.
Ahora demostraré mi manera preferida de encontrar la
inversa de una matriz de 3 por 3.
Y realmente creo que es mucho más divertido.
Y es menos probable cometer errores por descuido.
Pero si recuerdo correctamente de álgebra 2, no lo hicieron
de este modo en Algebra 2.
Y por eso enseño la otra forma principalmente.
Pero repasemos esto.
Y en un futuro vídeo, les enseñaré por qué funciona.
Ya que siempre es importante.
Pero en álgebra lineal, este es uno de los pocos temas donde
Creo que es muy importante aprender a hacer las operaciones
primero. Y, luego, más tarde, aprenderemos el por qué.
Porque el cómo es muy mecánico.
Y realmente sólo implica cierta aritmética básica
en su mayor parte...
Pero el por qué tiende a ser bastante profundo.
Así lo dejaré a videos posteriores.
A menudo podemos pensar en la profundidad de las cosas cuando uno
tiene la confianza de que se comprendieron por lo menos los cómo.
Pero en fin, volvamos a nuestra matriz original.
¿Cúal era la matriz original que
hice en el último video?
Era 1, 0, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 1.
Y queríamos encontrar la inversa de esta matriz.
Así que esto es lo que vamos a hacer.
Se llama eliminación de Gauss-Jordan, para encontrar la
inversa de la matriz.
Y la manera de hacerlo--y puede parecer un poco como
magia, puede parecer un poco como vudú, pero creo
que verá en videos futuros que le dan mucho sentido.
Lo que hacemos es aumentar esta matriz.
¿Que significa eso?
Esto significa que sólo agregamos algo a ella.
Por lo que escribo una línea divisoria.
Algunas personas no lo hacen.
Así que pongo aquí una línea divisoria aquí.
¿Y que pongo en el otro lado de la línea divisoria?
Pongo la matriz identidad del mismo tamaño.
Esta es de 3 por 3, así que puse una matriz de identidad de 3 por 3.
Eso es 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1.
¿Entonces que vamos a hacer?
Lo que voy a hacer es realizar una serie de
operaciones elementales por fila.
Y estoy a punto de decir que es una operación elemental
válida para esta matriz.
Pero lo que sea que haga, a cualquiera de estas filas aquí, tengo que hacerlo
a las filas correspondientes de acá.
Y mi meta es esencialmente realizar un montón de operaciones
en el lado izquierdo.
Y por supuesto, las mismas operaciones se aplicarán a
el lado derecho , para que finalmente termine con la
matriz identidad en el lado izquierdo.
Y luego, cuando tenga la matriz identidad de la izquierda
lo que me queda en el lado derecho será
la inversa de la matriz original.
Y cuando esto se convierte en una matriz de identidad, que
en realidad se llama forma reducida de escalón o escalonada.
Ya hablaré más sobre eso.
Hay un montón de nombres y etiquetas en álgebra lineal.
Pero son conceptos realmente bastante simples.
Pero de todos modos, vamos a empezar y esto debe convertirse en algo
un pocomás claro.
Al menos el proceso quedará claro.
Tal vez no porqué funciona...
Así que, en primer lugar, dije que voy a realizar un montón de
operaciones aquí.
¿Qué operaciones son válidas?
Se llaman operaciones elementales de fila.
Así que hay un par de cosas que puedo hacer.
Puedo reemplazar cualquier fila con esa fila
multiplicada por un número.
Podría hacer eso...
Puedo intercambiar dos filas.
Y por supuesto si intercambio por decir la primera y segunda fila
tendríamos que hacerlo aquí también.
Y puedo añadir o restar una fila de otra fila.
Así que cuando hacemos eso --por ejemplo, puedo tomar esta fila
y sustituirla con esta fila agregada a esta fila.
Verán lo que quiero decir en un momento.
Y si las combinamos, podríamos decir
multiplicaré esta fila por -1, y
La añadiré a esta fila y entonces reemplazaré la fila.
Si se empieza a sentir como que esto es algo parecido a lo que
que se aprendióal resolver sistemas de ecuaciones lineales
no es casualidad.
Porque las matrices son realmente una muy buena forma de representarlas.
Eso se demostrará pronto.
En fin, vamos a hacer algunas operaciones elementales de fila para
tener este lado izquierdo en forma escalonada reducida.
Lo cuál es realmente sólo una forma elegante de decir, vamos a convertirla
en la matriz identidad.
Veamos lo que queremos hacer.
Queremos tener sólo unos a través de aquí.
Queremos que estos sean ceros.
Veamos cómo podemos hacerlo eficientemente.
Permítanme escribir de nuevo la matriz.
Así que vamos a conseguir un 0 aquí.
Sería conveniente.
Pero voy a mantener las dos filas superiores iguales.
1, 0, 1.
Tengo mi línea divisoria.
1, 0, 0.
No hice nada ahí.
No estoy haciendo nada a la segunda fila.
0, 2, 1.
.
0, 1, 0.
Lo que haré, es reemplazar esta fila
Y para que sepan mi motivación, mi objetivo
es conseguir un 0 aquí.
Así que estoy un poco más cerca de tener la
aquí la matriz identidad.
¿Cómo obtengo un 0 aquí?
Lo que puedo hacer es reemplazar esta fila con esta fila
menos esta fila.
Para reemplazar la tercera fila con la tercera fila
menos la primera fila.
¿Qué es la tercera fila menos la primera fila?
1 menos 1 es 0.
1 menos 0 es 1.
1 menos 1 es 0.
Lo hice en el lado izquierdo, así que tengo que hacerlo en
el lado derecho.
Tengo que reemplazar esto con esto menos esto.
0 menos 1 es -1.
0 menos 0 es 0.
Y 1 menos 0 es 1.
Muy bien.
Ahora ¿qué puedo hacer?
Bien esta fila derecha aquí, esta tercera fila, tiene 0 y 0
parece ser mucho a lo que quiero para mi segunda fila en la
matriz identidad.
Así que ¿por qué no sólo intercambiar estas dos filas?
¿Por qué no cambiar sólo la primera y segunda fila?
Hagamos eso.
Voy a cambiar la primera y segunda fila.
Así que la primera fila se mantiene igual.
1, 0, 1.
Y luego el otro lado se mantiene igual.
e intercambio la segunda y tercera fila.
Así que ahora mi segunda fila ahora es 0, 1, 0.
Y tengo que cambiarla al lado derecho.
Es -1, 0, 1.
Sólo estoy intercambiando estos dos.
Así entonces mi tercera fila ahora se convierte en lo que
la segunda fila tenía.
0, 2, 1.
y 0, 1, 0.
Muy bien.
¿Ahora qué quiero hacer?
Sería bueno si yo tuviera aquí un 0.
Me llevaría mucho más cerca de la matriz identidad.
Entonces, ¿cómo podría yo llegar a un 0 aquí?
¿Qué pasa si resto 2 por la fila dos desde la fila uno?
Porque esto sería 2 por 1 es 2.
Y si resto esto de esto, tendré un 0 aquí.
Así que vamos a hacer eso.
La primera fila ha sido muy afortunada.
No ha tenido que hacer nada.
Simplemente está sentada allí.
1, 0, 1, 1, 0, 0.
La segunda fila por ahora no cambia.
-1, 0, 1.
¿Ahora qué dije que iba a hacer?
Voy a restar 2 por la fila dos desde la fila tres.
Esto es 0 menos 2 por 0 es 0.
2 menos 2 por 1, bueno eso es 0.
1 menos 2 por 0 es 1.
0 menos 2 por -1 es --recordemos 0 menos
2 por -1.
Eso es 0 menos -2, por lo es positivo 2.
1 menos 2 por 0.
Aún queda en 1.
0 menos 2 por 1.
Es menos 2.
.
¿Es correcto?
Sólo quiero asegurarme.
2 menos 2 por --derecha, 2 por -1 es -2.
Estoy restando, así que es positivo.
OK, estoy cerca.
Esto casi parece la matriz identidad o fila en
forma escalonada reducida.
Salvo este 1 de aquí.
Así que finalmente voy a tener que tocar la fila superior.
¿Y qué puedo hacer?
Que tal si reemplazo la fila superior con la fila superior menos
la fila inferior.
Porque si resto esto de eso,
Esto me conseguirá un 0 ahí.
Hagamos eso.
Así que sustituyo la fila superior con la fila superior
menos la tercera fila.
1 Menos 0 es 1.
0 menos 0 es 0.
1 menos 1 es 0.
Ese fue nuestro objetivo.
Y, a continuación, 1 menos 2 es -1.
0 menos 1 es -1.
0 menos -2., bueno, eso es +2.
Y luego las otras filas permanecen igual.
0, 1, 0, -1, 0, 1.
Y, después, 0, 0, 1, 2, 1, -2.
Y ahí lo tienen.
Hemos realizado una serie de operaciones en
el lado izquierdo.
Y hemos realizado las mismas operaciones en
el lado derecho.
Esto se convirtió en la matriz identidad, o
en forma escalonada reducida.
Y lo hicimos con la eliminación de Gauss-Jordan.
¿Y qué es esto?
Bueno esto es la inversa de esta matriz original.
Esto por esto será igual a la matriz identidad.
Por lo tanto si esto es a, entonces esto es a inversa.
Y eso es todo lo que tienes que hacer.
Como pueden ver, esto me llevó la mitad del
tiempo y requiere muchas menos matemáticas que cuando lo
hice utilizando el adjunto y los cofactores y el
determinante.
Y si lo piensas, te voy a dar una pequeña pista de
por qué esto funcionó.
Cada una de estas operaciones que hice en el lado izquierdo,
se podría verlos como multiplicar --obtener
de aquí a aquí, multiplicado.
Se puede decir que existe una matriz.
Que si yo multiplico por la matriz, estonces habría
realizado esta operación.
Y entonces habría tenido que multiplicar por otra matriz para
realizar esta operación.
Esencialmente lo que hicimos es que multiplicar por una serie de
matrices para llegar hasta aquí.
Y si multiplicamos todos esos, lo que les llamamos
matrices de eliminación, juntas, esencialmente
se multiplica este por el inverso.
¿Así que lo que estoy diciendo?
Si tenemos a, para ir de aquí a aquí, tenemos que
multiplicar a por la matriz de eliminación.
Y esto podría ser completamente confuso para ustedes, así que ignórenlo
si lo es, pero podría ser útil.
¿Qué eliminamos en esto?
Eliminamos 3, 1.
Hemos multiplicado por la matriz de eliminación
3, 1, para llegar hasta aquí.
Y luego, para ir de aquí a aquí
multiplicamos por alguna matriz.
Y les contaré más.
Mostraré cómo podemos construir
estas matrices de eliminación.
Multiplicamos por una matriz de eliminación.
De hecho, tuvimos un intercambio de fila aquí.
No sé como lo quieran llamar.
Le podríamos llamar matriz de intercambio.
Hemos intercambiado la fila dos por la tres.
Y luego aquí, hemos multiplicado por la matriz
de eliminación --¿Qué hicimos?
Eliminamos esto, así que esto era la fila tres,
columna dos, 3, 2.
Y, finalmente, para llegar hasta aquí, tuvimos que multiplicar por
la matriz de eliminación.
Tuvimos que eliminar esto aquí.
Así que eliminamos la fila 1, columna tres.
.
Aunque ahorita no es importante
saber que son estas matrices.
Mostraré cómo podemos construir estas matrices.
Pero solo quiero que tengan un salto de fe de que
cada una de estas operaciones se podrían haber hecho multiplicando
por alguna matriz.
Pero lo que sí sabemos es que multiplicando por todas estas
matrices, esencialmente tenemos la matriz identidad.
Volviendo.
Así que la combinación de todas estas matrices, cuando
se multiplican por ellos mismos, esto debe
ser la matriz inversa.
Si tuviera que multiplicar cada una de estas matrices de eliminación
y de intercambio de filas, esta debe ser la matriz inversa de a.
Porque si multiplicamos por
a, obtenemos la inversa.
Bien, ¿qué pasó?
Si estas matrices son colectivamente la matriz
inversa, si las hago, y si multiplico la matriz de identidad
por ellas--la matriz de eliminación, esta por esa
es igual a eso.
Esto por eso es igual a eso.
Y así sucesivamente.
Esencialmente estoy multiplicando--cuando se combinan todos
estos--a inversa por la matriz identidad.
Así que si lo piensas bien en general --y yo no
los quiero confundir.
Esta bien si a este punto, si solamente
entiendieron lo que hice.
Pero lo que estoy haciendo con todos estos pasos, esencialmente
estoy multiplicando ambos lados de esta matriz aumentada, se podría
llamar, por a inversa.
Así que esto multiplicado por a inversa, para llegar a la
matriz identidad.
Pero claro, si yo multiplico a la matriz inversa por
la matriz identidad, tendré la matriz inversa.
Pero de todos modos, no quiero confundir.
Ojala les dará un poco de intuición.
Más tarde haré estos con algunos ejemplos más concretos.
Pero esperemos que esto es mucho menos problemático que
la manera que lo hicimos con el adjunto y los cofactores y
las matrices de menores y de los determinantes, etcétera.
De todos modos, nos vemos en el siguiente video.