consiga fazer isso

e que você consiga compreender.

Vamos pensar sobre isso aqui.

Eu vou desenhar um plano de coordenadas.

Aqui está o eixo Y e aqui está o eixo X.

Eu vou desenhar a curva também.

A curva pode ser mais ou menos assim.

Meu contorno está se movimentando
de forma positiva

no sentido anti-horário, deste jeito.

Agora, temos o nosso campo vetorial.

E, apenas como um lembrete,
que inclusive já vimos isso várias vezes,

o campo vetorial vai associar a um vetor
com qualquer ponto no plano XY.

E ele pode ser definido
como alguma função de (x, y).

Na verdade, eu vou chamar isto de P.

Alguma função de (x, y)
vezes o vetor unitário i^.

Isso indica a forma da componente "i"
do campo vetorial

para qualquer ponto (x, y).

Também precisamos da nossa componente "j".

Então, colocamos algum fator de (x, y)
que vai multiplicar a componente "j".

Ou seja, que vai multiplicar a componente
vertical para qualquer ponto (x, y).

Sendo assim, temos alguma
função de (x, y) vezes i^,

mais alguma outra função escalar vezes j^.

Com isso, se você me der algum ponto,
qualquer ponto, há um vetor associado,

dependendo de como definimos essa função.

Mas, nesta expressão aqui,
estamos calculando uma integral de linha.

Sendo assim, nos preocupamos
especificamente

com os pontos ao longo desta curva,

ao longo deste contorno aqui.

Sendo assim, vamos pensar sobre
o que isso está nos dizendo

antes de pegar coisas
infinitesimalmente pequenas.

Vamos pegar aqui o F escalar n.

E eu vou pensar sobre
um ponto nesta curva.

Um ponto nesta curva que talvez
seja este ponto, bem aqui.

Como vimos, associado
a este ponto há um vetor.

E é isso que o campo vetorial faz.

F pode se parecer com
algo assim neste ponto.

Este é o campo vetorial neste ponto.

Não podemos esquecer que temos
um produto escalar entre F

e o vetor normal unitário naquele ponto.

Sendo assim, podemos
representar aqui também

o vetor normal unitário,
que pode ter esta forma.

É bom relembrar aqui que, quando
calculamos o produto escalar,

a gente obtém uma quantidade de escalar.

A gente, essencialmente,
obtêm um número.

Inclusive, você deve se lembrar disso.

Eu já fiz alguns vídeos sobre isso,

onde realizamos um detalhamento melhor.

Mas, de uma forma resumida, eu posso
te dizer que esse produto escalar

nos diz quanto estes dois
vetores caminham juntos.

É importante pensar nisso

porque, se eles são completamente
ortogonais um em relação ao outro,

isto vai ser igual a zero.

Mas, se eles estão na mesma
direção e sentido,

basta você multiplicar
os módulos deles dois.

Como temos um vetor unitário
aqui, o que vamos fazer

é obter o quanto, em módulo, do campo
vetorial F que vai na direção normal.

Então, você pode pensar dessa forma.

Sabendo isso, vamos pensar
sobre a componente

deste vetor que está na direção normal.

Inclusive, eu acho legal
escrever isso aqui.

Isto corresponde ao módulo da componente
de F que está na direção normal,

ou na mesma direção que
o vetor normal unitário.

Aí, multiplicamos isso com um comprimento
infinitamente pequeno do nosso contorno,

da nossa curva em torno deste ponto.

Então, vamos multiplicar com isto aqui.

Eu sei que você pode ter compreendido
o que eu estou dizendo,

mas como isso pode ser
fisicamente relativo?

Ou de que forma podemos pensar no que
esta expressão está realmente medindo?

Para pensar nisso, eu sempre visualizo
tudo isto em duas dimensões.

No futuro também vamos ver
isso em três dimensões,

mas, por enquanto, vamos visualizar
um universo bidimensional

em que estamos estudando,
por exemplo, gases.

Vamos supor que a gente tenha várias
partículas em um universo bidimensional,

de forma que a gente tem apenas
as coordenadas "x" e "y".

Este campo vetorial está
essencialmente dizendo a você

a velocidade em qualquer
ponto nesta região.

Então, isto aqui, nesse exemplo,
indica a velocidade

das partículas de um gás
em um determinado ponto.

Ou, como estamos falando
do nosso vetor normal,

isso indica o quão rápido as partículas
desse gás estão saindo neste ponto.

Com isso, ao resolver esta integral,

saberemos o quão rápido as partículas
estarão saindo deste contorno.

Isso, claro tendo um valor positivo,

mas a gente pode encontrar
um valor negativo também.

Como estamos considerando que o vetor
normal unitário está orientado para fora

e o resultado da integral está nos dizendo

o quão rápido as partículas estão
saindo deste contorno,

se a gente tiver um valor negativo,

isso significaria dizer que existe
alguma entrada de partículas.

E o resultado da integral
nos diria a velocidade

com a qual as partículas estão
entrando nesta região.

Bem, toda esta expressão
não precisa, necessariamente,

ter uma representação física.

Mas, usando essa analogia do gás,

isso nos diz o quão rápidas
são as partículas,

o quão rápido as partículas de um
gás bidimensional

estão saindo do contorno.

No futuro, vamos fazer isso em três
dimensões, onde teremos uma superfície.

E aí vamos terminar o quão rápido
as coisas estão saindo dessa superfície.

Enfim, agora que já temos uma
compreensão conceitual

do que isso poderia representar,

vamos brincar com isso um pouco,

principalmente porque já sabemos
como definir um vetor normal.

Vamos reescrever esta integral

usando o que sabemos sobre
como construir um vetor normal.

Reescrevendo esta integral, temos
aqui a integral sobre esta curva

do campo vetorial F
escalar o vetor normal.

A gente pode escrever o
vetor normal desta forma.

Vimos que o vetor normal é
dy vezes i^, menos dx vezes j^,

e tudo isso dividido pelo módulo,
que neste caso é o ds.

Para tornar um vetor unitário,
encontramos aqui o módulo de ds

calculando a raiz quadrada de (dx² + dy²),

que é a mesma coisa que este pequeno
comprimento aqui do contorno.

Sendo assim, vamos dividir isto por ds

e aí multiplicamos isto por ds.

O ds é um escalar.

Como temos um ds aqui e um ds aqui,
podemos cancelar um com o outro.

Sendo assim, ficamos apenas com
o produto escalar entre F

e esta diferença entre dy i^ e dx j^.

Para melhor visualizar isso,
eu vou reescrever esta integral.

Eu coloco aqui a integral de linha,

lembrando que estamos integrando
no sentido anti-horário,

e esta integral vai ser do,

vamos calcular este produto
escalar que está aqui em cima.

Este produto escalar é bem simples.

A gente faz o produto das componentes "x"

ou, essencialmente, o produto
dos módulos das componentes "x".

Então, teremos aqui:
P(x, y) vezes dy,

mais o produto dos módulos
das componentes "y",

ou das componentes "j".

Ou seja, teremos aqui:
mais Q(x, y) vezes -dx.

Isto vai nos dar menos Q(x, y) vezes dx.

Portanto, esta é uma
declaração interessante,

porque já vimos algo parecido antes,

só que sem esta diferença.

Eu estou falando do teorema de Green,

que inclusive vou reescrever aqui agora.

O teorema de Green diz que,

se estamos calculando a integral
de linha sobre um contorno,

Inclusive, existem várias maneiras
de escrever isso,

mas eu vou colocar aqui da forma
que já usamos em vários vídeos.

Podemos colocar aqui:
M vezes dx + N vezes dy.

Esta integral é igual à integral dupla

sobre a região que esta
linha está contornando.

Da parcial do que está ao lado de dy,

que neste caso é N.

Então, colocamos aqui a parcial
de N em relação a "x".

E disso nós subtraímos a parcial do
que quer que esteja ao lado de dx,

ou seja, a parcial de M em relação a "y".

Aí poderíamos colocar isto vezes dxdy,
ou simplesmente dA,

que é o infinitesimalmente
pequeno pedaço da área.

Então, vou escrever dA aqui.

Enfim, isto é apenas uma reafirmação
do teorema de Green.

Nós já sabemos disso.

Agora que revemos isso,
como podemos aplicar

o teorema de Green a isto
que vimos aqui em cima?

É a mesma coisa.

Mesmo tendo uma diferença aqui,

nós podemos aplicar o teorema
de Green da mesma forma.

Sendo assim, isto é igual à integral dupla

sobre a região que este contorno envolve.

O que queremos fazer é olhar
para qualquer coisa

que está sendo multiplicada aqui pelo dy.

Neste caso, esta é a função que está
sendo multiplicada pelo dy.

Aí, calculamos a derivada parcial
disto em relação a "x".

Então, vamos ter aqui a derivada
parcial de P em relação a "x".

E aí, isto menos a derivada
parcial de tudo aquilo

que está sendo multiplicado pelo dx.

Neste caso, vamos fazer a derivada
parcial disto aqui em relação a "y".

Mas temos um negativo, certo?

Então, colocamos aqui o menos,

a derivada parcial de Q
em relação a "y",

e aí é multiplicamos isto com o dA.

Observe que temos estes dois negativos,

ou seja, estamos subtraindo
algo que é negativo.

Isso faz com que a gente
tenha uma adição aqui.

Sendo assim, isto vai ser
igual à integral dupla

sobre a região da,

talvez você já consiga saber onde
isso tudo aqui vai dar

e até ficou um pouco animado
ou animada, não é?

Mas continuando:

aqui vai ser a integral dupla
da parcial de P em relação a "x",

mais a parcial de Q em
relação a "y", vezes dA.

Agora, olha para isto aqui:

P é a função que estava nos dizendo
o módulo na direção "x",

e Q estava nos dizendo
o módulo na direção "y".

Estamos fazendo a parcial disto
em relação a "x"

e disto em relação a "y".

e aí estamos realizando uma
adição entre os resultados.

Isto é exatamente o divergente de F.

Se isso não faz sentido, eu aconselho que
você assista a um vídeo sobre divergência.

Já tem alguns aqui.

Isto aqui é o divergente de F.

Então, por definição, este é o divergente

do nosso campo vetorial F.

Isso é algo muito interessante,

afinal, saímos da expressão original

e começamos a estudá-la buscando
determinar a velocidade

com a qual as partículas estão
saindo da superfície.

E agora que entendemos isso
em termos desta expressão,

vamos interpretar isso de forma intuitiva.

Isto aqui é igual à integral dupla
sobre esta região do divergente de F,

vezes um infinitesimalmente pequeno
pedaço de área, neste caso, dA.

Agora, por que isso faz sentido,
de forma intuitiva?

Para você perceber por que
isso faz sentido,

basta se lembrar sobre
o que é a divergência.

A divergência é uma medida que nos diz

o quanto as coisas estão
se expandindo, divergindo,

ou o quanto estão se
concentrando, convergindo.

Se você tem aqui um ponto e,
ao redor desse ponto,

as partículas estão meio que
se afastando umas das outras,

teremos um divergente positivo aqui.

Por outro lado, se as partículas estiverem

se aproximando umas das outras,

teremos um divergente negativo.

Observando isso, tudo o que
a gente fez aqui faz sentido.

Porque, se você pega uma área
infinitesimalmente pequena

e multiplica isso com o divergente,

teremos um número que será
somado ao longo de toda essa região.

Quanto maior for o divergente,

mais coisas estão saindo
do limite dessa região.

Se você visse isso como o quão rápido
as coisas estão saindo da superfície,

teremos um fluxo bidimensional, ou seja,

se a gente observar a rapidez das coisas
saindo da pequena área da superfície,

isso vai ser a mesma coisa que
a soma de todos os divergentes

sobre esta área que o contorno
está circundando.

Eu espero que isso faça um
pouco de sentido para você.

Isso é apenas uma outra maneira
de pensar sobre o teorema de Green.

E isso que acabamos de ver
aqui de forma resumida,

que é esta expressão da divergência
sobre esta região aqui,

é a mesma coisa que "F escalar n"
sobre o contorno.

Ou seja, temos aqui o teorema
da divergência de forma bidimensional.

Eu espero que você tenha
compreendido tudo direitinho

e, mais uma vez, eu quero deixar para
você um grande abraço, e até a próxima!