WEBVTT

00:00:00.526 --> 00:00:01.573
大家好。

00:00:01.573 --> 00:00:03.683
我这里想做的是描述一下

00:00:03.683 --> 00:00:06.220
如何考虑三维图像。

00:00:06.220 --> 00:00:08.858
三维图像是我们表达

00:00:08.858 --> 00:00:10.255
某种多元函数的一种方式，

00:00:10.255 --> 00:00:12.156
那种函数有两个输入，

00:00:12.156 --> 00:00:14.539
或者一个二维输入，

00:00:14.539 --> 00:00:17.003
然后某种一维的输出。

00:00:17.003 --> 00:00:19.302
那么我这里画的是

00:00:19.302 --> 00:00:23.733
f(x,y)等于x的平方加上y平方。

00:00:23.733 --> 00:00:26.618
在我们讨论这个图像前，

00:00:26.618 --> 00:00:28.463
我认为用比喻会有用，

00:00:28.463 --> 00:00:30.380
我们看一看二维图像以及

00:00:30.380 --> 00:00:32.580
稍微提醒一下我们自己那些是怎么运作的，

00:00:32.580 --> 00:00:36.562
我们做的是什么，因为，它和

00:00:36.562 --> 00:00:38.876
三维的是一样的，

00:00:38.876 --> 00:00:41.148
但是它需要稍微多一点视觉化。

00:00:41.148 --> 00:00:43.365
那么二维图像，

00:00:43.365 --> 00:00:45.559
你知道它们有某种函数，

00:00:45.559 --> 00:00:49.726
让我们看一看你有f(x)等于x的平方，

00:00:51.086 --> 00:00:54.000
你视觉化一个函数的任何时候，你尝试

00:00:54.000 --> 00:00:55.554
理解输入和输出

00:00:55.554 --> 00:00:57.154
之间的关系。

00:00:57.154 --> 00:00:59.032
这里那两个都只是数字，

00:00:59.032 --> 00:01:00.873
那么你知道你输入一个数字，比如说2，

00:01:00.873 --> 00:01:03.646
而它会输出4，

00:01:03.646 --> 00:01:07.351
你知道你输入-1而它会输出1。

00:01:07.351 --> 00:01:09.638
你现在试着理解所有可能的

00:01:09.638 --> 00:01:11.506
输入-输入对。

00:01:11.506 --> 00:01:13.089
事实是我们可以做这个，

00:01:13.089 --> 00:01:17.571
我们可以对所有可能的

00:01:17.571 --> 00:01:21.376
输入输出对有很好的直观感受，

00:01:21.376 --> 00:01:24.476
我们用图像做到这一步的方法是

00:01:24.476 --> 00:01:26.492
你想成我们就画出这些实际的对，是吧？

00:01:26.492 --> 00:01:30.189
所以你要画这个点，比方说我们要

00:01:30.189 --> 00:01:34.306
画点(2,4)，那么我们可能标记一下我们的图像，

00:01:34.306 --> 00:01:36.973
这里是2，1，2，3，4，

00:01:39.221 --> 00:01:43.261
那么你要在某个位置标记(2,4)，

00:01:43.261 --> 00:01:45.862
而它代表一对输入-输出。

00:01:45.862 --> 00:01:48.300
而如果你用-1，1做，

00:01:48.300 --> 00:01:50.383
-1，1。

00:01:51.586 --> 00:01:55.302
当你对每对输入-输出这样做的话，

00:01:55.302 --> 00:01:59.159
最后你得到的，我可能画的不是很好，

00:01:59.159 --> 00:02:01.491
是某种光滑的曲线。

00:02:01.491 --> 00:02:04.232
这样做的暗示是我们很典型地想象

00:02:04.232 --> 00:02:07.406
x轴上的东西是输入的位置，

00:02:07.406 --> 00:02:09.813
你知道的，它会是，我们想成输入1，

00:02:09.813 --> 00:02:13.018
这个是输入2，这样继续下去，

00:02:13.018 --> 00:02:17.185
然后你把输出想成

00:02:18.828 --> 00:02:21.554
这个图像在每个点上的高。

00:02:21.554 --> 00:02:23.272
但是这是某种我们

00:02:23.272 --> 00:02:26.078
在这里列出所有对的结果。

00:02:26.078 --> 00:02:29.149
现在如果我们走向多变量函数的世界，

00:02:29.149 --> 00:02:31.905
现在我不会给你们看图像，

00:02:31.905 --> 00:02:34.122
让我们就想一想我们有一个三维空间

00:02:34.122 --> 00:02:37.106
可以做我们想做的事。

00:02:37.106 --> 00:02:39.010
我们仍旧想理解

00:02:39.010 --> 00:02:42.653
输入和输出之间的关系，但是这个情况下，

00:02:42.653 --> 00:02:46.820
输入是某些我们认为是配对点的东西，

00:02:47.914 --> 00:02:51.391
我们可能有一对点像(1，2)，

00:02:51.391 --> 00:02:53.654
输出是

00:02:53.654 --> 00:02:57.821
1的平方加上2的平方，而它等于5。

00:03:02.573 --> 00:03:05.328
那么我们怎么视觉化？

00:03:05.328 --> 00:03:08.053
那么如果我们想要把这些配对在一起，

00:03:08.053 --> 00:03:10.813
一个自然的方法是想成三胞胎。

00:03:10.813 --> 00:03:14.980
那么在这个情况下，你要代入三胞胎(1,2,5)，

00:03:17.268 --> 00:03:19.932
而要在三维中做这个，

00:03:19.932 --> 00:03:23.157
我们要在这里看一看，我们想

00:03:23.157 --> 00:03:25.938
在x方向走1步，这个轴是x轴，

00:03:25.938 --> 00:03:28.276
那么我们想要移动一个距离，

00:03:28.276 --> 00:03:31.700
然后在y方向上走2步，

00:03:31.700 --> 00:03:34.610
所以我们想成在那里走两个距离，

00:03:34.610 --> 00:03:37.442
然后向上5步，然后

00:03:37.442 --> 00:03:40.120
它会给我们某个点，对吧？

00:03:40.120 --> 00:03:41.489
那么我们考虑空间上的点，

00:03:41.489 --> 00:03:44.043
然后那个是已知的输入-输出对。

00:03:44.043 --> 00:03:45.807
但是我们可以做很多，对吗？

00:03:45.807 --> 00:03:48.571
你可能得到一些不同的点，

00:03:48.571 --> 00:03:51.183
如果你开始画出不同的点，

00:03:51.183 --> 00:03:54.014
看上去像这样，而当然你可以做

00:03:54.014 --> 00:03:56.244
无限多而如果你试着

00:03:56.244 --> 00:03:58.926
在三维中画每一个点的话会需要花很久时间，

00:03:58.926 --> 00:04:02.042
但是这里很不错的是你知道

00:04:02.042 --> 00:04:04.567
抛弃那些线，如果想象一下

00:04:04.567 --> 00:04:07.289
用无限多对的输入做的话，

00:04:07.289 --> 00:04:11.892
你最后会画出一个表面。

00:04:11.892 --> 00:04:14.952
那么在这个情况下，这个表面看上去像

00:04:14.952 --> 00:04:17.215
一个三维抛物线，那不是巧合，

00:04:17.215 --> 00:04:19.038
它和我们用x平方和y平方

00:04:19.038 --> 00:04:21.331
这个事情有关。

00:04:21.331 --> 00:04:25.498
现在像(1,2)这样的输入，我们想象

00:04:27.177 --> 00:04:29.301
在xy平面，是吗？

00:04:29.301 --> 00:04:31.658
那么你想成输入在这里，

00:04:31.658 --> 00:04:33.818
然后相对应输出的是

00:04:33.818 --> 00:04:37.463
一个在图像上方的点的高度，是吧？

00:04:37.463 --> 00:04:39.564
那么它和二维很相似，

00:04:39.564 --> 00:04:42.084
你知道，我们想成输入在一个轴上，

00:04:42.084 --> 00:04:44.417
而在这里的高度给我们输出。

00:04:44.417 --> 00:04:45.936
那么给你一个例子，

00:04:45.936 --> 00:04:49.283
这个的结论是，我要你想一想

00:04:49.283 --> 00:04:52.522
如果我们稍微改变了多元函数

00:04:52.522 --> 00:04:56.690
会发生什么，而我们将所有东西都乘以1/2，对吗？

00:04:56.690 --> 00:05:00.857
那么我会用红色画出来，让我们看看我们有一个函数，

00:05:02.178 --> 00:05:06.452
但是我会改变一下它这样它会变成

00:05:06.452 --> 00:05:09.227
1/2x的平方加上y的平方。

00:05:09.227 --> 00:05:13.394
那个函数图像的形状是什么？

00:05:14.286 --> 00:05:15.919
它的意思是在这个xy平面

00:05:15.919 --> 00:05:19.645
上面的每一个点会减半。

00:05:19.645 --> 00:05:21.392
那么它其实是我们已经有的

00:05:21.392 --> 00:05:23.420
东西的修改，但是所有

00:05:23.420 --> 00:05:27.181
都比原来减去一半。

00:05:27.181 --> 00:05:29.386
那么在这个情况下高不是5，

00:05:29.386 --> 00:05:31.531
而是2.5。

00:05:31.531 --> 00:05:33.442
你可以想象，比如说，

00:05:33.442 --> 00:05:35.823
你知道，更极端的是，不是一半，

00:05:35.823 --> 00:05:38.725
你减去1/12，

00:05:38.725 --> 00:05:42.558
也许我会用一样的颜色，1/12，

00:05:43.440 --> 00:05:45.017
它的意思是所有东西

00:05:45.017 --> 00:05:49.259
会变得很平坦很平坦，接近xy平面。

00:05:49.259 --> 00:05:51.443
那么像这样接近xy平面的图像

00:05:51.443 --> 00:05:54.909
对应的是非常小的输出。

00:05:54.909 --> 00:05:57.287
我想让你小心一件事是，

00:05:57.287 --> 00:05:59.563
把每个多元函数

00:05:59.563 --> 00:06:01.520
想成图像是很诱人的事情

00:06:01.520 --> 00:06:03.687
因为我们已经很习惯了二维空间的图像了

00:06:03.687 --> 00:06:06.726
而我们也很习惯直接找出

00:06:06.726 --> 00:06:09.781
二维和三维的类比，

00:06:09.781 --> 00:06:12.734
但是它有效果的唯一原因是因为

00:06:12.734 --> 00:06:15.376
如果你在输入中取维度数，

00:06:15.376 --> 00:06:17.515
二维，然后在输出中

00:06:17.515 --> 00:06:19.926
取维度数，一维，是合理的。

00:06:19.926 --> 00:06:23.281


00:06:23.281 --> 00:06:25.104


00:06:25.104 --> 00:06:27.044


00:06:27.044 --> 00:06:29.156


00:06:29.156 --> 00:06:31.420


00:06:31.420 --> 00:06:33.899


00:06:33.899 --> 00:06:35.586


00:06:35.586 --> 00:06:37.883


00:06:37.883 --> 00:06:39.752


00:06:39.752 --> 00:06:42.940


00:06:42.940 --> 00:06:44.613


00:06:44.613 --> 00:06:46.709


00:06:46.709 --> 00:06:50.093


00:06:50.093 --> 00:06:52.194


00:06:52.194 --> 00:06:54.216


00:06:54.216 --> 00:06:55.616


00:06:55.616 --> 00:06:59.210


00:06:59.210 --> 00:07:00.770


00:07:00.770 --> 00:07:03.301


00:07:03.301 --> 00:07:05.409