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Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.53,0:00:01.57,Default,,0000,0000,0000,,大家好。
Dialogue: 0,0:00:01.57,0:00:03.68,Default,,0000,0000,0000,,我这里想做的是描述一下
Dialogue: 0,0:00:03.68,0:00:06.22,Default,,0000,0000,0000,,如何考虑三维图像。
Dialogue: 0,0:00:06.22,0:00:08.86,Default,,0000,0000,0000,,三维图像是我们表达
Dialogue: 0,0:00:08.86,0:00:10.26,Default,,0000,0000,0000,,某种多元函数的一种方式，
Dialogue: 0,0:00:10.26,0:00:12.16,Default,,0000,0000,0000,,那种函数有两个输入，
Dialogue: 0,0:00:12.16,0:00:14.54,Default,,0000,0000,0000,,或者一个二维输入，
Dialogue: 0,0:00:14.54,0:00:17.00,Default,,0000,0000,0000,,然后某种一维的输出。
Dialogue: 0,0:00:17.00,0:00:19.30,Default,,0000,0000,0000,,那么我这里画的是
Dialogue: 0,0:00:19.30,0:00:23.73,Default,,0000,0000,0000,,f(x,y)等于x的平方加上y平方。
Dialogue: 0,0:00:23.73,0:00:26.62,Default,,0000,0000,0000,,在我们讨论这个图像前，
Dialogue: 0,0:00:26.62,0:00:28.46,Default,,0000,0000,0000,,我认为用比喻会有用，
Dialogue: 0,0:00:28.46,0:00:30.38,Default,,0000,0000,0000,,我们看一看二维图像以及
Dialogue: 0,0:00:30.38,0:00:32.58,Default,,0000,0000,0000,,稍微提醒一下我们自己那些是怎么运作的，
Dialogue: 0,0:00:32.58,0:00:36.56,Default,,0000,0000,0000,,我们做的是什么，因为，它和
Dialogue: 0,0:00:36.56,0:00:38.88,Default,,0000,0000,0000,,三维的是一样的，
Dialogue: 0,0:00:38.88,0:00:41.15,Default,,0000,0000,0000,,但是它需要稍微多一点视觉化。
Dialogue: 0,0:00:41.15,0:00:43.36,Default,,0000,0000,0000,,那么二维图像，
Dialogue: 0,0:00:43.36,0:00:45.56,Default,,0000,0000,0000,,你知道它们有某种函数，
Dialogue: 0,0:00:45.56,0:00:49.73,Default,,0000,0000,0000,,让我们看一看你有f(x)等于x的平方，
Dialogue: 0,0:00:51.09,0:00:54.00,Default,,0000,0000,0000,,你视觉化一个函数的任何时候，你尝试
Dialogue: 0,0:00:54.00,0:00:55.55,Default,,0000,0000,0000,,理解输入和输出
Dialogue: 0,0:00:55.55,0:00:57.15,Default,,0000,0000,0000,,之间的关系。
Dialogue: 0,0:00:57.15,0:00:59.03,Default,,0000,0000,0000,,这里那两个都只是数字，
Dialogue: 0,0:00:59.03,0:01:00.87,Default,,0000,0000,0000,,那么你知道你输入一个数字，比如说2，
Dialogue: 0,0:01:00.87,0:01:03.65,Default,,0000,0000,0000,,而它会输出4，
Dialogue: 0,0:01:03.65,0:01:07.35,Default,,0000,0000,0000,,你知道你输入-1而它会输出1。
Dialogue: 0,0:01:07.35,0:01:09.64,Default,,0000,0000,0000,,你现在试着理解所有可能的
Dialogue: 0,0:01:09.64,0:01:11.51,Default,,0000,0000,0000,,输入-输入对。
Dialogue: 0,0:01:11.51,0:01:13.09,Default,,0000,0000,0000,,事实是我们可以做这个，
Dialogue: 0,0:01:13.09,0:01:17.57,Default,,0000,0000,0000,,我们可以对所有可能的
Dialogue: 0,0:01:17.57,0:01:21.38,Default,,0000,0000,0000,,输入输出对有很好的直观感受，
Dialogue: 0,0:01:21.38,0:01:24.48,Default,,0000,0000,0000,,我们用图像做到这一步的方法是
Dialogue: 0,0:01:24.48,0:01:26.49,Default,,0000,0000,0000,,你想成我们就画出这些实际的对，是吧？
Dialogue: 0,0:01:26.49,0:01:30.19,Default,,0000,0000,0000,,所以你要画这个点，比方说我们要
Dialogue: 0,0:01:30.19,0:01:34.31,Default,,0000,0000,0000,,画点(2,4)，那么我们可能标记一下我们的图像，
Dialogue: 0,0:01:34.31,0:01:36.97,Default,,0000,0000,0000,,这里是2，1，2，3，4，
Dialogue: 0,0:01:39.22,0:01:43.26,Default,,0000,0000,0000,,那么你要在某个位置标记(2,4)，
Dialogue: 0,0:01:43.26,0:01:45.86,Default,,0000,0000,0000,,而它代表一对输入-输出。
Dialogue: 0,0:01:45.86,0:01:48.30,Default,,0000,0000,0000,,而如果你用-1，1做，
Dialogue: 0,0:01:48.30,0:01:50.38,Default,,0000,0000,0000,,-1，1。
Dialogue: 0,0:01:51.59,0:01:55.30,Default,,0000,0000,0000,,当你对每对输入-输出这样做的话，
Dialogue: 0,0:01:55.30,0:01:59.16,Default,,0000,0000,0000,,最后你得到的，我可能画的不是很好，
Dialogue: 0,0:01:59.16,0:02:01.49,Default,,0000,0000,0000,,是某种光滑的曲线。
Dialogue: 0,0:02:01.49,0:02:04.23,Default,,0000,0000,0000,,这样做的暗示是我们很典型地想象
Dialogue: 0,0:02:04.23,0:02:07.41,Default,,0000,0000,0000,,x轴上的东西是输入的位置，
Dialogue: 0,0:02:07.41,0:02:09.81,Default,,0000,0000,0000,,你知道的，它会是，我们想成输入1，
Dialogue: 0,0:02:09.81,0:02:13.02,Default,,0000,0000,0000,,这个是输入2，这样继续下去，
Dialogue: 0,0:02:13.02,0:02:17.18,Default,,0000,0000,0000,,然后你把输出想成
Dialogue: 0,0:02:18.83,0:02:21.55,Default,,0000,0000,0000,,这个图像在每个点上的高。
Dialogue: 0,0:02:21.55,0:02:23.27,Default,,0000,0000,0000,,但是这是某种我们
Dialogue: 0,0:02:23.27,0:02:26.08,Default,,0000,0000,0000,,在这里列出所有对的结果。
Dialogue: 0,0:02:26.08,0:02:29.15,Default,,0000,0000,0000,,现在如果我们走向多变量函数的世界，
Dialogue: 0,0:02:29.15,0:02:31.90,Default,,0000,0000,0000,,现在我不会给你们看图像，
Dialogue: 0,0:02:31.90,0:02:34.12,Default,,0000,0000,0000,,让我们就想一想我们有一个三维空间
Dialogue: 0,0:02:34.12,0:02:37.11,Default,,0000,0000,0000,,可以做我们想做的事。
Dialogue: 0,0:02:37.11,0:02:39.01,Default,,0000,0000,0000,,我们仍旧想理解
Dialogue: 0,0:02:39.01,0:02:42.65,Default,,0000,0000,0000,,输入和输出之间的关系，但是这个情况下，
Dialogue: 0,0:02:42.65,0:02:46.82,Default,,0000,0000,0000,,输入是某些我们认为是配对点的东西，
Dialogue: 0,0:02:47.91,0:02:51.39,Default,,0000,0000,0000,,我们可能有一对点像(1，2)，
Dialogue: 0,0:02:51.39,0:02:53.65,Default,,0000,0000,0000,,输出是
Dialogue: 0,0:02:53.65,0:02:57.82,Default,,0000,0000,0000,,1的平方加上2的平方，而它等于5。
Dialogue: 0,0:03:02.57,0:03:05.33,Default,,0000,0000,0000,,那么我们怎么视觉化？
Dialogue: 0,0:03:05.33,0:03:08.05,Default,,0000,0000,0000,,那么如果我们想要把这些配对在一起，
Dialogue: 0,0:03:08.05,0:03:10.81,Default,,0000,0000,0000,,一个自然的方法是想成三胞胎。
Dialogue: 0,0:03:10.81,0:03:14.98,Default,,0000,0000,0000,,那么在这个情况下，你要代入三胞胎(1,2,5)，
Dialogue: 0,0:03:17.27,0:03:19.93,Default,,0000,0000,0000,,而要在三维中做这个，
Dialogue: 0,0:03:19.93,0:03:23.16,Default,,0000,0000,0000,,我们要在这里看一看，我们想
Dialogue: 0,0:03:23.16,0:03:25.94,Default,,0000,0000,0000,,在x方向走1步，这个轴是x轴，
Dialogue: 0,0:03:25.94,0:03:28.28,Default,,0000,0000,0000,,那么我们想要移动一个距离，
Dialogue: 0,0:03:28.28,0:03:31.70,Default,,0000,0000,0000,,然后在y方向上走2步，
Dialogue: 0,0:03:31.70,0:03:34.61,Default,,0000,0000,0000,,所以我们想成在那里走两个距离，
Dialogue: 0,0:03:34.61,0:03:37.44,Default,,0000,0000,0000,,然后向上5步，然后
Dialogue: 0,0:03:37.44,0:03:40.12,Default,,0000,0000,0000,,它会给我们某个点，对吧？
Dialogue: 0,0:03:40.12,0:03:41.49,Default,,0000,0000,0000,,那么我们考虑空间上的点，
Dialogue: 0,0:03:41.49,0:03:44.04,Default,,0000,0000,0000,,然后那个是已知的输入-输出对。
Dialogue: 0,0:03:44.04,0:03:45.81,Default,,0000,0000,0000,,但是我们可以做很多，对吗？
Dialogue: 0,0:03:45.81,0:03:48.57,Default,,0000,0000,0000,,你可能得到一些不同的点，
Dialogue: 0,0:03:48.57,0:03:51.18,Default,,0000,0000,0000,,如果你开始画出不同的点，
Dialogue: 0,0:03:51.18,0:03:54.01,Default,,0000,0000,0000,,看上去像这样，而当然你可以做
Dialogue: 0,0:03:54.01,0:03:56.24,Default,,0000,0000,0000,,无限多而如果你试着
Dialogue: 0,0:03:56.24,0:03:58.93,Default,,0000,0000,0000,,在三维中画每一个点的话会需要花很久时间，
Dialogue: 0,0:03:58.93,0:04:02.04,Default,,0000,0000,0000,,但是这里很不错的是你知道
Dialogue: 0,0:04:02.04,0:04:04.57,Default,,0000,0000,0000,,抛弃那些线，如果想象一下
Dialogue: 0,0:04:04.57,0:04:07.29,Default,,0000,0000,0000,,用无限多对的输入做的话，
Dialogue: 0,0:04:07.29,0:04:11.89,Default,,0000,0000,0000,,你最后会画出一个表面。
Dialogue: 0,0:04:11.89,0:04:14.95,Default,,0000,0000,0000,,那么在这个情况下，这个表面看上去像
Dialogue: 0,0:04:14.95,0:04:17.22,Default,,0000,0000,0000,,一个三维抛物线，那不是巧合，
Dialogue: 0,0:04:17.22,0:04:19.04,Default,,0000,0000,0000,,它和我们用x平方和y平方
Dialogue: 0,0:04:19.04,0:04:21.33,Default,,0000,0000,0000,,这个事情有关。
Dialogue: 0,0:04:21.33,0:04:25.50,Default,,0000,0000,0000,,现在像(1,2)这样的输入，我们想象
Dialogue: 0,0:04:27.18,0:04:29.30,Default,,0000,0000,0000,,在xy平面，是吗？
Dialogue: 0,0:04:29.30,0:04:31.66,Default,,0000,0000,0000,,那么你想成输入在这里，
Dialogue: 0,0:04:31.66,0:04:33.82,Default,,0000,0000,0000,,然后相对应输出的是
Dialogue: 0,0:04:33.82,0:04:37.46,Default,,0000,0000,0000,,一个在图像上方的点的高度，是吧？
Dialogue: 0,0:04:37.46,0:04:39.56,Default,,0000,0000,0000,,那么它和二维很相似，
Dialogue: 0,0:04:39.56,0:04:42.08,Default,,0000,0000,0000,,你知道，我们想成输入在一个轴上，
Dialogue: 0,0:04:42.08,0:04:44.42,Default,,0000,0000,0000,,而在这里的高度给我们输出。
Dialogue: 0,0:04:44.42,0:04:45.94,Default,,0000,0000,0000,,那么给你一个例子，
Dialogue: 0,0:04:45.94,0:04:49.28,Default,,0000,0000,0000,,这个的结论是，我要你想一想
Dialogue: 0,0:04:49.28,0:04:52.52,Default,,0000,0000,0000,,如果我们稍微改变了多元函数
Dialogue: 0,0:04:52.52,0:04:56.69,Default,,0000,0000,0000,,会发生什么，而我们将所有东西都乘以1/2，对吗？
Dialogue: 0,0:04:56.69,0:05:00.86,Default,,0000,0000,0000,,那么我会用红色画出来，让我们看看我们有一个函数，
Dialogue: 0,0:05:02.18,0:05:06.45,Default,,0000,0000,0000,,但是我会改变一下它这样它会变成
Dialogue: 0,0:05:06.45,0:05:09.23,Default,,0000,0000,0000,,1/2x的平方加上y的平方。
Dialogue: 0,0:05:09.23,0:05:13.39,Default,,0000,0000,0000,,那个函数图像的形状是什么？
Dialogue: 0,0:05:14.29,0:05:15.92,Default,,0000,0000,0000,,它的意思是在这个xy平面
Dialogue: 0,0:05:15.92,0:05:19.64,Default,,0000,0000,0000,,上面的每一个点会减半。
Dialogue: 0,0:05:19.64,0:05:21.39,Default,,0000,0000,0000,,那么它其实是我们已经有的
Dialogue: 0,0:05:21.39,0:05:23.42,Default,,0000,0000,0000,,东西的修改，但是所有
Dialogue: 0,0:05:23.42,0:05:27.18,Default,,0000,0000,0000,,都比原来减去一半。
Dialogue: 0,0:05:27.18,0:05:29.39,Default,,0000,0000,0000,,那么在这个情况下高不是5，
Dialogue: 0,0:05:29.39,0:05:31.53,Default,,0000,0000,0000,,而是2.5。
Dialogue: 0,0:05:31.53,0:05:33.44,Default,,0000,0000,0000,,你可以想象，比如说，
Dialogue: 0,0:05:33.44,0:05:35.82,Default,,0000,0000,0000,,你知道，更极端的是，不是一半，
Dialogue: 0,0:05:35.82,0:05:38.72,Default,,0000,0000,0000,,你减去1/12，
Dialogue: 0,0:05:38.72,0:05:42.56,Default,,0000,0000,0000,,也许我会用一样的颜色，1/12，
Dialogue: 0,0:05:43.44,0:05:45.02,Default,,0000,0000,0000,,它的意思是所有东西
Dialogue: 0,0:05:45.02,0:05:49.26,Default,,0000,0000,0000,,会变得很平坦很平坦，接近xy平面。
Dialogue: 0,0:05:49.26,0:05:51.44,Default,,0000,0000,0000,,那么像这样接近xy平面的图像
Dialogue: 0,0:05:51.44,0:05:54.91,Default,,0000,0000,0000,,对应的是非常小的输出。
Dialogue: 0,0:05:54.91,0:05:57.29,Default,,0000,0000,0000,,我想让你小心一件事是，
Dialogue: 0,0:05:57.29,0:05:59.56,Default,,0000,0000,0000,,把每个多元函数
Dialogue: 0,0:05:59.56,0:06:01.52,Default,,0000,0000,0000,,想成图像是很诱人的事情
Dialogue: 0,0:06:01.52,0:06:03.69,Default,,0000,0000,0000,,因为我们已经很习惯了二维空间的图像了
Dialogue: 0,0:06:03.69,0:06:06.73,Default,,0000,0000,0000,,而我们也很习惯直接找出
Dialogue: 0,0:06:06.73,0:06:09.78,Default,,0000,0000,0000,,二维和三维的类比，
Dialogue: 0,0:06:09.78,0:06:12.73,Default,,0000,0000,0000,,但是它有效果的唯一原因是因为
Dialogue: 0,0:06:12.73,0:06:15.38,Default,,0000,0000,0000,,如果你在输入中取维度数，
Dialogue: 0,0:06:15.38,0:06:17.52,Default,,0000,0000,0000,,二维，然后在输出中
Dialogue: 0,0:06:17.52,0:06:19.93,Default,,0000,0000,0000,,取维度数，一维，是合理的。
Dialogue: 0,0:06:19.93,0:06:23.28,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:06:23.28,0:06:25.10,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:06:25.10,0:06:27.04,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:06:27.04,0:06:29.16,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:06:29.16,0:06:31.42,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:06:31.42,0:06:33.90,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:06:33.90,0:06:35.59,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:06:35.59,0:06:37.88,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:06:37.88,0:06:39.75,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:06:39.75,0:06:42.94,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:06:42.94,0:06:44.61,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:06:44.61,0:06:46.71,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:06:46.71,0:06:50.09,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:06:50.09,0:06:52.19,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:06:52.19,0:06:54.22,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:06:54.22,0:06:55.62,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:06:55.62,0:06:59.21,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:06:59.21,0:07:00.77,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:07:00.77,0:07:03.30,Default,,0000,0000,0000,,
Dialogue: 0,0:07:03.30,0:07:05.41,Default,,0000,0000,0000,,