WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:01.999
RKA2JV - Olá, meu amigo ou minha amiga!

00:00:01.999 --> 00:00:03.265
Tudo bem com você?

00:00:03.265 --> 00:00:07.656
Seja muito bem-vindo ou bem-vinda 
a mais um vídeo da Khan Academy Brasil!

00:00:07.656 --> 00:00:12.693
Neste vídeo, vamos conversar sobre o 
teorema da divergência em duas dimensões.

00:00:12.693 --> 00:00:14.893
Para começar a conversar sobre isso,

00:00:14.893 --> 00:00:16.345
vamos relembrar que, antes,

00:00:16.345 --> 00:00:20.317
aprendemos um pouco sobre como 
construir um vetor normal unitário

00:00:20.317 --> 00:00:22.349
em qualquer ponto de uma curva.

00:00:22.349 --> 00:00:25.444
Inclusive, foi isso que fizemos 
no último vídeo.

00:00:25.444 --> 00:00:29.258
Agora eu quero começar a explorar 
uma expressão interessante.

00:00:29.258 --> 00:00:33.098
Eu vou escrever aqui a integral de linha 
em torno de um caminho fechado

00:00:33.098 --> 00:00:38.661
e vamos definir que a orientação positiva 
está no sentido anti-horário.

00:00:38.661 --> 00:00:41.220
Nós vamos nos movimentar nesse sentido.

00:00:41.220 --> 00:00:45.758
Aí, esta integral do produto escalar 
entre uma função F

00:00:45.758 --> 00:00:49.629
com vetor normal unitário 
em qualquer ponto dessa curva.

00:00:49.629 --> 00:00:51.687
Ah, e colocamos o ds aqui, também.

00:00:51.687 --> 00:00:55.449
A primeira coisa a fazer é conceituar 
isto que eu estou fazendo aqui

00:00:55.449 --> 00:00:58.449
e tentar compreender o que 
isso está me dizendo.

00:00:58.449 --> 00:01:01.530
Sendo assim, vamos manipular 
esta expressão um pouco

00:01:01.530 --> 00:01:04.759
para ver se podemos chegar 
a uma conclusão interessante.

00:01:04.759 --> 00:01:07.239
Para isso, eu vou usar o teorema de Green

00:01:07.239 --> 00:01:11.483
e aí vamos chegar a uma versão 
bidimensional do teorema da divergência,

00:01:11.483 --> 00:01:13.260
o que parece muito complicado,

00:01:13.260 --> 00:01:15.282
mas eu espero que a gente 
consiga fazer isso

00:01:15.282 --> 00:01:17.171
e que você consiga compreender.

00:01:17.171 --> 00:01:18.792
Vamos pensar sobre isso aqui.

00:01:18.792 --> 00:01:21.459
Eu vou desenhar um plano de coordenadas.

00:01:21.459 --> 00:01:25.139
Aqui está o eixo Y e aqui está o eixo X.

00:01:25.139 --> 00:01:27.179
Eu vou desenhar a curva também.

00:01:27.179 --> 00:01:30.139
A curva pode ser mais ou menos assim.

00:01:30.139 --> 00:01:33.760
Meu contorno está se movimentando 
de forma positiva

00:01:33.760 --> 00:01:36.479
no sentido anti-horário, deste jeito.

00:01:36.479 --> 00:01:38.760
Agora, temos o nosso campo vetorial.

00:01:38.760 --> 00:01:42.640
E, apenas como um lembrete, 
que inclusive já vimos isso várias vezes,

00:01:42.640 --> 00:01:48.179
o campo vetorial vai associar a um vetor 
com qualquer ponto no plano XY.

00:01:48.179 --> 00:01:51.863
E ele pode ser definido
como alguma função de (x, y).

00:01:51.863 --> 00:01:54.143
Na verdade, eu vou chamar isto de P.

00:01:54.143 --> 00:01:59.050
Alguma função de (x, y) 
vezes o vetor unitário i^.

00:01:59.050 --> 00:02:02.481
Isso indica a forma da componente "i" 
do campo vetorial

00:02:02.481 --> 00:02:04.800
para qualquer ponto (x, y).

00:02:04.800 --> 00:02:07.800
Também precisamos da nossa componente "j".

00:02:07.800 --> 00:02:13.580
Então, colocamos algum fator de (x, y) 
que vai multiplicar a componente "j".

00:02:13.580 --> 00:02:19.030
Ou seja, que vai multiplicar a componente 
vertical para qualquer ponto (x, y).

00:02:19.030 --> 00:02:23.323
Sendo assim, temos alguma 
função de (x, y) vezes i^,

00:02:23.323 --> 00:02:26.930
mais alguma outra função escalar vezes j^.

00:02:26.930 --> 00:02:31.842
Com isso, se você me der algum ponto, 
qualquer ponto, há um vetor associado,

00:02:31.842 --> 00:02:34.455
dependendo de como definimos essa função.

00:02:34.455 --> 00:02:38.401
Mas, nesta expressão aqui, 
estamos calculando uma integral de linha.

00:02:38.401 --> 00:02:40.844
Sendo assim, nos preocupamos 
especificamente

00:02:40.844 --> 00:02:42.953
com os pontos ao longo desta curva,

00:02:42.953 --> 00:02:44.980
ao longo deste contorno aqui.

00:02:44.980 --> 00:02:47.634
Sendo assim, vamos pensar sobre 
o que isso está nos dizendo

00:02:47.634 --> 00:02:50.700
antes de pegar coisas 
infinitesimalmente pequenas.

00:02:50.700 --> 00:02:53.190
Vamos pegar aqui o F escalar n.

00:02:53.190 --> 00:02:56.080
E eu vou pensar sobre 
um ponto nesta curva.

00:02:56.080 --> 00:02:59.923
Um ponto nesta curva que talvez 
seja este ponto, bem aqui.

00:02:59.923 --> 00:03:02.841
Como vimos, associado 
a este ponto há um vetor.

00:03:02.841 --> 00:03:05.200
E é isso que o campo vetorial faz.

00:03:05.200 --> 00:03:08.150
F pode se parecer com 
algo assim neste ponto.

00:03:08.150 --> 00:03:10.580
Este é o campo vetorial neste ponto.

00:03:10.580 --> 00:03:14.403
Não podemos esquecer que temos 
um produto escalar entre F

00:03:14.403 --> 00:03:17.527
e o vetor normal unitário naquele ponto.

00:03:17.527 --> 00:03:19.824
Sendo assim, podemos 
representar aqui também

00:03:19.824 --> 00:03:23.230
o vetor normal unitário, 
que pode ter esta forma.

00:03:23.230 --> 00:03:26.790
É bom relembrar aqui que, quando 
calculamos o produto escalar,

00:03:26.790 --> 00:03:29.126
a gente obtém uma quantidade de escalar.

00:03:29.126 --> 00:03:31.800
A gente, essencialmente, 
obtêm um número.

00:03:31.800 --> 00:03:34.155
Inclusive, você deve se lembrar disso.

00:03:34.155 --> 00:03:36.230
Eu já fiz alguns vídeos sobre isso,

00:03:36.230 --> 00:03:38.667
onde realizamos um detalhamento melhor.

00:03:38.667 --> 00:03:42.740
Mas, de uma forma resumida, eu posso 
te dizer que esse produto escalar

00:03:42.740 --> 00:03:46.550
nos diz quanto estes dois 
vetores caminham juntos.

00:03:46.550 --> 00:03:48.304
É importante pensar nisso

00:03:48.304 --> 00:03:52.259
porque, se eles são completamente 
ortogonais um em relação ao outro,

00:03:52.259 --> 00:03:53.901
isto vai ser igual a zero.

00:03:53.901 --> 00:03:56.620
Mas, se eles estão na mesma 
direção e sentido,

00:03:56.620 --> 00:03:59.571
basta você multiplicar 
os módulos deles dois.

00:03:59.571 --> 00:04:02.939
Como temos um vetor unitário 
aqui, o que vamos fazer

00:04:02.939 --> 00:04:08.907
é obter o quanto, em módulo, do campo
vetorial F que vai na direção normal.

00:04:08.907 --> 00:04:11.060
Então, você pode pensar dessa forma.

00:04:11.060 --> 00:04:14.280
Sabendo isso, vamos pensar 
sobre a componente

00:04:14.280 --> 00:04:16.866
deste vetor que está na direção normal.

00:04:16.866 --> 00:04:19.469
Inclusive, eu acho legal 
escrever isso aqui.

00:04:19.469 --> 00:04:24.370
Isto corresponde ao módulo da componente 
de F que está na direção normal,

00:04:24.370 --> 00:04:27.340
ou na mesma direção que 
o vetor normal unitário.

00:04:27.340 --> 00:04:32.310
Aí, multiplicamos isso com um comprimento 
infinitamente pequeno do nosso contorno,

00:04:32.310 --> 00:04:34.990
da nossa curva em torno deste ponto.

00:04:34.990 --> 00:04:36.919
Então, vamos multiplicar com isto aqui.

00:04:36.919 --> 00:04:40.080
Eu sei que você pode ter compreendido 
o que eu estou dizendo,

00:04:40.080 --> 00:04:42.970
mas como isso pode ser 
fisicamente relativo?

00:04:42.970 --> 00:04:47.520
Ou de que forma podemos pensar no que 
esta expressão está realmente medindo?

00:04:47.520 --> 00:04:52.050
Para pensar nisso, eu sempre visualizo 
tudo isto em duas dimensões.

00:04:52.050 --> 00:04:54.598
No futuro também vamos ver 
isso em três dimensões,

00:04:54.598 --> 00:04:57.960
mas, por enquanto, vamos visualizar
um universo bidimensional

00:04:57.960 --> 00:05:01.069
em que estamos estudando, 
por exemplo, gases.

00:05:01.069 --> 00:05:05.420
Vamos supor que a gente tenha várias 
partículas em um universo bidimensional,

00:05:05.420 --> 00:05:08.460
de forma que a gente tem apenas 
as coordenadas "x" e "y".

00:05:08.460 --> 00:05:12.210
Este campo vetorial está 
essencialmente dizendo a você

00:05:12.210 --> 00:05:15.120
a velocidade em qualquer 
ponto nesta região.

00:05:15.120 --> 00:05:17.742
Então, isto aqui, nesse exemplo, 
indica a velocidade

00:05:17.742 --> 00:05:20.635
das partículas de um gás 
em um determinado ponto.

00:05:20.635 --> 00:05:23.589
Ou, como estamos falando 
do nosso vetor normal,

00:05:23.589 --> 00:05:28.779
isso indica o quão rápido as partículas 
desse gás estão saindo neste ponto.

00:05:28.779 --> 00:05:31.119
Com isso, ao resolver esta integral,

00:05:31.119 --> 00:05:35.340
saberemos o quão rápido as partículas 
estarão saindo deste contorno.

00:05:35.340 --> 00:05:37.705
Isso, claro tendo um valor positivo,

00:05:37.705 --> 00:05:40.222
mas a gente pode encontrar 
um valor negativo também.

00:05:40.222 --> 00:05:44.960
Como estamos considerando que o vetor 
normal unitário está orientado para fora

00:05:44.960 --> 00:05:47.243
e o resultado da integral está nos dizendo

00:05:47.243 --> 00:05:50.620
o quão rápido as partículas estão 
saindo deste contorno,

00:05:50.620 --> 00:05:52.805
se a gente tiver um valor negativo,

00:05:52.805 --> 00:05:57.030
isso significaria dizer que existe 
alguma entrada de partículas.

00:05:57.030 --> 00:06:00.005
E o resultado da integral 
nos diria a velocidade

00:06:00.005 --> 00:06:03.410
com a qual as partículas estão 
entrando nesta região.

00:06:03.410 --> 00:06:06.225
Bem, toda esta expressão 
não precisa, necessariamente,

00:06:06.225 --> 00:06:08.280
ter uma representação física.

00:06:08.280 --> 00:06:10.427
Mas, usando essa analogia do gás,

00:06:10.427 --> 00:06:13.560
isso nos diz o quão rápidas 
são as partículas,

00:06:13.560 --> 00:06:17.404
o quão rápido as partículas de um 
gás bidimensional

00:06:17.404 --> 00:06:19.360
estão saindo do contorno.

00:06:19.360 --> 00:06:23.820
No futuro, vamos fazer isso em três 
dimensões, onde teremos uma superfície.

00:06:23.820 --> 00:06:29.100
E aí vamos terminar o quão rápido 
as coisas estão saindo dessa superfície.

00:06:29.100 --> 00:06:32.243
Enfim, agora que já temos uma 
compreensão conceitual

00:06:32.243 --> 00:06:34.280
do que isso poderia representar,

00:06:34.280 --> 00:06:36.007
vamos brincar com isso um pouco,

00:06:36.007 --> 00:06:39.800
principalmente porque já sabemos 
como definir um vetor normal.

00:06:39.800 --> 00:06:41.856
Vamos reescrever esta integral

00:06:41.856 --> 00:06:45.313
usando o que sabemos sobre 
como construir um vetor normal.

00:06:45.313 --> 00:06:49.999
Reescrevendo esta integral, temos 
aqui a integral sobre esta curva

00:06:49.999 --> 00:06:53.550
do campo vetorial F 
escalar o vetor normal.

00:06:53.550 --> 00:06:56.687
A gente pode escrever o 
vetor normal desta forma.

00:06:56.687 --> 00:07:02.260
Vimos que o vetor normal é 
dy vezes i^, menos dx vezes j^,

00:07:02.260 --> 00:07:05.688
e tudo isso dividido pelo módulo, 
que neste caso é o ds.

00:07:05.688 --> 00:07:10.059
Para tornar um vetor unitário, 
encontramos aqui o módulo de ds

00:07:10.059 --> 00:07:15.450
calculando a raiz quadrada de (dx² + dy²),

00:07:15.450 --> 00:07:19.269
que é a mesma coisa que este pequeno 
comprimento aqui do contorno.

00:07:19.269 --> 00:07:22.270
Sendo assim, vamos dividir isto por ds

00:07:22.270 --> 00:07:24.449
e aí multiplicamos isto por ds.

00:07:24.449 --> 00:07:26.429
O ds é um escalar.

00:07:26.429 --> 00:07:31.029
Como temos um ds aqui e um ds aqui, 
podemos cancelar um com o outro.

00:07:31.029 --> 00:07:35.019
Sendo assim, ficamos apenas com 
o produto escalar entre F

00:07:35.019 --> 00:07:39.610
e esta diferença entre dy i^ e dx j^.

00:07:39.610 --> 00:07:42.699
Para melhor visualizar isso, 
eu vou reescrever esta integral.

00:07:42.699 --> 00:07:45.430
Eu coloco aqui a integral de linha,

00:07:45.430 --> 00:07:48.749
lembrando que estamos integrando 
no sentido anti-horário,

00:07:48.749 --> 00:07:51.404
e esta integral vai ser do,

00:07:51.404 --> 00:07:54.339
vamos calcular este produto 
escalar que está aqui em cima.

00:07:54.339 --> 00:07:56.891
Este produto escalar é bem simples.

00:07:56.891 --> 00:07:59.444
A gente faz o produto das componentes "x"

00:07:59.444 --> 00:08:03.060
ou, essencialmente, o produto 
dos módulos das componentes "x".

00:08:03.060 --> 00:08:06.834
Então, teremos aqui: 
P(x, y) vezes dy,

00:08:06.834 --> 00:08:10.025
mais o produto dos módulos 
das componentes "y",

00:08:10.025 --> 00:08:11.699
ou das componentes "j".

00:08:11.699 --> 00:08:16.519
Ou seja, teremos aqui: 
mais Q(x, y) vezes -dx.

00:08:16.519 --> 00:08:20.626
Isto vai nos dar menos Q(x, y) vezes dx.

00:08:20.626 --> 00:08:23.013
Portanto, esta é uma 
declaração interessante,

00:08:23.013 --> 00:08:25.089
porque já vimos algo parecido antes,

00:08:25.089 --> 00:08:27.039
só que sem esta diferença.

00:08:27.039 --> 00:08:29.048
Eu estou falando do teorema de Green,

00:08:29.048 --> 00:08:31.670
que inclusive vou reescrever aqui agora.

00:08:31.670 --> 00:08:33.464
O teorema de Green diz que,

00:08:33.464 --> 00:08:36.899
se estamos calculando a integral 
de linha sobre um contorno,

00:08:36.899 --> 00:08:39.374
Inclusive, existem várias maneiras 
de escrever isso,

00:08:39.374 --> 00:08:42.890
mas eu vou colocar aqui da forma 
que já usamos em vários vídeos.

00:08:42.890 --> 00:08:47.728
Podemos colocar aqui: 
M vezes dx + N vezes dy.

00:08:47.728 --> 00:08:51.134
Esta integral é igual à integral dupla

00:08:51.134 --> 00:08:54.100
sobre a região que esta 
linha está contornando.

00:08:54.100 --> 00:08:56.827
Da parcial do que está ao lado de dy,

00:08:56.827 --> 00:08:58.360
que neste caso é N.

00:08:58.360 --> 00:09:02.160
Então, colocamos aqui a parcial 
de N em relação a "x".

00:09:02.160 --> 00:09:06.360
E disso nós subtraímos a parcial do 
que quer que esteja ao lado de dx,

00:09:06.360 --> 00:09:09.500
ou seja, a parcial de M em relação a "y".

00:09:09.500 --> 00:09:14.160
Aí poderíamos colocar isto vezes dxdy, 
ou simplesmente dA,

00:09:14.160 --> 00:09:17.330
que é o infinitesimalmente 
pequeno pedaço da área.

00:09:17.330 --> 00:09:19.140
Então, vou escrever dA aqui.

00:09:19.140 --> 00:09:22.436
Enfim, isto é apenas uma reafirmação 
do teorema de Green.

00:09:22.436 --> 00:09:23.698
Nós já sabemos disso.

00:09:23.698 --> 00:09:26.494
Agora que revemos isso, 
como podemos aplicar

00:09:26.494 --> 00:09:28.929
o teorema de Green a isto 
que vimos aqui em cima?

00:09:28.929 --> 00:09:30.145
É a mesma coisa.

00:09:30.145 --> 00:09:31.679
Mesmo tendo uma diferença aqui,

00:09:31.679 --> 00:09:34.860
nós podemos aplicar o teorema 
de Green da mesma forma.

00:09:34.860 --> 00:09:37.385
Sendo assim, isto é igual à integral dupla

00:09:37.385 --> 00:09:40.190
sobre a região que este contorno envolve.

00:09:40.510 --> 00:09:43.239
O que queremos fazer é olhar 
para qualquer coisa

00:09:43.239 --> 00:09:46.300
que está sendo multiplicada aqui pelo dy.

00:09:46.300 --> 00:09:50.220
Neste caso, esta é a função que está 
sendo multiplicada pelo dy.

00:09:50.220 --> 00:09:54.194
Aí, calculamos a derivada parcial 
disto em relação a "x".

00:09:54.194 --> 00:09:58.070
Então, vamos ter aqui a derivada 
parcial de P em relação a "x".

00:09:58.070 --> 00:10:01.434
E aí, isto menos a derivada 
parcial de tudo aquilo

00:10:01.434 --> 00:10:03.840
que está sendo multiplicado pelo dx.

00:10:03.840 --> 00:10:08.800
Neste caso, vamos fazer a derivada 
parcial disto aqui em relação a "y".

00:10:08.800 --> 00:10:10.645
Mas temos um negativo, certo?

00:10:10.645 --> 00:10:12.490
Então, colocamos aqui o menos,

00:10:12.490 --> 00:10:15.523
a derivada parcial de Q 
em relação a "y",

00:10:15.523 --> 00:10:18.270
e aí é multiplicamos isto com o dA.

00:10:18.270 --> 00:10:20.341
Observe que temos estes dois negativos,

00:10:20.341 --> 00:10:23.166
ou seja, estamos subtraindo 
algo que é negativo.

00:10:23.166 --> 00:10:25.932
Isso faz com que a gente 
tenha uma adição aqui.

00:10:25.932 --> 00:10:29.041
Sendo assim, isto vai ser 
igual à integral dupla

00:10:29.041 --> 00:10:30.590
sobre a região da,

00:10:30.590 --> 00:10:34.098
talvez você já consiga saber onde 
isso tudo aqui vai dar

00:10:34.098 --> 00:10:36.650
e até ficou um pouco animado 
ou animada, não é?

00:10:36.650 --> 00:10:37.723
Mas continuando:

00:10:37.723 --> 00:10:42.237
aqui vai ser a integral dupla 
da parcial de P em relação a "x",

00:10:42.237 --> 00:10:45.570
mais a parcial de Q em 
relação a "y", vezes dA.

00:10:45.570 --> 00:10:47.230
Agora, olha para isto aqui:

00:10:47.230 --> 00:10:50.810
P é a função que estava nos dizendo 
o módulo na direção "x",

00:10:50.810 --> 00:10:54.180
e Q estava nos dizendo 
o módulo na direção "y".

00:10:54.180 --> 00:10:57.039
Estamos fazendo a parcial disto 
em relação a "x"

00:10:57.039 --> 00:10:58.698
e disto em relação a "y".

00:10:58.698 --> 00:11:02.559
e aí estamos realizando uma 
adição entre os resultados.

00:11:02.559 --> 00:11:05.748
Isto é exatamente o divergente de F.

00:11:05.748 --> 00:11:10.350
Se isso não faz sentido, eu aconselho que 
você assista a um vídeo sobre divergência.

00:11:10.350 --> 00:11:11.774
Já tem alguns aqui.

00:11:11.774 --> 00:11:14.230
Isto aqui é o divergente de F.

00:11:14.230 --> 00:11:16.563
Então, por definição, este é o divergente

00:11:16.563 --> 00:11:18.378
do nosso campo vetorial F.

00:11:18.378 --> 00:11:20.451
Isso é algo muito interessante,

00:11:20.451 --> 00:11:22.645
afinal, saímos da expressão original

00:11:22.645 --> 00:11:26.109
e começamos a estudá-la buscando 
determinar a velocidade

00:11:26.109 --> 00:11:29.360
com a qual as partículas estão 
saindo da superfície.

00:11:29.360 --> 00:11:32.239
E agora que entendemos isso 
em termos desta expressão,

00:11:32.239 --> 00:11:34.799
vamos interpretar isso de forma intuitiva.

00:11:34.799 --> 00:11:39.419
Isto aqui é igual à integral dupla 
sobre esta região do divergente de F,

00:11:39.419 --> 00:11:43.272
vezes um infinitesimalmente pequeno 
pedaço de área, neste caso, dA.

00:11:43.272 --> 00:11:46.470
Agora, por que isso faz sentido, 
de forma intuitiva?

00:11:46.470 --> 00:11:49.083
Para você perceber por que 
isso faz sentido,

00:11:49.083 --> 00:11:52.109
basta se lembrar sobre 
o que é a divergência.

00:11:52.109 --> 00:11:54.049
A divergência é uma medida que nos diz

00:11:54.049 --> 00:11:57.389
o quanto as coisas estão 
se expandindo, divergindo,

00:11:57.389 --> 00:12:00.611
ou o quanto estão se 
concentrando, convergindo.

00:12:00.611 --> 00:12:03.950
Se você tem aqui um ponto e, 
ao redor desse ponto,

00:12:03.950 --> 00:12:07.290
as partículas estão meio que 
se afastando umas das outras,

00:12:07.290 --> 00:12:09.650
teremos um divergente positivo aqui.

00:12:09.650 --> 00:12:11.881
Por outro lado, se as partículas estiverem

00:12:11.881 --> 00:12:14.050
se aproximando umas das outras,

00:12:14.050 --> 00:12:16.030
teremos um divergente negativo.

00:12:16.030 --> 00:12:19.630
Observando isso, tudo o que 
a gente fez aqui faz sentido.

00:12:19.630 --> 00:12:22.895
Porque, se você pega uma área 
infinitesimalmente pequena

00:12:22.895 --> 00:12:25.120
e multiplica isso com o divergente,

00:12:25.120 --> 00:12:29.030
teremos um número que será 
somado ao longo de toda essa região.

00:12:29.030 --> 00:12:31.150
Quanto maior for o divergente,

00:12:31.150 --> 00:12:34.630
mais coisas estão saindo 
do limite dessa região.

00:12:34.630 --> 00:12:39.632
Se você visse isso como o quão rápido 
as coisas estão saindo da superfície,

00:12:39.632 --> 00:12:42.318
teremos um fluxo bidimensional, ou seja,

00:12:42.318 --> 00:12:47.378
se a gente observar a rapidez das coisas 
saindo da pequena área da superfície,

00:12:47.378 --> 00:12:50.908
isso vai ser a mesma coisa que 
a soma de todos os divergentes

00:12:50.908 --> 00:12:53.850
sobre esta área que o contorno 
está circundando.

00:12:53.850 --> 00:12:56.450
Eu espero que isso faça um 
pouco de sentido para você.

00:12:56.450 --> 00:12:59.740
Isso é apenas uma outra maneira 
de pensar sobre o teorema de Green.

00:12:59.740 --> 00:13:02.710
E isso que acabamos de ver 
aqui de forma resumida,

00:13:02.710 --> 00:13:06.070
que é esta expressão da divergência 
sobre esta região aqui,

00:13:06.070 --> 00:13:09.470
é a mesma coisa que "F escalar n" 
sobre o contorno.

00:13:09.470 --> 00:13:14.200
Ou seja, temos aqui o teorema 
da divergência de forma bidimensional.

00:13:14.200 --> 00:13:16.760
Eu espero que você tenha 
compreendido tudo direitinho

00:13:16.760 --> 00:13:21.387
e, mais uma vez, eu quero deixar para 
você um grande abraço, e até a próxima!