Maatriksite pööramine (3. osa)

Using Gauss-Jordan elimination to invert a 3x3 matrix.

Näitan nüüd oma lemmikmeetodit, kuidas leida

3 korda 3 maatriksi pöördmaatriksit.

Ning ma arvan, et see viis on tegelikult palju lõbusam.

Ja teil on väikesem tõenäosus teha hooletusvigu.

Kuid kui ma mäletan oma Algebra 2 kursuselt õigesti, siis seal seda

sellisel kujul ei õpetatud.

See on ka põhjus, miks ma algselt teistmoodi seda õpetasin.

Kuid liigume nüüd edasi.

Mõnes tulevases videos õpetan ma teile, miks see töötab.

Kuna see on alati tähtis.

Ent lineaaralgebras on see üks väheseid teemasid, kus

ma arvan, et väga tähtis on õppida esimesena

selgeks tehted ehk "kuidas" ning hiljem õppida, "miks".

Kuna tehted on väga mehhaanilised.

Ning peamiselt hõlmavad need väga elementaarset

aritmeetikat.

Kuid vastus küsimusele "miks" võib olla väga sügav.

Seega jätan ma selle teema hilisematesse videotesse.

Ning asjade tähenduste sügavusest võite alati mõelda kui teil on olemas

enesekindlus et vähemalt saate aru, kuidas asju tehakse.

Igatahes, liigume tagasi meie algupärase maatriksi juurde.

Mis oli algupärane maatriks, mida ma kasutasin

eelmises videos?

See oli 1, 0, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 1.

Tahtsime leida selle maatriksi pöördmaatriksit.

Seega teeme järgmist.

Järgmist meetodit pöördmaatriksi leidmiseks nimetatakse

Gaussi-Jordani eliminatsiooniks.

Viis kuidas seda tehakse-- ja see võib tunduda natuke

maagilisena, see võib tunduda lausa voodoona, kuid ma usun

et tulevastes videotes mõistate, et see on tegelikult väga arusaadav.

Mida me teeme, on augmenteerime (kasvatame) seda maatriksit.

Mida tähendab "augmenteerima"?

See tähendab vaid, et me lisame sellele midagi.

Joonistan jagatise joone.

Mõned inimesed seda ei tee.

Asetan jagatise joone siia.

Mis läheb teisele poole jagatise joont?

Siia tuleb samade mõõtmetega ühikmaatriks.

See on 3 korda 3, seega teen ma 3x3 ühikmaatriksi.

See teeb 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1.

Mis järgmiseks?

Järgmiseks viime läbi rodu elementaarseid

reatehteid.

Kohe räägin teile, millised on selle maatriksi lubatud ridade

elementaartehted.

Kuid mida iganes ma ka ei teeks nende ridadega siin, pean ma

tegema ka vastavate ridadega siin.

Põhiolemuselt on meie sihiks viia läbi teatud kogus tehteid

vasakul pool.

Loomulikult tuleb samu tehteid rakendada ka

paremal pool nii et lõpuks jääb meil alles

ühikmaatriks vasakul poolel.

Ja kui meil on ühikmaatriks vasakul poolel

siis paremale poole jääb originaalse maatriksi

pöördmaatriks.

Ning kui sellest saab ühikmaatriks, siis seda nimetatakse

vähendatud rea ešelonvormiks.

Sellest räägin ma pikemalt.

Lineaaralgebras on palju nimetusi ja märgistusi.

Mis on kontseptsioonilt üsna lihtsad.

Hakkame pihta et see saaks

natuke selgemaks.

Vähemalt saab selgemaks protsess

kui mitte selle toimimise põhjused.

Esiteks ütlesin ma, et siin viime läbi terve rea

tehteid.

Millised on lubatud tehted?

Neid nimetatakse elementaarseteks reateheteks.

On mõned asjad, mida saame teha.

Ma võin korrutada läbi iga rea

mingi numbriga ja asendada tulemusega selle rea.

Nii et seda võiksime teha.

Ma võin vahetada omavahel suvalised kaks rida.

Loomulikult, kui ma vahetan ütleme esimese ja teise rea siin,

peaksin sama ka siin tegema.

Ma võin ka ühe rea liita või lahutada teisega.

Kui ma seda teen-- näiteks võiksin võtta selle rea

ja asendada selle liidetuna tolle reaga.

Hetke pärast näete, mida ma selle all mõtlen.

Kui neid kombineerida, võiksime me öelda, et

ma korrutan selle rea miinus ühega ning

lisan sellele reale ja asendan selle rea tollega.

Ei ole juhuslik kui teile hakkab tunduma

et see on miski mida te õppisite lineaarvõrrandi-

süsteemide lahendamisel.

Kuna nende tähistamiseks on maatriksid väga hea viis

ning ma näitan seda teile peagi.

Igatahes viime läbi mõned elementaarsed reatehted

et saada vasakule poole vähendatud rea ešelonvormi.

Mis on lihtsalt üks ilustatud viis öelda, et viime selle

ühikmaatriksi kujule.

Vaatame, mida meil teha tuleb.

Meil on vaja ühtesid siia risti.

Need peavad olema nullid.

Vaatame, kuidas seda efektiivselt saavutada.

Joonistame maatriksi uuesti.

Kirjutame siia nulli.

See oleks väga mugav.

Ma jätan kaksk ülemist rida samaks.

1, 0, 1.

Mul on jagatise joon.

1, 0, 0.

Siin ei teinud ma midagi.

Teise reaga ei tee ma ka midagi.

0, 2, 1.

0, 1, 0.

Mida ma siin kavatsen teha, selle rea asendada--

Mu motivatsiooniks, et te teaksite, mu sihiks

on saada siia null.

Olen natuke lähemal siia

ühikmaatriksi saavutamisel.

Kuidas saan ma siia nulli?

Mida ma saaksin teha, on asendada selle rea tolle reaga

millest on lahutatud see rida.

Ehk siis kolmandast reast võime lahutada

esimese rea.

Mis me saame tulemuseks kui lahutame kolmandast reast esimese?

1 miinus 1 on 0.

1 miinus 0 on 1.

1 miinus 1 on 0.

Seda me tegine vasakul poolel, seega pean sama

tegema ka paremal poolel.

Ma pean asendama selle miinus sellega.

Seega, 0 miinus 1 on miinus 1.

0 miinus 0 on 0.

Ning 1 miinus 0 on 1.

Kõlab hästi.

Mida ma nüüd teha saan?

See rida siinsamas, kolmas rida, sel on 0 ja 0-- see

näeb välja kui rida mida mul on vaja teiseks reaks

ühikmaatriksis.

Mis oleks kui me lihtsalt vahetaksime need kaks rida?

Miks mitte vahetada esimene ja teine rida omavahel?

Teeme nii.

Ma vahetan esimese ja teise rea omavahel.

Esimene rida jääb samaks.

1, 0, 1.

Teine pool jääb samuti samaks.

Nüüd vahetan teise ja kolmanda rea.

Teine rida on nüüd 0, 1, 0.

Ja ma pean vahetama nad ka paremal pool.

See teeb 1, 0, 1.

Need kaks vahetan omavahel.

Nii et kolmas rida saab olema nüüd sama nagu

teine rida oli siin.

0, 2, 1.

Ja 0, 1, 0.

Käib küll.

Mida me nüüd tegema peame?

Oleks tore, kui mul oleks siin null.

See aitaks jõuda ühikmaatriksini.

Kuidas ma saaksin siia nulli?

Mis oleks kui ma lahutaksin kahekordse teise rea esimesest reast?

Kuna see teeks, 1 korda 2 on 2.

Ja kui ma lahutaksin selle tollest, saaksingi ma siia nulli.

Nii et laseme käia.

Esimese reaga läks väga õnnelikult.

See ei pidanud midagi tegema.

See lihtsalt istub seal.

1, 0, 1, 1, 0, 0.

Ka teine rida praegu ei muutu.

Miinus 1, 0, 1.

Mida ma pidingi tegema hakkama?

Ma lahutan kahekordse teise rea kolmandast reast.

See on 0 miinus 2 korda 0, mis teeb kokku 0.

2 miinus 2 korda 1, see on 0.

1 miinus 2 korda 0 on 1.

0 miinus 2 korda miinus 1 on-- jätame meelde 0 miinus

2 korda miinus 1.

See on 0 lahutada miinus 2, see teeb kokku pluss 2.

1 miinus 2 korda 0.

See on ikka 1.

0 miinus 2 korda 1.

See teeb miinus 2.

Kas ma olen selle õigesti teinud?

Ma tahan olla kindel.

0 miinus 2 korda-- õige, 2 korda miinus 1 on miinus 2.

Ja ma lahutan selle, seega tuleb pluss.

OK, oleme lähedal.

See näeb välja peaaegu nagu ühikmaatriks või vähendatud rea

ešelonvorm.

Kui välja arvata see 1 siinsamas.

Seega pean ma lõpuks minema ülemise rea kallale.

Ja mida ma saan peale hakata?

Mis oleks kui ma võtaksin ülemise rea ja lahutaksin

sellest alumise rea?

Kuna kui ma lahutaksin selle,

tekiks siia null.

Teeme nii.

Lahutame ülemisest reast kolmanda rea ja asendame saadud rea

ülemise reaga.

1 miinus 0 on 1.

0 miinus 0 on 0.

1 miinus 1 on 0.

See oligi terve meie eesmärk.

Ja see 1 miinus 2 teeb kokku miinus 1.

0 miinus 1 on miinus 1.

0 miinus miinus 2, see on pluss 2.

Ülejäänud read ei muutu.

0, 1, 0, miinus 1, 0, 1.

Ning 0, 0, 1, 2, 1, miinus 2.

Siin see ongi.

Me oleme vasakul poolel läbi viinud

terve rea tehteid.

Ning me oleme ka paremal poolel teostanud

samad tehted.

See muutus ühikmaatriksiks ehk

vähendatud rea ešelonvormiks.

Ja me tegime seda kasutades Gaussi-Jordani elimineerimist.

Ja mis see siis on?

See on originaalmaatriksi pöördmaatriks.

See korda see võrdub ühikmaatriksiga.

Kui see on a, siis see on a pöördmaatriks.

Ning see ongi kõik mida tuleb teha.

Nagu nägite, võttis see poole ajast

ning sisaldas kõvasti vähem karvast matemaatikat kui

siis kui ma tegin seda abimaatriksite ja kofaktorite ja

determinantide abil.

Ma annan väikese vihje, miks

see töötas.

Kõik tehted, mis ma viisin läbi vasakul poolel,

neid võib omamoodi vaadelda kui korrutamist-- et jõuda

siit siia, ma korrutasin.

Osaliselt võime öelda, et siin on maatriks.

Ning kui ma korrutaksin selle maatriksiga, oleks see

teostanud selle tehte.

Ning siis oleksin pidanud korrutama mõne teise maatriksiga

et teostada seda tehet.

Mida me põhimõtteliselt tegime, me korrutasime portsu

maatriksitega, et jõuda siia.

Ning kui te korrutaksite koos kõigi nendega, mida me kutsume

eliminatsioonimaatriksiteks, siis te

korrutaksite selle pöördmaatriksiga.

Ehk mida ma üritan öelda?

Kui meil on a, et jõuda siit siia, on meil vaja

korrutada a eliminatsioonimaatriksiga.

Ignoreerige seda praegu kui see täiesti segadusseajav on

kuid see võib olla läbinägelik.

Mida me siin elimineerisime?

Siin elimineerisime me 3 ja 1.

Me korrutasime eliminatsioonimaatriksiga

3, 1, et siia jõuda.

Järgmiseks, et jõuda siit siia, me

korrutasime mingi maatriksiga.

Ja ma räägin teile veel rohkem.

Ma näitan teile, kuidas neid eliminatsioonimaatrikseid

konstrueerida.

Me korrutame eliminatsioonimaatriksiga.

Tegelikult, siin teostasime me reavahetuse.

Ma ei tea, kuidas te seda tahate nimetada.

Te võite seda nimetada vahetusmaatriksiks.

Me vahetasime teise rea kolmanda vastu.

Siin aga korrutasime me eliminatsiooni-

maatriksiga-- mida me tegime?

Me elimineerisime selle, see oli kolmas rida,

teine veerg, 3, 2.

Lõpuks, et jõuda siia, me pidime korrutama

eliminatsioonimaatriksiga.

Me pidime selle siin elimineerima.

Me elimineerisime seega esimese rea, kolmanda veeru.

Ma tahan teile näitada kohe, et ei ole tähtis

mida need maatriksid kujutavad.

Ma näitan, kuidas neid maatrikseid konstrueerida.

Aga ma tahaksin lihtsalt et te usuksite et

kõiki neid tehteid oleks saanud teha läbi korrutamise

mingi maatriksiga.

Mida me aga teame, et kui korrutada läbi kõigi nende

maatriksitega, saame lõpuks ühikmaatriksi.

Siia tagasi.

Seega, nende maatriksite kombinatsioon, kui me

korrutame nad kõik üksteisega, see peab

olema ühikmaatriks.

Kui ma korrutaksin need kõik eliminatsiooni ja reavahetuse

maatriksitega, see peab olema a pöörmaatriks.

Kuna kui te korrutate need kõik maatriksiga

a, saate pöördmaatriksi.

Ehk mis juhtus?

Kui need maatriksid on kollektiivselt pöörd-

maatriks, kui ma teen need, kui ma korrutan ühikmaatriksi

nendega-- eliminatsioonimaatriksi, see korrutada sellega

teeb kokku tolle.

See korda see teeb kokku too.

See korda see on kokku see.

Ja nii edasi.

Põhiliselt tegelen ma korrutamisega-- kui me kombineerime kõik

need-- a pöördmaatriksi korrutame ühikmaatriksiga.

Kui te mõtlete sellele väga suures plaanis-- ja ma ei taha

teid segadusse ajada.

Selles punktis on piisav kui te lihtsalt

saate aru, mida ma tegin.

Mida ma teen kõikidest nendest sammudest, ma lihtsalt

korrutan selle suurendatud maatriksi mõlemad pooled läbi

a pöördmaatriksiga.

Ma korrutasin selle a pöördmaatriksiga, et saada

ühikmaatriks.

Samuti, kui ma korrutan pöördmaatriksi läbi

ühikmaatriksiga, saan pöördmaatriksi.

Igatahes, ma ei taha teid segadusse ajada.

Loodetavasti andis see teile natuke intuitsiooni.

Ma toon hiljem mõned konkreetsemad näited.

Kuid loodetavasti nägite te et see ei ole üldse nii karvane

nagu siis kui me tegime sama abimaatriksite ja kofaktorite ja

miinormaatriksite ja determinantidega, et cetera.

Igatahes, kohtume järgmises videos.