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Ahora demostraré mi manera preferida de encontrar la
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inversa de una matriz de 3 por 3.
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Y realmente creo que es mucho más divertido.
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Y es menos probable cometer errores por descuido.
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Pero si recuerdo correctamente de álgebra 2, no lo hicieron
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de este modo en Algebra 2.
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Y por eso enseño la otra forma principalmente.
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Pero repasemos esto.
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Y en un futuro vídeo, les enseñaré por qué funciona.
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Ya que siempre es importante.
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Pero en álgebra lineal, este es uno de los pocos temas donde
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Creo que es muy importante aprender a hacer las operaciones
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primero. Y, luego, más tarde, aprenderemos el por qué.
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Porque el cómo es muy mecánico.
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Y realmente sólo implica cierta aritmética básica
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en su mayor parte...
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Pero el por qué tiende a ser bastante profundo.
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Así lo dejaré a videos posteriores.
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A menudo podemos pensar en la profundidad de las cosas cuando uno
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tiene la confianza de que se comprendieron por lo menos los cómo.
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Pero en fin, volvamos a nuestra matriz original.
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¿Cúal era la matriz original que
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hice en el último video?
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Era 1, 0, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 1.
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Y queríamos encontrar la inversa de esta matriz.
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Así que esto es lo que vamos a hacer.
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Se llama eliminación de Gauss-Jordan, para encontrar la
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inversa de la matriz.
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Y la manera de hacerlo--y puede parecer un poco como
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magia, puede parecer un poco como vudú, pero creo
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que verá en videos futuros que le dan mucho sentido.
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Lo que hacemos es aumentar esta matriz.
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¿Que significa eso?
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Esto significa que sólo agregamos algo a ella.
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Por lo que escribo una línea divisoria.
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Algunas personas no lo hacen.
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Así que pongo aquí una línea divisoria aquí.
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¿Y que pongo en el otro lado de la línea divisoria?
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Pongo la matriz identidad del mismo tamaño.
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Esta es de 3 por 3, así que puse una matriz de identidad de 3 por 3.
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Eso es 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1.
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¿Entonces que vamos a hacer?
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Lo que voy a hacer es realizar una serie de
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operaciones elementales por fila.
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Y estoy a punto de decir que es una operación elemental
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válida para esta matriz.
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Pero lo que sea que haga, a cualquiera de estas
filas aquí, tengo que hacerlo
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a las filas correspondientes de acá.
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Y mi meta es esencialmente realizar un montón de operaciones
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en el lado izquierdo.
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Y por supuesto, las mismas operaciones se aplicarán a
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el lado derecho , para que finalmente termine con la
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matriz identidad en el lado izquierdo.
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Y luego, cuando tenga la matriz identidad de la izquierda
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lo que me queda en el lado derecho será
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la inversa de la matriz original.
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Y cuando esto se convierte en una matriz de identidad, que
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en realidad se llama forma reducida de escalón o escalonada.
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Ya hablaré más sobre eso.
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Hay un montón de nombres y etiquetas en álgebra lineal.
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Pero son conceptos realmente bastante simples.
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Pero de todos modos, vamos a empezar y esto debe convertirse en algo
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un pocomás claro.
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Al menos el proceso quedará claro.
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Tal vez no porqué funciona...
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Así que, en primer lugar, dije que voy a realizar un montón de
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operaciones aquí.
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¿Qué operaciones son válidas?
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Se llaman operaciones elementales de fila.
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Así que hay un par de cosas que puedo hacer.
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Puedo reemplazar cualquier fila con esa fila
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multiplicada por un número.
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Podría hacer eso...
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Puedo intercambiar dos filas.
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Y por supuesto si intercambio por decir la primera y segunda fila
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tendríamos que hacerlo aquí también.
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Y puedo añadir o restar una fila de otra fila.
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Así que cuando hacemos eso --por ejemplo, puedo tomar esta fila
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y sustituirla con esta fila agregada a esta fila.
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Verán lo que quiero decir en un momento.
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Y si las combinamos, podríamos decir
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multiplicaré esta fila por -1, y
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La añadiré a esta fila y entonces reemplazaré la fila.
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Si se empieza a sentir como que esto es algo parecido a lo que
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que se aprendióal resolver sistemas
de ecuaciones lineales
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no es casualidad.
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Porque las matrices son realmente una muy buena forma de representarlas.
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Eso se demostrará pronto.
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En fin, vamos a hacer algunas operaciones elementales de fila para
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tener este lado izquierdo en forma escalonada reducida.
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Lo cuál es realmente sólo una forma elegante de decir, vamos a convertirla
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en la matriz identidad.
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Veamos lo que queremos hacer.
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Queremos tener sólo unos a través de aquí.
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Queremos que estos sean ceros.
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Veamos cómo podemos hacerlo eficientemente.
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Permítanme escribir de nuevo la matriz.
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Así que vamos a conseguir un 0 aquí.
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Sería conveniente.
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Pero voy a mantener las dos filas superiores iguales.
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1, 0, 1.
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Tengo mi línea divisoria.
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1, 0, 0.
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No hice nada ahí.
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No estoy haciendo nada a la segunda fila.
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0, 2, 1.
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.
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0, 1, 0.
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Lo que haré, es reemplazar esta fila
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Y para que sepan mi motivación, mi objetivo
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es conseguir un 0 aquí.
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Así que estoy un poco más cerca de tener la
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aquí la matriz identidad.
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¿Cómo obtengo un 0 aquí?
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Lo que puedo hacer es reemplazar esta fila con esta fila
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menos esta fila.
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Para reemplazar la tercera fila con la tercera fila
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menos la primera fila.
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¿Qué es la tercera fila menos la primera fila?
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1 menos 1 es 0.
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1 menos 0 es 1.
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1 menos 1 es 0.
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Lo hice en el lado izquierdo, así que tengo que hacerlo en
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el lado derecho.
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Tengo que reemplazar esto con esto menos esto.
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0 menos 1 es -1.
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0 menos 0 es 0.
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Y 1 menos 0 es 1.
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Muy bien.
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Ahora ¿qué puedo hacer?
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Bien esta fila derecha aquí, esta tercera fila, tiene 0 y 0
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parece ser mucho a lo que quiero para mi segunda fila en la
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matriz identidad.
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Así que ¿por qué no sólo intercambiar estas dos filas?
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¿Por qué no cambiar sólo la primera y segunda fila?
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Hagamos eso.
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Voy a cambiar la primera y segunda fila.
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Así que la primera fila se mantiene igual.
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1, 0, 1.
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Y luego el otro lado se mantiene igual.
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e intercambio la segunda y tercera fila.
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Así que ahora mi segunda fila ahora es 0, 1, 0.
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Y tengo que cambiarla al lado derecho.
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Es -1, 0, 1.
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Sólo estoy intercambiando estos dos.
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Así entonces mi tercera fila ahora se convierte en lo que
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la segunda fila tenía.
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0, 2, 1.
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y 0, 1, 0.
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Muy bien.
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¿Ahora qué quiero hacer?
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Sería bueno si yo tuviera aquí un 0.
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Me llevaría mucho más cerca de la matriz identidad.
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Entonces, ¿cómo podría yo llegar a un 0 aquí?
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¿Qué pasa si resto 2 por la fila dos desde la fila uno?
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Porque esto sería 2 por 1 es 2.
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Y si resto esto de esto, tendré un 0 aquí.
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Así que vamos a hacer eso.
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La primera fila ha sido muy afortunada.
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No ha tenido que hacer nada.
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Simplemente está sentada allí.
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1, 0, 1, 1, 0, 0.
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La segunda fila por ahora no cambia.
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-1, 0, 1.
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¿Ahora qué dije que iba a hacer?
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Voy a restar 2 por la fila dos desde la fila tres.
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Esto es 0 menos 2 por 0 es 0.
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2 menos 2 por 1, bueno eso es 0.
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1 menos 2 por 0 es 1.
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0 menos 2 por -1 es --recordemos 0 menos
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2 por -1.
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Eso es 0 menos -2, por lo es positivo 2.
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1 menos 2 por 0.
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Aún queda en 1.
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0 menos 2 por 1.
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Es menos 2.
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.
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¿Es correcto?
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Sólo quiero asegurarme.
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2 menos 2 por --derecha, 2 por -1 es -2.
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Estoy restando, así que es positivo.
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OK, estoy cerca.
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Esto casi parece la matriz identidad o fila en
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forma escalonada reducida.
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Salvo este 1 de aquí.
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Así que finalmente voy a tener que tocar la fila superior.
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¿Y qué puedo hacer?
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Que tal si reemplazo la fila superior con la fila superior menos
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la fila inferior.
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Porque si resto esto de eso,
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Esto me conseguirá un 0 ahí.
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Hagamos eso.
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Así que sustituyo la fila superior con la fila superior
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menos la tercera fila.
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1 Menos 0 es 1.
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0 menos 0 es 0.
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1 menos 1 es 0.
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Ese fue nuestro objetivo.
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Y, a continuación, 1 menos 2 es -1.
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0 menos 1 es -1.
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0 menos -2., bueno, eso es +2.
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Y luego las otras filas permanecen igual.
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0, 1, 0, -1, 0, 1.
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Y, después, 0, 0, 1, 2, 1, -2.
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Y ahí lo tienen.
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Hemos realizado una serie de operaciones en
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el lado izquierdo.
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Y hemos realizado las mismas operaciones en
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el lado derecho.
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Esto se convirtió en la matriz identidad, o
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en forma escalonada reducida.
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Y lo hicimos con la eliminación de Gauss-Jordan.
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¿Y qué es esto?
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Bueno esto es la inversa de esta matriz original.
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Esto por esto será igual a la matriz identidad.
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Por lo tanto si esto es a, entonces esto es a inversa.
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Y eso es todo lo que tienes que hacer.
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Como pueden ver, esto me llevó la mitad del
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tiempo y requiere muchas menos matemáticas que cuando lo
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hice utilizando el adjunto y los cofactores y el
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determinante.
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Y si lo piensas, te voy a dar una pequeña pista de
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por qué esto funcionó.
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Cada una de estas operaciones que hice en el lado izquierdo,
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se podría verlos como multiplicar --obtener
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de aquí a aquí, multiplicado.
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Se puede decir que existe una matriz.
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Que si yo multiplico por la matriz, estonces habría
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realizado esta operación.
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Y entonces habría tenido que multiplicar por otra matriz para
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realizar esta operación.
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Esencialmente lo que hicimos es que multiplicar por una serie de
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matrices para llegar hasta aquí.
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Y si multiplicamos todos esos, lo que les llamamos
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matrices de eliminación, juntas, esencialmente
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se multiplica este por el inverso.
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¿Así que lo que estoy diciendo?
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Si tenemos a, para ir de aquí a aquí, tenemos que
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multiplicar a por la matriz de eliminación.
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Y esto podría ser completamente confuso para ustedes, así que ignórenlo
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si lo es, pero podría ser útil.
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¿Qué eliminamos en esto?
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Eliminamos 3, 1.
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Hemos multiplicado por la matriz de eliminación
-
3, 1, para llegar hasta aquí.
-
Y luego, para ir de aquí a aquí
-
multiplicamos por alguna matriz.
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Y les contaré más.
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Mostraré cómo podemos construir
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estas matrices de eliminación.
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Multiplicamos por una matriz de eliminación.
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De hecho, tuvimos un intercambio de fila aquí.
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No sé como lo quieran llamar.
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Le podríamos llamar matriz de intercambio.
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Hemos intercambiado la fila dos por la tres.
-
Y luego aquí, hemos multiplicado por la matriz
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de eliminación --¿Qué hicimos?
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Eliminamos esto, así que esto era la fila tres,
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columna dos, 3, 2.
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Y, finalmente, para llegar hasta aquí, tuvimos que multiplicar por
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la matriz de eliminación.
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Tuvimos que eliminar esto aquí.
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Así que eliminamos la fila 1, columna tres.
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Aunque ahorita no es importante
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saber que son estas matrices.
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Mostraré cómo podemos construir estas matrices.
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Pero solo quiero que tengan un salto de fe de que
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cada una de estas operaciones se podrían haber hecho multiplicando
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por alguna matriz.
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Pero lo que sí sabemos es que multiplicando por todas estas
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matrices, esencialmente tenemos la matriz identidad.
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Volviendo.
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Así que la combinación de todas estas matrices, cuando
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se multiplican por ellos mismos, esto debe
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ser la matriz inversa.
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Si tuviera que multiplicar cada una de estas matrices de eliminación
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y de intercambio de filas, esta debe ser la matriz inversa de a.
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Porque si multiplicamos por
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a, obtenemos la inversa.
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Bien, ¿qué pasó?
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Si estas matrices son colectivamente la matriz
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inversa, si las hago, y si multiplico la matriz de identidad
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por ellas--la matriz de eliminación, esta por esa
-
es igual a eso.
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Esto por eso es igual a eso.
-
Esto por eso es igual a eso.
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Y así sucesivamente.
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Esencialmente estoy multiplicando--cuando se combinan todos
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estos--a inversa por la matriz identidad.
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Así que si lo piensas bien en general --y yo no
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los quiero confundir.
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Esta bien si a este punto, si solamente
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entiendieron lo que hice.
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Pero lo que estoy haciendo con todos estos pasos, esencialmente
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estoy multiplicando ambos lados de esta matriz aumentada, se podría
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llamar, por a inversa.
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Así que esto multiplicado por a inversa, para llegar a la
-
matriz identidad.
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Pero claro, si yo multiplico a la matriz inversa por
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la matriz identidad, tendré la matriz inversa.
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Pero de todos modos, no quiero confundir.
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Ojala les dará un poco de intuición.
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Más tarde haré estos con algunos ejemplos más concretos.
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Pero esperemos que esto es mucho menos problemático que
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la manera que lo hicimos con el adjunto y los cofactores y
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las matrices de menores y de los determinantes, etcétera.
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De todos modos, nos vemos en el siguiente video.
