1
00:00:00,526 --> 00:00:01,573
大家好。

2
00:00:01,573 --> 00:00:03,683
我这里想做的是描述一下

3
00:00:03,683 --> 00:00:06,220
如何考虑三维图像。

4
00:00:06,220 --> 00:00:08,858
三维图像是我们表达

5
00:00:08,858 --> 00:00:10,255
某种多元函数的一种方式，

6
00:00:10,255 --> 00:00:12,156
那种函数有两个输入，

7
00:00:12,156 --> 00:00:14,539
或者一个二维输入，

8
00:00:14,539 --> 00:00:17,003
然后某种一维的输出。

9
00:00:17,003 --> 00:00:19,302
那么我这里画的是

10
00:00:19,302 --> 00:00:23,733
f(x,y)等于x的平方加上y平方。

11
00:00:23,733 --> 00:00:26,618
在我们讨论这个图像前，

12
00:00:26,618 --> 00:00:28,463
我认为用比喻会有用，

13
00:00:28,463 --> 00:00:30,380
我们看一看二维图像以及

14
00:00:30,380 --> 00:00:32,580
稍微提醒一下我们自己那些是怎么运作的，

15
00:00:32,580 --> 00:00:36,562
我们做的是什么，因为，它和

16
00:00:36,562 --> 00:00:38,876
三维的是一样的，

17
00:00:38,876 --> 00:00:41,148
但是它需要稍微多一点视觉化。

18
00:00:41,148 --> 00:00:43,365
那么二维图像，

19
00:00:43,365 --> 00:00:45,559
你知道它们有某种函数，

20
00:00:45,559 --> 00:00:49,726
让我们看一看你有f(x)等于x的平方，

21
00:00:51,086 --> 00:00:54,000
你视觉化一个函数的任何时候，你尝试

22
00:00:54,000 --> 00:00:55,554
理解输入和输出

23
00:00:55,554 --> 00:00:57,154
之间的关系。

24
00:00:57,154 --> 00:00:59,032
这里那两个都只是数字，

25
00:00:59,032 --> 00:01:00,873
那么你知道你输入一个数字，比如说2，

26
00:01:00,873 --> 00:01:03,646
而它会输出4，

27
00:01:03,646 --> 00:01:07,351
你知道你输入-1而它会输出1。

28
00:01:07,351 --> 00:01:09,638
你现在试着理解所有可能的

29
00:01:09,638 --> 00:01:11,506
输入-输入对。

30
00:01:11,506 --> 00:01:13,089
事实是我们可以做这个，

31
00:01:13,089 --> 00:01:17,571
我们可以对所有可能的

32
00:01:17,571 --> 00:01:21,376
输入输出对有很好的直观感受，

33
00:01:21,376 --> 00:01:24,476
我们用图像做到这一步的方法是

34
00:01:24,476 --> 00:01:26,492
你想成我们就画出这些实际的对，是吧？

35
00:01:26,492 --> 00:01:30,189
所以你要画这个点，比方说我们要

36
00:01:30,189 --> 00:01:34,306
画点(2,4)，那么我们可能标记一下我们的图像，

37
00:01:34,306 --> 00:01:36,973
这里是2，1，2，3，4，

38
00:01:39,221 --> 00:01:43,261
那么你要在某个位置标记(2,4)，

39
00:01:43,261 --> 00:01:45,862
而它代表一对输入-输出。

40
00:01:45,862 --> 00:01:48,300
而如果你用-1，1做，

41
00:01:48,300 --> 00:01:50,383
-1，1。

42
00:01:51,586 --> 00:01:55,302
当你对每对输入-输出这样做的话，

43
00:01:55,302 --> 00:01:59,159
最后你得到的，我可能画的不是很好，

44
00:01:59,159 --> 00:02:01,491
是某种光滑的曲线。

45
00:02:01,491 --> 00:02:04,232
这样做的暗示是我们很典型地想象

46
00:02:04,232 --> 00:02:07,406
x轴上的东西是输入的位置，

47
00:02:07,406 --> 00:02:09,813
你知道的，它会是，我们想成输入1，

48
00:02:09,813 --> 00:02:13,018
这个是输入2，这样继续下去，

49
00:02:13,018 --> 00:02:17,185
然后你把输出想成

50
00:02:18,828 --> 00:02:21,554
这个图像在每个点上的高。

51
00:02:21,554 --> 00:02:23,272
但是这是某种我们

52
00:02:23,272 --> 00:02:26,078
在这里列出所有对的结果。

53
00:02:26,078 --> 00:02:29,149
现在如果我们走向多变量函数的世界，

54
00:02:29,149 --> 00:02:31,905
现在我不会给你们看图像，

55
00:02:31,905 --> 00:02:34,122
让我们就想一想我们有一个三维空间

56
00:02:34,122 --> 00:02:37,106
可以做我们想做的事。

57
00:02:37,106 --> 00:02:39,010
我们仍旧想理解

58
00:02:39,010 --> 00:02:42,653
输入和输出之间的关系，但是这个情况下，

59
00:02:42,653 --> 00:02:46,820
输入是某些我们认为是配对点的东西，

60
00:02:47,914 --> 00:02:51,391
我们可能有一对点像(1，2)，

61
00:02:51,391 --> 00:02:53,654
输出是

62
00:02:53,654 --> 00:02:57,821
1的平方加上2的平方，而它等于5。

63
00:03:02,573 --> 00:03:05,328
那么我们怎么视觉化？

64
00:03:05,328 --> 00:03:08,053
那么如果我们想要把这些配对在一起，

65
00:03:08,053 --> 00:03:10,813
一个自然的方法是想成三胞胎。

66
00:03:10,813 --> 00:03:14,980
那么在这个情况下，你要代入三胞胎(1,2,5)，

67
00:03:17,268 --> 00:03:19,932
而要在三维中做这个，

68
00:03:19,932 --> 00:03:23,157
我们要在这里看一看，我们想

69
00:03:23,157 --> 00:03:25,938
在x方向走1步，这个轴是x轴，

70
00:03:25,938 --> 00:03:28,276
那么我们想要移动一个距离，

71
00:03:28,276 --> 00:03:31,700
然后在y方向上走2步，

72
00:03:31,700 --> 00:03:34,610
所以我们想成在那里走两个距离，

73
00:03:34,610 --> 00:03:37,442
然后向上5步，然后

74
00:03:37,442 --> 00:03:40,120
它会给我们某个点，对吧？

75
00:03:40,120 --> 00:03:41,489
那么我们考虑空间上的点，

76
00:03:41,489 --> 00:03:44,043
然后那个是已知的输入-输出对。

77
00:03:44,043 --> 00:03:45,807
但是我们可以做很多，对吗？

78
00:03:45,807 --> 00:03:48,571
你可能得到一些不同的点，

79
00:03:48,571 --> 00:03:51,183
如果你开始画出不同的点，

80
00:03:51,183 --> 00:03:54,014
看上去像这样，而当然你可以做

81
00:03:54,014 --> 00:03:56,244
无限多而如果你试着

82
00:03:56,244 --> 00:03:58,926
在三维中画每一个点的话会需要花很久时间，

83
00:03:58,926 --> 00:04:02,042
但是这里很不错的是你知道

84
00:04:02,042 --> 00:04:04,567
抛弃那些线，如果想象一下

85
00:04:04,567 --> 00:04:07,289
用无限多对的输入做的话，

86
00:04:07,289 --> 00:04:11,892
你最后会画出一个表面。

87
00:04:11,892 --> 00:04:14,952
那么在这个情况下，这个表面看上去像

88
00:04:14,952 --> 00:04:17,215
一个三维抛物线，那不是巧合，

89
00:04:17,215 --> 00:04:19,038
它和我们用x平方和y平方

90
00:04:19,038 --> 00:04:21,331
这个事情有关。

91
00:04:21,331 --> 00:04:25,498
现在像(1,2)这样的输入，我们想象

92
00:04:27,177 --> 00:04:29,301
在xy平面，是吗？

93
00:04:29,301 --> 00:04:31,658
那么你想成输入在这里，

94
00:04:31,658 --> 00:04:33,818
然后相对应输出的是

95
00:04:33,818 --> 00:04:37,463
一个在图像上方的点的高度，是吧？

96
00:04:37,463 --> 00:04:39,564
那么它和二维很相似，

97
00:04:39,564 --> 00:04:42,084
你知道，我们想成输入在一个轴上，

98
00:04:42,084 --> 00:04:44,417
而在这里的高度给我们输出。

99
00:04:44,417 --> 00:04:45,936
那么给你一个例子，

100
00:04:45,936 --> 00:04:49,283
这个的结论是，我要你想一想

101
00:04:49,283 --> 00:04:52,522
如果我们稍微改变了多元函数

102
00:04:52,522 --> 00:04:56,690
会发生什么，而我们将所有东西都乘以1/2，对吗？

103
00:04:56,690 --> 00:05:00,857
那么我会用红色画出来，让我们看看我们有一个函数，

104
00:05:02,178 --> 00:05:06,452
但是我会改变一下它这样它会变成

105
00:05:06,452 --> 00:05:09,227
1/2x的平方加上y的平方。

106
00:05:09,227 --> 00:05:13,394
那个函数图像的形状是什么？

107
00:05:14,286 --> 00:05:15,919
它的意思是在这个xy平面

108
00:05:15,919 --> 00:05:19,645
上面的每一个点会减半。

109
00:05:19,645 --> 00:05:21,392
那么它其实是我们已经有的

110
00:05:21,392 --> 00:05:23,420
东西的修改，但是所有

111
00:05:23,420 --> 00:05:27,181
都比原来减去一半。

112
00:05:27,181 --> 00:05:29,386
那么在这个情况下高不是5，

113
00:05:29,386 --> 00:05:31,531
而是2.5。

114
00:05:31,531 --> 00:05:33,442
你可以想象，比如说，

115
00:05:33,442 --> 00:05:35,823
你知道，更极端的是，不是一半，

116
00:05:35,823 --> 00:05:38,725
你减去1/12，

117
00:05:38,725 --> 00:05:42,558
也许我会用一样的颜色，1/12，

118
00:05:43,440 --> 00:05:45,017
它的意思是所有东西

119
00:05:45,017 --> 00:05:49,259
会变得很平坦很平坦，接近xy平面。

120
00:05:49,259 --> 00:05:51,443
那么像这样接近xy平面的图像

121
00:05:51,443 --> 00:05:54,909
对应的是非常小的输出。

122
00:05:54,909 --> 00:05:57,287
我想让你小心一件事是，

123
00:05:57,287 --> 00:05:59,563
把每个多元函数

124
00:05:59,563 --> 00:06:01,520
想成图像是很诱人的事情

125
00:06:01,520 --> 00:06:03,687
因为我们已经很习惯了二维空间的图像了

126
00:06:03,687 --> 00:06:06,726
而我们也很习惯直接找出

127
00:06:06,726 --> 00:06:09,781
二维和三维的类比，

128
00:06:09,781 --> 00:06:12,734
但是它有效果的唯一原因是因为

129
00:06:12,734 --> 00:06:15,376
如果你在输入中取维度数，

130
00:06:15,376 --> 00:06:17,515
二维，然后在输出中

131
00:06:17,515 --> 00:06:19,926
取维度数，一维，是合理的。

132
00:06:19,926 --> 00:06:23,281


133
00:06:23,281 --> 00:06:25,104


134
00:06:25,104 --> 00:06:27,044


135
00:06:27,044 --> 00:06:29,156


136
00:06:29,156 --> 00:06:31,420


137
00:06:31,420 --> 00:06:33,899


138
00:06:33,899 --> 00:06:35,586


139
00:06:35,586 --> 00:06:37,883


140
00:06:37,883 --> 00:06:39,752


141
00:06:39,752 --> 00:06:42,940


142
00:06:42,940 --> 00:06:44,613


143
00:06:44,613 --> 00:06:46,709


144
00:06:46,709 --> 00:06:50,093


145
00:06:50,093 --> 00:06:52,194


146
00:06:52,194 --> 00:06:54,216


147
00:06:54,216 --> 00:06:55,616


148
00:06:55,616 --> 00:06:59,210


149
00:06:59,210 --> 00:07:00,770


150
00:07:00,770 --> 00:07:03,301


151
00:07:03,301 --> 00:07:05,409