Introduction to 3d graphs | Multivariable calculus | Khan Academy

大家好。

我这里想做的是描述一下

如何考虑三维图像。

三维图像是我们表达

某种多元函数的一种方式，

那种函数有两个输入，

或者一个二维输入，

然后某种一维的输出。

那么我这里画的是

f(x,y)等于x的平方加上y平方。

在我们讨论这个图像前，

我认为用比喻会有用，

我们看一看二维图像以及

稍微提醒一下我们自己那些是怎么运作的，

我们做的是什么，因为，它和

三维的是一样的，

但是它需要稍微多一点视觉化。

那么二维图像，

你知道它们有某种函数，

让我们看一看你有f(x)等于x的平方，

你视觉化一个函数的任何时候，你尝试

理解输入和输出

之间的关系。

这里那两个都只是数字，

那么你知道你输入一个数字，比如说2，

而它会输出4，

你知道你输入-1而它会输出1。

你现在试着理解所有可能的

输入-输入对。

事实是我们可以做这个，

我们可以对所有可能的

输入输出对有很好的直观感受，

我们用图像做到这一步的方法是

你想成我们就画出这些实际的对，是吧？

所以你要画这个点，比方说我们要

画点(2,4)，那么我们可能标记一下我们的图像，

这里是2，1，2，3，4，

那么你要在某个位置标记(2,4)，

而它代表一对输入-输出。

而如果你用-1，1做，

-1，1。

当你对每对输入-输出这样做的话，

最后你得到的，我可能画的不是很好，

是某种光滑的曲线。

这样做的暗示是我们很典型地想象

x轴上的东西是输入的位置，

你知道的，它会是，我们想成输入1，

这个是输入2，这样继续下去，

然后你把输出想成

这个图像在每个点上的高。

但是这是某种我们

在这里列出所有对的结果。

现在如果我们走向多变量函数的世界，

现在我不会给你们看图像，

让我们就想一想我们有一个三维空间

可以做我们想做的事。

我们仍旧想理解

输入和输出之间的关系，但是这个情况下，

输入是某些我们认为是配对点的东西，

我们可能有一对点像(1，2)，

输出是

1的平方加上2的平方，而它等于5。

那么我们怎么视觉化？

那么如果我们想要把这些配对在一起，

一个自然的方法是想成三胞胎。

那么在这个情况下，你要代入三胞胎(1,2,5)，

而要在三维中做这个，

我们要在这里看一看，我们想

在x方向走1步，这个轴是x轴，

那么我们想要移动一个距离，

然后在y方向上走2步，

所以我们想成在那里走两个距离，

然后向上5步，然后

它会给我们某个点，对吧？

那么我们考虑空间上的点，

然后那个是已知的输入-输出对。

但是我们可以做很多，对吗？

你可能得到一些不同的点，

如果你开始画出不同的点，

看上去像这样，而当然你可以做

无限多而如果你试着

在三维中画每一个点的话会需要花很久时间，

但是这里很不错的是你知道

抛弃那些线，如果想象一下

用无限多对的输入做的话，

你最后会画出一个表面。

那么在这个情况下，这个表面看上去像

一个三维抛物线，那不是巧合，

它和我们用x平方和y平方

这个事情有关。

现在像(1,2)这样的输入，我们想象

在xy平面，是吗？

那么你想成输入在这里，

然后相对应输出的是

一个在图像上方的点的高度，是吧？

那么它和二维很相似，

你知道，我们想成输入在一个轴上，

而在这里的高度给我们输出。

那么给你一个例子，

这个的结论是，我要你想一想

如果我们稍微改变了多元函数

会发生什么，而我们将所有东西都乘以1/2，对吗？

那么我会用红色画出来，让我们看看我们有一个函数，

但是我会改变一下它这样它会变成

1/2x的平方加上y的平方。

那个函数图像的形状是什么？

它的意思是在这个xy平面

上面的每一个点会减半。

那么它其实是我们已经有的

东西的修改，但是所有

都比原来减去一半。

那么在这个情况下高不是5，

而是2.5。

你可以想象，比如说，

你知道，更极端的是，不是一半，

你减去1/12，

也许我会用一样的颜色，1/12，

它的意思是所有东西

会变得很平坦很平坦，接近xy平面。

那么像这样接近xy平面的图像

对应的是非常小的输出。

我想让你小心一件事是，

把每个多元函数

想成图像是很诱人的事情

因为我们已经很习惯了二维空间的图像了

而我们也很习惯直接找出

二维和三维的类比，

但是它有效果的唯一原因是因为

如果你在输入中取维度数，

二维，然后在输出中

取维度数，一维，是合理的。