Introduction to 3d graphs | Multivariable calculus | Khan Academy

안녕하세요

이번에는 삼차원 그래프에 대해

설명하고자 합니다

삼차원 그래프는

두 개의 입력인

이차원적 입력이 있고

일차원적 출력이 있는

특정한 다변수 함수를
나타내는 데 사용합니다.

여기 이 그림은

f(x, y)=x^2+y^2 의 그래프입니다.

그리고 이 그래프에 대해
이야기하기 전에

유추하듯 생각을 하면
도움이 될 것 같습니다

우리들은 이차원 그래프를 보고

그것들이 어떻게 작용하는지 생각합니다

삼차원 그래프에 대해서도
그렇게 할 거예요

이차원이나 삼차원이나
별로 다르지 않거든요

단지 좀 더 생각하기
어려울 뿐이죠

아시다시피 이차원 그래프는

어떠한 함수죠

f(x)=x²이라는 함수가
있다고 합시다

그리고 여러분이 함수를
상상할때

여러분은 입력과 출력 사이의

관계를 이해하려 하죠

여기에 있는 건 숫자들일
뿐이에요

그러니 여러분은 2 같은
숫자를 입력하면

4가 출력된다는 것을 알죠

-1을 입력하면
1이 출력된다는 것도요

그러니 여러분은 모든

입출력 쌍을 이해하려 하죠.

이렇게 할 수 있기 때문에

우리는 모든 입출력 쌍들에 대해

꽤나 직감적인 느낌을 받을 수 있습니다

그래프에 대해 상상해봤으니

이 쌍들을 넣어 그려봅시다

이제 점을 찍을 겁니다
점 (2,4)를 찍는다 합시다

이런 식으로 그래프를
그릴 수 있습니다.

2는 여기, 1, 2, 3, 4,

여기쯤에 (2,4)를 찍으면 되겠군요

이것이 입출력 쌍을
나타냅니다

이번에는 (-1, 1)를 찍어보면

여기 -1, 1

모든 가능한 입출력 쌍에 대해
그려보면

잘 그리진 못했지만, 결국엔

이런 매끄러운 곡선이
만들어집니다

이러한 행동은 우리가 보통

x축에는 입력값이 있고

이건 입력값 1

이건 입력값 2, 이렇게

그리고 출력값은 각 점에서

그래프의 높이라 생각할 수 있죠

하지만 이것은 우리가 그저

여기에 숫자쌍들을 나열한 결과죠

이제 다변수 함수의 세계로 들어갑시다

지금 당장 그래프를 보여주지는 않을 거에요

그래프를 그리기 위해

삼차원 공간을 생각해 봅시다

우리는 이 녀석의 입력값과 출력값 사이의

관계를 이해하고자 하지만

이 경우에 입력값은 점들의 쌍으로
생각할 수 있습니다

(1, 2)와 같은 쌍이 있다 합시다

그러면 출력값은

1 제곱 더하기 2 제곱, 5 일 겁니다

그러면 어떻게 상상해야 할까요?

이것들을 한 쌍으로 묶고 싶다면 자연스러운 방법은

그냥 숫자 세 개의 쌍을 생각하는 것이겠죠

이 경우에는 숫자쌍 (1, 2, 5)를 넣는 것이죠.

삼차원에서 하려면

여기에서 1은

이 축이 x 축이니까 x 의 방향으로

여기로 1칸 움직이죠

그리고 y축에 2를

이렇게 2칸을 움직이고

이제 5칸 위로 움직이면

어떤 점이 생겨요

공간의 이 점에 대해 생각하길

이게 입출력 쌍이구나, 할 거예요

하지만 이걸 훨씬 더 많이 해야 합니다

두 개의 다른 점으로 시작해서

다른 점들을 찍으면

이런 모양이 될 것이고, 물론 점들은

무한히 많아서 삼차원에서 하나 하나 그리려면

평생이 걸려도 못할 겁니다

하지만 정말 멋진 것은

여러분은 무한히 많은 점을 입력하는 것을

상상할 수 있다는 겁니다

그러면 아마도 어떤 면을 그리게 될 겁니다

이런 곡면 말입니다

삼차원 포물선, 우연이 아닙니다

우리가 x²과 y²을 사용했다는 사실과

관련이 있습니다

(1, 2)와 같은 입력값은

xy 평면 위에 있다고 할 수 있죠

그러니까 여기에 있는 입력값이

주어진 점에서 그래프의 높이인

출력값에 대응됩니다

이차원과 매우 비슷해요

입력값이 한 축에 있고

높이는 출력값이죠

이런 것의 결과에 대한 예를 들기 위해

만약 다변수 함수를 바꾼다면 어떻게 될지

상상해 봤으면 해요

아주 조금만 바꿔볼게요. 함수를 2로 나눠봅시다

여기에 빨간색으로 그릴게요, 위의 함수와 비슷하지만

출력값이 x² 더하기 y²의 절반이 되도록

바꿔볼게요

이 함수의 그래프는 어떤 모양일까요?

이것은 xy평면 위의

모든 점에 대한 그래프의 높이가
절반이 된다는 의미입니다

그냥 위 함수를 조금 변형한 거죠

하지만 모든 것이

전에 비해 절반이 될 겁니다

이 경우에는 5였던 높이가

2.5가 될 겁니다

상상할 수 있죠?

이번엔 더 어려운 걸 해봅시다

1/2 대신 1/20로 해봅시다

그냥 같은 색으로 할게요

1/20로 하면 아시다시피

xy 평면에 가깝게 더 납작해질 겁니다

이렇게 xy 평면에 가까워지죠

굉장히 작은 출력값에 대응되는 겁니다

그리고 살짝 주의를 주자면

모든 다변수 함수를

그래프로 생각하는 것은 매력적입니다

우리가 이차원에서의 그래프에
익숙해져있기 때문이죠

그래서 우리는 이차원과 삼차원 사이의

관계를 직접 찾는 것에 익숙합니다

하지만 이러한 방식이 먹히는 이유는 단지

이차원에 있는 숫자인 입력값과

일차원에 있는 출력값의 숫자를 대입해서

세 개로 묶어버리는 것이 합리적이고

무엇보다 가능하기 때문입니다

하지만 삼차원적 입력값을 가지고

이차원적 출력값을 가지는

오차원 함수가 있다면

방금 했던 삼차원 그래프를 상상하는 것 만큼

만만한 일은 아닐 겁니다

다양한 다른 방법이 존재합니다

그리고 저는 그것이 어떤 형태가 될지

마음을 여는 것이 중요하다 생각합니다

특히, 제가 다음에 곧 할 것인데

등고선도라 불리는

3D그래프를 입력값만 표현하여

이차원에 표현하는 방법입니다

다른 방법도 있습니다

출력값만 보는 매개변수 함수나

입력값을 보지만 모든 출력값을 얻게 되는

벡터 공간 같은 것 말이에요

다른 방법들은 많아요

다음 비디오에서 다룰 겁니다

삼차원 그래프에 대한 내용이었습니다