0:00:00.000,0:00:01.999 RKA2JV - Olá, meu amigo ou minha amiga! 0:00:01.999,0:00:03.265 Tudo bem com você? 0:00:03.265,0:00:07.656 Seja muito bem-vindo ou bem-vinda [br]a mais um vídeo da Khan Academy Brasil! 0:00:07.656,0:00:12.693 Neste vídeo, vamos conversar sobre o [br]teorema da divergência em duas dimensões. 0:00:12.693,0:00:14.893 Para começar a conversar sobre isso, 0:00:14.893,0:00:16.345 vamos relembrar que, antes, 0:00:16.345,0:00:20.317 aprendemos um pouco sobre como [br]construir um vetor normal unitário 0:00:20.317,0:00:22.349 em qualquer ponto de uma curva. 0:00:22.349,0:00:25.444 Inclusive, foi isso que fizemos [br]no último vídeo. 0:00:25.444,0:00:29.258 Agora eu quero começar a explorar [br]uma expressão interessante. 0:00:29.258,0:00:33.098 Eu vou escrever aqui a integral de linha [br]em torno de um caminho fechado 0:00:33.098,0:00:38.661 e vamos definir que a orientação positiva [br]está no sentido anti-horário. 0:00:38.661,0:00:41.220 Nós vamos nos movimentar nesse sentido. 0:00:41.220,0:00:45.758 Aí, esta integral do produto escalar [br]entre uma função F 0:00:45.758,0:00:49.629 com vetor normal unitário [br]em qualquer ponto dessa curva. 0:00:49.629,0:00:51.687 Ah, e colocamos o ds aqui, também. 0:00:51.687,0:00:55.449 A primeira coisa a fazer é conceituar [br]isto que eu estou fazendo aqui 0:00:55.449,0:00:58.449 e tentar compreender o que [br]isso está me dizendo. 0:00:58.449,0:01:01.530 Sendo assim, vamos manipular [br]esta expressão um pouco 0:01:01.530,0:01:04.759 para ver se podemos chegar [br]a uma conclusão interessante. 0:01:04.759,0:01:07.239 Para isso, eu vou usar o teorema de Green 0:01:07.239,0:01:11.483 e aí vamos chegar a uma versão [br]bidimensional do teorema da divergência, 0:01:11.483,0:01:13.260 o que parece muito complicado, 0:01:13.260,0:01:15.282 mas eu espero que a gente [br]consiga fazer isso 0:01:15.282,0:01:17.171 e que você consiga compreender. 0:01:17.171,0:01:18.792 Vamos pensar sobre isso aqui. 0:01:18.792,0:01:21.459 Eu vou desenhar um plano de coordenadas. 0:01:21.459,0:01:25.139 Aqui está o eixo Y e aqui está o eixo X. 0:01:25.139,0:01:27.179 Eu vou desenhar a curva também. 0:01:27.179,0:01:30.139 A curva pode ser mais ou menos assim. 0:01:30.139,0:01:33.760 Meu contorno está se movimentando [br]de forma positiva 0:01:33.760,0:01:36.479 no sentido anti-horário, deste jeito. 0:01:36.479,0:01:38.760 Agora, temos o nosso campo vetorial. 0:01:38.760,0:01:42.640 E, apenas como um lembrete, [br]que inclusive já vimos isso várias vezes, 0:01:42.640,0:01:48.179 o campo vetorial vai associar a um vetor [br]com qualquer ponto no plano XY. 0:01:48.179,0:01:51.863 E ele pode ser definido[br]como alguma função de (x, y). 0:01:51.863,0:01:54.143 Na verdade, eu vou chamar isto de P. 0:01:54.143,0:01:59.050 Alguma função de (x, y) [br]vezes o vetor unitário i^. 0:01:59.050,0:02:02.481 Isso indica a forma da componente "i" [br]do campo vetorial 0:02:02.481,0:02:04.800 para qualquer ponto (x, y). 0:02:04.800,0:02:07.800 Também precisamos da nossa componente "j". 0:02:07.800,0:02:13.580 Então, colocamos algum fator de (x, y) [br]que vai multiplicar a componente "j". 0:02:13.580,0:02:19.030 Ou seja, que vai multiplicar a componente [br]vertical para qualquer ponto (x, y). 0:02:19.030,0:02:23.323 Sendo assim, temos alguma [br]função de (x, y) vezes i^, 0:02:23.323,0:02:26.930 mais alguma outra função escalar vezes j^. 0:02:26.930,0:02:31.842 Com isso, se você me der algum ponto, [br]qualquer ponto, há um vetor associado, 0:02:31.842,0:02:34.455 dependendo de como definimos essa função. 0:02:34.455,0:02:38.401 Mas, nesta expressão aqui, [br]estamos calculando uma integral de linha. 0:02:38.401,0:02:40.844 Sendo assim, nos preocupamos [br]especificamente 0:02:40.844,0:02:42.953 com os pontos ao longo desta curva, 0:02:42.953,0:02:44.980 ao longo deste contorno aqui. 0:02:44.980,0:02:47.634 Sendo assim, vamos pensar sobre [br]o que isso está nos dizendo 0:02:47.634,0:02:50.700 antes de pegar coisas [br]infinitesimalmente pequenas. 0:02:50.700,0:02:53.190 Vamos pegar aqui o F escalar n. 0:02:53.190,0:02:56.080 E eu vou pensar sobre [br]um ponto nesta curva. 0:02:56.080,0:02:59.923 Um ponto nesta curva que talvez [br]seja este ponto, bem aqui. 0:02:59.923,0:03:02.841 Como vimos, associado [br]a este ponto há um vetor. 0:03:02.841,0:03:05.200 E é isso que o campo vetorial faz. 0:03:05.200,0:03:08.150 F pode se parecer com [br]algo assim neste ponto. 0:03:08.150,0:03:10.580 Este é o campo vetorial neste ponto. 0:03:10.580,0:03:14.403 Não podemos esquecer que temos [br]um produto escalar entre F 0:03:14.403,0:03:17.527 e o vetor normal unitário naquele ponto. 0:03:17.527,0:03:19.824 Sendo assim, podemos [br]representar aqui também 0:03:19.824,0:03:23.230 o vetor normal unitário, [br]que pode ter esta forma. 0:03:23.230,0:03:26.790 É bom relembrar aqui que, quando [br]calculamos o produto escalar, 0:03:26.790,0:03:29.126 a gente obtém uma quantidade de escalar. 0:03:29.126,0:03:31.800 A gente, essencialmente, [br]obtêm um número. 0:03:31.800,0:03:34.155 Inclusive, você deve se lembrar disso. 0:03:34.155,0:03:36.230 Eu já fiz alguns vídeos sobre isso, 0:03:36.230,0:03:38.667 onde realizamos um detalhamento melhor. 0:03:38.667,0:03:42.740 Mas, de uma forma resumida, eu posso [br]te dizer que esse produto escalar 0:03:42.740,0:03:46.550 nos diz quanto estes dois [br]vetores caminham juntos. 0:03:46.550,0:03:48.304 É importante pensar nisso 0:03:48.304,0:03:52.259 porque, se eles são completamente [br]ortogonais um em relação ao outro, 0:03:52.259,0:03:53.901 isto vai ser igual a zero. 0:03:53.901,0:03:56.620 Mas, se eles estão na mesma [br]direção e sentido, 0:03:56.620,0:03:59.571 basta você multiplicar [br]os módulos deles dois. 0:03:59.571,0:04:02.939 Como temos um vetor unitário [br]aqui, o que vamos fazer 0:04:02.939,0:04:08.907 é obter o quanto, em módulo, do campo[br]vetorial F que vai na direção normal. 0:04:08.907,0:04:11.060 Então, você pode pensar dessa forma. 0:04:11.060,0:04:14.280 Sabendo isso, vamos pensar [br]sobre a componente 0:04:14.280,0:04:16.866 deste vetor que está na direção normal. 0:04:16.866,0:04:19.469 Inclusive, eu acho legal [br]escrever isso aqui. 0:04:19.469,0:04:24.370 Isto corresponde ao módulo da componente [br]de F que está na direção normal, 0:04:24.370,0:04:27.340 ou na mesma direção que [br]o vetor normal unitário. 0:04:27.340,0:04:32.310 Aí, multiplicamos isso com um comprimento [br]infinitamente pequeno do nosso contorno, 0:04:32.310,0:04:34.990 da nossa curva em torno deste ponto. 0:04:34.990,0:04:36.919 Então, vamos multiplicar com isto aqui. 0:04:36.919,0:04:40.080 Eu sei que você pode ter compreendido [br]o que eu estou dizendo, 0:04:40.080,0:04:42.970 mas como isso pode ser [br]fisicamente relativo? 0:04:42.970,0:04:47.520 Ou de que forma podemos pensar no que [br]esta expressão está realmente medindo? 0:04:47.520,0:04:52.050 Para pensar nisso, eu sempre visualizo [br]tudo isto em duas dimensões. 0:04:52.050,0:04:54.598 No futuro também vamos ver [br]isso em três dimensões, 0:04:54.598,0:04:57.960 mas, por enquanto, vamos visualizar[br]um universo bidimensional 0:04:57.960,0:05:01.069 em que estamos estudando, [br]por exemplo, gases. 0:05:01.069,0:05:05.420 Vamos supor que a gente tenha várias [br]partículas em um universo bidimensional, 0:05:05.420,0:05:08.460 de forma que a gente tem apenas [br]as coordenadas "x" e "y". 0:05:08.460,0:05:12.210 Este campo vetorial está [br]essencialmente dizendo a você 0:05:12.210,0:05:15.120 a velocidade em qualquer [br]ponto nesta região. 0:05:15.120,0:05:17.742 Então, isto aqui, nesse exemplo, [br]indica a velocidade 0:05:17.742,0:05:20.635 das partículas de um gás [br]em um determinado ponto. 0:05:20.635,0:05:23.589 Ou, como estamos falando [br]do nosso vetor normal, 0:05:23.589,0:05:28.779 isso indica o quão rápido as partículas [br]desse gás estão saindo neste ponto. 0:05:28.779,0:05:31.119 Com isso, ao resolver esta integral, 0:05:31.119,0:05:35.340 saberemos o quão rápido as partículas [br]estarão saindo deste contorno. 0:05:35.340,0:05:37.705 Isso, claro tendo um valor positivo, 0:05:37.705,0:05:40.222 mas a gente pode encontrar [br]um valor negativo também. 0:05:40.222,0:05:44.960 Como estamos considerando que o vetor [br]normal unitário está orientado para fora 0:05:44.960,0:05:47.243 e o resultado da integral está nos dizendo 0:05:47.243,0:05:50.620 o quão rápido as partículas estão [br]saindo deste contorno, 0:05:50.620,0:05:52.805 se a gente tiver um valor negativo, 0:05:52.805,0:05:57.030 isso significaria dizer que existe [br]alguma entrada de partículas. 0:05:57.030,0:06:00.005 E o resultado da integral [br]nos diria a velocidade 0:06:00.005,0:06:03.410 com a qual as partículas estão [br]entrando nesta região. 0:06:03.410,0:06:06.225 Bem, toda esta expressão [br]não precisa, necessariamente, 0:06:06.225,0:06:08.280 ter uma representação física. 0:06:08.280,0:06:10.427 Mas, usando essa analogia do gás, 0:06:10.427,0:06:13.560 isso nos diz o quão rápidas [br]são as partículas, 0:06:13.560,0:06:17.404 o quão rápido as partículas de um [br]gás bidimensional 0:06:17.404,0:06:19.360 estão saindo do contorno. 0:06:19.360,0:06:23.820 No futuro, vamos fazer isso em três [br]dimensões, onde teremos uma superfície. 0:06:23.820,0:06:29.100 E aí vamos terminar o quão rápido [br]as coisas estão saindo dessa superfície. 0:06:29.100,0:06:32.243 Enfim, agora que já temos uma [br]compreensão conceitual 0:06:32.243,0:06:34.280 do que isso poderia representar, 0:06:34.280,0:06:36.007 vamos brincar com isso um pouco, 0:06:36.007,0:06:39.800 principalmente porque já sabemos [br]como definir um vetor normal. 0:06:39.800,0:06:41.856 Vamos reescrever esta integral 0:06:41.856,0:06:45.313 usando o que sabemos sobre [br]como construir um vetor normal. 0:06:45.313,0:06:49.999 Reescrevendo esta integral, temos [br]aqui a integral sobre esta curva 0:06:49.999,0:06:53.550 do campo vetorial F [br]escalar o vetor normal. 0:06:53.550,0:06:56.687 A gente pode escrever o [br]vetor normal desta forma. 0:06:56.687,0:07:02.260 Vimos que o vetor normal é [br]dy vezes i^, menos dx vezes j^, 0:07:02.260,0:07:05.688 e tudo isso dividido pelo módulo, [br]que neste caso é o ds. 0:07:05.688,0:07:10.059 Para tornar um vetor unitário, [br]encontramos aqui o módulo de ds 0:07:10.059,0:07:15.450 calculando a raiz quadrada de (dx² + dy²), 0:07:15.450,0:07:19.269 que é a mesma coisa que este pequeno [br]comprimento aqui do contorno. 0:07:19.269,0:07:22.270 Sendo assim, vamos dividir isto por ds 0:07:22.270,0:07:24.449 e aí multiplicamos isto por ds. 0:07:24.449,0:07:26.429 O ds é um escalar. 0:07:26.429,0:07:31.029 Como temos um ds aqui e um ds aqui, [br]podemos cancelar um com o outro. 0:07:31.029,0:07:35.019 Sendo assim, ficamos apenas com [br]o produto escalar entre F 0:07:35.019,0:07:39.610 e esta diferença entre dy i^ e dx j^. 0:07:39.610,0:07:42.699 Para melhor visualizar isso, [br]eu vou reescrever esta integral. 0:07:42.699,0:07:45.430 Eu coloco aqui a integral de linha, 0:07:45.430,0:07:48.749 lembrando que estamos integrando [br]no sentido anti-horário, 0:07:48.749,0:07:51.404 e esta integral vai ser do, 0:07:51.404,0:07:54.339 vamos calcular este produto [br]escalar que está aqui em cima. 0:07:54.339,0:07:56.891 Este produto escalar é bem simples. 0:07:56.891,0:07:59.444 A gente faz o produto das componentes "x" 0:07:59.444,0:08:03.060 ou, essencialmente, o produto [br]dos módulos das componentes "x". 0:08:03.060,0:08:06.834 Então, teremos aqui: [br]P(x, y) vezes dy, 0:08:06.834,0:08:10.025 mais o produto dos módulos [br]das componentes "y", 0:08:10.025,0:08:11.699 ou das componentes "j". 0:08:11.699,0:08:16.519 Ou seja, teremos aqui: [br]mais Q(x, y) vezes -dx. 0:08:16.519,0:08:20.626 Isto vai nos dar menos Q(x, y) vezes dx. 0:08:20.626,0:08:23.013 Portanto, esta é uma [br]declaração interessante, 0:08:23.013,0:08:25.089 porque já vimos algo parecido antes, 0:08:25.089,0:08:27.039 só que sem esta diferença. 0:08:27.039,0:08:29.048 Eu estou falando do teorema de Green, 0:08:29.048,0:08:31.670 que inclusive vou reescrever aqui agora. 0:08:31.670,0:08:33.464 O teorema de Green diz que, 0:08:33.464,0:08:36.899 se estamos calculando a integral [br]de linha sobre um contorno, 0:08:36.899,0:08:39.374 Inclusive, existem várias maneiras [br]de escrever isso, 0:08:39.374,0:08:42.890 mas eu vou colocar aqui da forma [br]que já usamos em vários vídeos. 0:08:42.890,0:08:47.728 Podemos colocar aqui: [br]M vezes dx + N vezes dy. 0:08:47.728,0:08:51.134 Esta integral é igual à integral dupla 0:08:51.134,0:08:54.100 sobre a região que esta [br]linha está contornando. 0:08:54.100,0:08:56.827 Da parcial do que está ao lado de dy, 0:08:56.827,0:08:58.360 que neste caso é N. 0:08:58.360,0:09:02.160 Então, colocamos aqui a parcial [br]de N em relação a "x". 0:09:02.160,0:09:06.360 E disso nós subtraímos a parcial do [br]que quer que esteja ao lado de dx, 0:09:06.360,0:09:09.500 ou seja, a parcial de M em relação a "y". 0:09:09.500,0:09:14.160 Aí poderíamos colocar isto vezes dxdy, [br]ou simplesmente dA, 0:09:14.160,0:09:17.330 que é o infinitesimalmente [br]pequeno pedaço da área. 0:09:17.330,0:09:19.140 Então, vou escrever dA aqui. 0:09:19.140,0:09:22.436 Enfim, isto é apenas uma reafirmação [br]do teorema de Green. 0:09:22.436,0:09:23.698 Nós já sabemos disso. 0:09:23.698,0:09:26.494 Agora que revemos isso, [br]como podemos aplicar 0:09:26.494,0:09:28.929 o teorema de Green a isto [br]que vimos aqui em cima? 0:09:28.929,0:09:30.145 É a mesma coisa. 0:09:30.145,0:09:31.679 Mesmo tendo uma diferença aqui, 0:09:31.679,0:09:34.860 nós podemos aplicar o teorema [br]de Green da mesma forma. 0:09:34.860,0:09:37.385 Sendo assim, isto é igual à integral dupla 0:09:37.385,0:09:40.190 sobre a região que este contorno envolve. 0:09:40.510,0:09:43.239 O que queremos fazer é olhar [br]para qualquer coisa 0:09:43.239,0:09:46.300 que está sendo multiplicada aqui pelo dy. 0:09:46.300,0:09:50.220 Neste caso, esta é a função que está [br]sendo multiplicada pelo dy. 0:09:50.220,0:09:54.194 Aí, calculamos a derivada parcial [br]disto em relação a "x". 0:09:54.194,0:09:58.070 Então, vamos ter aqui a derivada [br]parcial de P em relação a "x". 0:09:58.070,0:10:01.434 E aí, isto menos a derivada [br]parcial de tudo aquilo 0:10:01.434,0:10:03.840 que está sendo multiplicado pelo dx. 0:10:03.840,0:10:08.800 Neste caso, vamos fazer a derivada [br]parcial disto aqui em relação a "y". 0:10:08.800,0:10:10.645 Mas temos um negativo, certo? 0:10:10.645,0:10:12.490 Então, colocamos aqui o menos, 0:10:12.490,0:10:15.523 a derivada parcial de Q [br]em relação a "y", 0:10:15.523,0:10:18.270 e aí é multiplicamos isto com o dA. 0:10:18.270,0:10:20.341 Observe que temos estes dois negativos, 0:10:20.341,0:10:23.166 ou seja, estamos subtraindo [br]algo que é negativo. 0:10:23.166,0:10:25.932 Isso faz com que a gente [br]tenha uma adição aqui. 0:10:25.932,0:10:29.041 Sendo assim, isto vai ser [br]igual à integral dupla 0:10:29.041,0:10:30.590 sobre a região da, 0:10:30.590,0:10:34.098 talvez você já consiga saber onde [br]isso tudo aqui vai dar 0:10:34.098,0:10:36.650 e até ficou um pouco animado [br]ou animada, não é? 0:10:36.650,0:10:37.723 Mas continuando: 0:10:37.723,0:10:42.237 aqui vai ser a integral dupla [br]da parcial de P em relação a "x", 0:10:42.237,0:10:45.570 mais a parcial de Q em [br]relação a "y", vezes dA. 0:10:45.570,0:10:47.230 Agora, olha para isto aqui: 0:10:47.230,0:10:50.810 P é a função que estava nos dizendo [br]o módulo na direção "x", 0:10:50.810,0:10:54.180 e Q estava nos dizendo [br]o módulo na direção "y". 0:10:54.180,0:10:57.039 Estamos fazendo a parcial disto [br]em relação a "x" 0:10:57.039,0:10:58.698 e disto em relação a "y". 0:10:58.698,0:11:02.559 e aí estamos realizando uma [br]adição entre os resultados. 0:11:02.559,0:11:05.748 Isto é exatamente o divergente de F. 0:11:05.748,0:11:10.350 Se isso não faz sentido, eu aconselho que [br]você assista a um vídeo sobre divergência. 0:11:10.350,0:11:11.774 Já tem alguns aqui. 0:11:11.774,0:11:14.230 Isto aqui é o divergente de F. 0:11:14.230,0:11:16.563 Então, por definição, este é o divergente 0:11:16.563,0:11:18.378 do nosso campo vetorial F. 0:11:18.378,0:11:20.451 Isso é algo muito interessante, 0:11:20.451,0:11:22.645 afinal, saímos da expressão original 0:11:22.645,0:11:26.109 e começamos a estudá-la buscando [br]determinar a velocidade 0:11:26.109,0:11:29.360 com a qual as partículas estão [br]saindo da superfície. 0:11:29.360,0:11:32.239 E agora que entendemos isso [br]em termos desta expressão, 0:11:32.239,0:11:34.799 vamos interpretar isso de forma intuitiva. 0:11:34.799,0:11:39.419 Isto aqui é igual à integral dupla [br]sobre esta região do divergente de F, 0:11:39.419,0:11:43.272 vezes um infinitesimalmente pequeno [br]pedaço de área, neste caso, dA. 0:11:43.272,0:11:46.470 Agora, por que isso faz sentido, [br]de forma intuitiva? 0:11:46.470,0:11:49.083 Para você perceber por que [br]isso faz sentido, 0:11:49.083,0:11:52.109 basta se lembrar sobre [br]o que é a divergência. 0:11:52.109,0:11:54.049 A divergência é uma medida que nos diz 0:11:54.049,0:11:57.389 o quanto as coisas estão [br]se expandindo, divergindo, 0:11:57.389,0:12:00.611 ou o quanto estão se [br]concentrando, convergindo. 0:12:00.611,0:12:03.950 Se você tem aqui um ponto e, [br]ao redor desse ponto, 0:12:03.950,0:12:07.290 as partículas estão meio que [br]se afastando umas das outras, 0:12:07.290,0:12:09.650 teremos um divergente positivo aqui. 0:12:09.650,0:12:11.881 Por outro lado, se as partículas estiverem 0:12:11.881,0:12:14.050 se aproximando umas das outras, 0:12:14.050,0:12:16.030 teremos um divergente negativo. 0:12:16.030,0:12:19.630 Observando isso, tudo o que [br]a gente fez aqui faz sentido. 0:12:19.630,0:12:22.895 Porque, se você pega uma área [br]infinitesimalmente pequena 0:12:22.895,0:12:25.120 e multiplica isso com o divergente, 0:12:25.120,0:12:29.030 teremos um número que será [br]somado ao longo de toda essa região. 0:12:29.030,0:12:31.150 Quanto maior for o divergente, 0:12:31.150,0:12:34.630 mais coisas estão saindo [br]do limite dessa região. 0:12:34.630,0:12:39.632 Se você visse isso como o quão rápido [br]as coisas estão saindo da superfície, 0:12:39.632,0:12:42.318 teremos um fluxo bidimensional, ou seja, 0:12:42.318,0:12:47.378 se a gente observar a rapidez das coisas [br]saindo da pequena área da superfície, 0:12:47.378,0:12:50.908 isso vai ser a mesma coisa que [br]a soma de todos os divergentes 0:12:50.908,0:12:53.850 sobre esta área que o contorno [br]está circundando. 0:12:53.850,0:12:56.450 Eu espero que isso faça um [br]pouco de sentido para você. 0:12:56.450,0:12:59.740 Isso é apenas uma outra maneira [br]de pensar sobre o teorema de Green. 0:12:59.740,0:13:02.710 E isso que acabamos de ver [br]aqui de forma resumida, 0:13:02.710,0:13:06.070 que é esta expressão da divergência [br]sobre esta região aqui, 0:13:06.070,0:13:09.470 é a mesma coisa que "F escalar n" [br]sobre o contorno. 0:13:09.470,0:13:14.200 Ou seja, temos aqui o teorema [br]da divergência de forma bidimensional. 0:13:14.200,0:13:16.760 Eu espero que você tenha [br]compreendido tudo direitinho 0:13:16.760,0:13:21.387 e, mais uma vez, eu quero deixar para [br]você um grande abraço, e até a próxima!