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Quelle est la factorisation première de 75 ?
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Donnez votre réponse
sous la forme d'une notation exponentielle.
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Voilà des notions intéressantes.
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La factorisation première et la notation exponentielle.
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On verra la notation exponentielle plus tard.
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D'abord, on doit se demander :
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qu'est-ce qu'un nombre premier ?
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Pour rappel, un nombre premier,
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est uniquement divisible par 1 et par lui-même.
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Par exemple...
Je vais en écrire quelques uns.
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Deux colonnes : nombres premiers,
et les nombres pas premiers.
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2 est un nombre premier.
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Il n'est divisible que par 1 et 2.
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3 est aussi un nombre premier.
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4 n'est pas un nombre premier
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car il est divisible par 1 ; 2 et 4.
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Et ainsi de suite.
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5 est uniquement divisible par 1 et 5, il est donc premier.
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6 n'est pas premier car il est divisible par 2 et 3.
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Je pense que vous avez compris.
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On passe à 7.
7 est premier
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car il n'est divisible que par 1 et 7.
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8 n'est pas premier.
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On peut être tenté de croire que 9 est premier
mais, souvenez-vous,
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9 est divisible par 3, donc il n'est pas premier.
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Tous les nombres impairs ne sont pas premiers.
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On passe à 10. Il n'est pas premier non plus :
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il est divisible par 2 et 5.
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11 n'est divisible que par 1 et 11,
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donc 11 est un nombre premier.
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Et ainsi de suite.
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Certains programmes informatiques ont été conçus
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pour chercher le plus grand nombre premier.
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On sait maintenant ce qu'est un nombre premier.
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La factorisation première
consiste à décomposer un nombre, comme 75,
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en produit de nombres premiers.
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Allons-y.
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On prend donc 75,
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et on fait un "arbre à facteurs".
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On va chercher le plus petit nombre premier
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facteur de 75.
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Le plus petit des nombres premiers est 2.
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75 est-il divisible par 2 ?
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75 est un nombre impair,
son chiffre des unités, 5,
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est un nombre impair.
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5 n'est pas divisible par 2,
donc 2 n'est pas un facteur de 75.
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On passe au 3.
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75 est-il divisible par 3 ?
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7 + 5 = 12.
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12 est divisible par 3, donc 3 est un facteur.
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Donc, 75 = 3 x ?
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On peut prendre l'exemple de la monnaie :
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trois "quarters" (25 cts), font 75 cts.
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3 x 25 = 75.
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Donc, 3 x 25.
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Vous pouvez faire la multiplication pour vérifier.
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Faites 3 x 25.
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25 est-il divisible par...
On peut oublier le 2.
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Si 75 n'est pas divisible par 2,
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25 non plus.
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25 est-il aussi divisible par 3 ?
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Si on additionne les chiffres : 2 + 5 = 7.
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7 n'est pas divisible par 3, donc 25 non plus.
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On avance : 5.
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25 est-il divisible par 5 ?
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Bien sûr.
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25 = 5 x 5.
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25 = 5 x 5.
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La factorisation première est faite :
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nous n'avons que des nombres premiers.
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Autrement dit, 75 = 3 x 5 x 5.
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75 = 3 x 5 x 5.
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Ou encore, 75 = 3 x 25.
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25 = 5 x 5.
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3 x 25 = 3 x 5 x 5.
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Voici une factorisation première.
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Il faut l'écrire sous la forme d'une notation exponentielle.
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Ce qui veut dire que
les nombres premiers présents plusieurs fois
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doivent devenir des puissances.
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À quoi correspond 5 x 5 ?
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5 x 5 équivaut à 5 multiplié deux fois par lui-même.
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Donc, 5^2 (5 puissance 2).
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Donc, pour donner notre réponse
sous la forme d'une notation exponentielle,
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on doit écrire : 3 x 5^2.
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Puisque 5^2 = 5 x 5.
