Quelle est la factorisation première de 75 ?
Donnez votre réponse sous la forme d'une notation exponentielle.
Voilà des notions intéressantes.
La factorisation première et la notation exponentielle.
On verra la notation exponentielle plus tard.
D'abord, on doit se demander :
qu'est-ce qu'un nombre premier ?
Pour rappel, un nombre premier,
est uniquement divisible par 1 et par lui-même.
Par exemple... Je vais en écrire quelques uns.
Deux colonnes : nombres premiers, et les nombres pas premiers.
2 est un nombre premier.
Il n'est divisible que par 1 et 2.
3 est aussi un nombre premier.
4 n'est pas un nombre premier
car il est divisible par 1 ; 2 et 4.
Et ainsi de suite.
5 est uniquement divisible par 1 et 5, il est donc premier.
6 n'est pas premier car il est divisible par 2 et 3.
Je pense que vous avez compris.
On passe à 7. 7 est premier
car il n'est divisible que par 1 et 7.
8 n'est pas premier.
On peut être tenté de croire que 9 est premier mais, souvenez-vous,
9 est divisible par 3, donc il n'est pas premier.
Tous les nombres impairs ne sont pas premiers.
On passe à 10. Il n'est pas premier non plus :
il est divisible par 2 et 5.
11 n'est divisible que par 1 et 11,
donc 11 est un nombre premier.
Et ainsi de suite.
Certains programmes informatiques ont été conçus
pour chercher le plus grand nombre premier.
On sait maintenant ce qu'est un nombre premier.
La factorisation première consiste à décomposer un nombre, comme 75,
en produit de nombres premiers.
Allons-y.
On prend donc 75,
et on fait un "arbre à facteurs".
On va chercher le plus petit nombre premier
facteur de 75.
Le plus petit des nombres premiers est 2.
75 est-il divisible par 2 ?
75 est un nombre impair, son chiffre des unités, 5,
est un nombre impair.
5 n'est pas divisible par 2, donc 2 n'est pas un facteur de 75.
On passe au 3.
75 est-il divisible par 3 ?
7 + 5 = 12.
12 est divisible par 3, donc 3 est un facteur.
Donc, 75 = 3 x ?
On peut prendre l'exemple de la monnaie :
trois "quarters" (25 cts), font 75 cts.
3 x 25 = 75.
Donc, 3 x 25.
Vous pouvez faire la multiplication pour vérifier.
Faites 3 x 25.
25 est-il divisible par... On peut oublier le 2.
Si 75 n'est pas divisible par 2,
25 non plus.
25 est-il aussi divisible par 3 ?
Si on additionne les chiffres : 2 + 5 = 7.
7 n'est pas divisible par 3, donc 25 non plus.
On avance : 5.
25 est-il divisible par 5 ?
Bien sûr.
25 = 5 x 5.
La factorisation première est faite :
nous n'avons que des nombres premiers.
Autrement dit, 75 = 3 x 5 x 5.
75 = 3 x 5 x 5.
Ou encore, 75 = 3 x 25.
25 = 5 x 5.
3 x 25 = 3 x 5 x 5.
Voici une factorisation première.
Il faut l'écrire sous la forme d'une notation exponentielle.
Ce qui veut dire que les nombres premiers présents plusieurs fois
doivent devenir des puissances.
À quoi correspond 5 x 5 ?
5 x 5 équivaut à 5 multiplié deux fois par lui-même.
Donc, 5^2 (5 puissance 2).
Donc, pour donner notre réponse sous la forme d'une notation exponentielle,
on doit écrire : 3 x 5^2.
Puisque 5^2 = 5 x 5.